03数学三真题2009年考研

函数f(x)= 的可去间断点的个数为 【答案】f

f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx30=limx-x3=lim1- =xfi0sinp xfi0pcosp lim lim =xfi1sinp

xfi1pcosp lim lim =xfi-1sinp xfi-1pcosp 3个，即0, a=1，b= ( a=-1，b=-6

6【答案】f(xx-sinaxg(x)x2ln(1bxlimf(x)=limx-sinxfi0 xfi0x2ln(1-

x-sinax洛lim1acosax洛lima2sin=lim xfi0 xfi xfi =lim =-=

a3 xfi0-6b a另外lim1acosax存在，蕴含了1acosaxfixfi

排除D

xsint

1

2

f(xxsintdtlnxxsintdtx1 xsint-1dt11-sintdt0x 1

t

xx 阵

*00 2A*00【解析】根据CC*CE，若C*CC-1,C-1=1

A* A

* 0

=6 0 0 0 1

* =61

3B=

2B

0

0（6）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP= 0，若 2 P(a,a )Q,a+aa,a,，则QTAQ 0 0 2

0 0 2 0 0

0 0 2 a a,a,a) (a,a 01(a,a,a)E 0=+Q=+

2)10)10QTAQ=[PE(1)]TA[PE(1)]=ET(1)[PTAP]E =E(1) 0E 0 0 0 0 0 0

0 【答案】P(AB)= B)=1- B)，因为P( B)不一定等于1，所以(A)不正 B)P(AB)1P(AB)1，故(D设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)YP{Y0}P{Y=1}1F(zZXYF 【答案】FZ(z)=P(XY£z)=P(XY£zY=0)P(Y=0)+P(XY£zY=1)P(Y=1[P(XY£zY=0)+P(XY£zY=1)]=1[P(X0£zY=0)+P(X£zY=1)]X,Y\F(z)=1[P(x0£z)+P(x£ （1）z0F(z1F 1（2）z0F(z

z0为间断点，故选 31+x2 31+x2-xfi32

e【解析】xfi

e-ecos

xfi

xfi 13e1 xfi2

13设z=(x+ey)x，则 = xxdz=(x+1)x'=exln(1+x)'=exln(1+x)ln(1+x)+x x=1=eln2ln2+1=2ln2¶z 2 ¶(x+ey)x ¶exln(x+ey) y ==

= =(x+e

ln(x+e)+

x+ey ln(1+0

故 =(1+e)

e) 0

¥en-(-1)n

+en（11）幂级数 n

x1e

由题意知，an e nn+1n

=n 1n

fie(nfi¥)()n1

en1-- eeQQ(P,P的弹性xp0.210000件时，价格增加1元会使产品收益增 【答案】 0 0，则k 0 【答案】

【解析】abT相似于 0，根据相似矩阵有相同的特征值，得到abT 0 3，0，0。而aTb为矩阵abT的对角元素之和，1k300，k2(14)X1X2XnB(npXS分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS2ETETE(XS2EXES2npnp(1p（15）（9分）f(xyx22y2)ylnyfx(x,1x0,yef¢=2(2+y2),f¢=2x2+1,f¢= 则f¢1=2(2+1exx(0, ee

1=fy

(0,e1=(0,ef¢0而f¢)2f¢f¢ xx

f(0,) （16（计算不定积分ln(1+1xx

(x>

【解析】 )- ) 2 =xln(1+1+x)- 2 =xln(1+1+x)+1x-1 x1+

dxu

2udu=2u2-(uu1+ (u(即ln(1+1+x)dx=xln(1+1+x)+1x-1 + (=xln(1+1+x

)+1ln

22（17（2D【解析】由(x-1)2y-1)2£2r£2(sinqcosq3\(x-y)dxdy=43

=4(cosq-sinq)p

4 3p=4p8(cosq-sinq)(sinq+cosq)(sinq+cosq)2p43p=4p8(cosq-sinq)(sinq+cosq)3p4 =84p(sinq+cosq)3d(sinq+cosq)=·(sinq+cosq)44=-p33 p3 （18（证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[ab](ab

【解析】（Ⅰ）作辅助函数j(xf(xf(af(bf(a(xa，易验证j(xj(aj(b)j(x)在闭区间[ab上连续，在开区间(ab内可导，且f(b)-fj'(x)=f'(x)

f'(x)-f(b)-f(a)=0,\f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)b-a（Ⅱ）x0˛(0,df(x x0

x0-

0f'(0)=limf(x0)-f(0)=limf'(x)=limf'(x)=0+x0fi

x0-

x0fi

fi f0f(0)A （19（yf(x)，其中yf(x)是可导函数，且f(x0.已知曲线yf(x)与直线y0,x1xt(t1x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的pt倍，求该曲线方程。V= pf(x)dx=pf(x) t曲边梯形的面积为：s= tt1(ttV=pts

1(

2dx=

1(

2dx

两边对t求导可得f2=t f2- =t(t 1( (t (t (t 1(继续求导可得2f(tftf(t-tf'(t)f(t)(2f(t)-t)f'(t)=2f(t)dt

- t=1，解之得tcy2+ - 式中令t=1，则f2(1)-f(1=)0,ft(>)\ =(，代入t=cy2 3 c=,\t=

2y

3x0（20（ 1，x=1

-1-1

-1-

-1- -2-2 1 0 1 故2k1-10

A2

0-1 0-1 1fi 020 x1,x0A2x0x x0,x=1A2x0x 2 1 0 2 1 0 2 求特解h2=0故x3=k2-1+k30+0 ，其中k2,k3为任意常

k-

=kk+2kk+(2k+1)(k

)-2k(k

)-k(2k+1)-k

1 1 1=-1„2（21（ 1 2f 1

= |

A l

(la)l-

-=

=

}} 若l1a0l220l3=1若l20，即a2，则l120l330若l30，即a1，则l110l230，不符题意综上所述，故a2（22（

e- 0<y<设二维随机变量X,Yf(xy) fYXye-f(xy

0<y<

fx(x)=xe-xdy=xe-0

x>f(x,y fy|x(y|x fx

x (y|x)= 0<y<x P{X£1,Y（II）P{X£1|Y P{X£1,Y£1}f(xy)dxdy1dxxe-xdy=1xe-xdx=1 f(y)

,y> \P{Y£1}=1e-ydy=-e-y1=-e-1+1=1-e- \P{X£1|Y

=（23（1个红色球，23（Ⅰ）P{X=1