信号与系统201406第六章

第六章离散时间系统的z域分析（z变换）6.1

z变换

26.2

z变换的性质

146.3

逆z变换

356.4

离散系统的z域分析

436.5

离散系统的系统函数

506.6

离散系统的频率响应特性

696.7

z变换与拉普拉斯变换的关系

81

在离散系统中z变换是一种重要的数学工具，z变换在离散系统中的地位相当于连续系统中的拉普拉斯变换。本章重点及要求

892346.1

z变换6.1.1

z变换的定义一）从拉氏变换到z变换1)理想抽样信号的LT令

z=esT(z为复变量）

复变量z的函数说明1)

f(kT)简计为f(k)2)序列f(k)并非一定由连续信号f(t)抽样得到，离散时间信号源的形式是多样的。

在信号的处理过程中信号储存在储存器内，可以根据需要随时取用它，甚至可以把它们的时间顺序颠来倒去。并且很多条件下信号处理是非实时的，信号都是先记录，后分析，因而kT并不代表具体的时刻而只表明信号的先后顺序。所以序列不必以kT作变量，而直接以f(k)表示数字序列的第k个信息值。简记为f

(k)

F(z)

二）

z变换的定义f(k)的双边z变换，求和运算在正、负k域进行。f(k)单边z变换，求和只在正k域进行当

f

(k)为因果序列时说明：本书对单、双边z变换都做讨论F(z)

称为f(k)的象函数6.1.2

z变换的收敛域(重要的概念)只有当幂级数收敛时序列f(k)的z变换才有意义收敛域：对于给定序列

f(k)，使其z变换收敛的z值的范围。1)

有限长序列

z变换的收敛域解

(k)的z变换是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛，即|z|0例：求以下有限长序列f(k)的z变换为使f(k)的双边z变换存在，应满足0

<|z|

<

a)求f

(k)的双边z变换b)

求f(k)的单边z变换

为使f(k)的单边z变换存在，应满足|z|>0结论：

f(k)为有限长序列时,F(z)是z的有限次幂z-k的加权和，收敛域至少为0<|z|<

(还可能包括|z|=0和|z|=)2)因果序列z变换及其收敛域解结论：因果序列仅当

|z|>|a|时其ZT存在，收敛域是半径为|a|的圆外区域|a|例：求的z变换，并确定其收敛域3)反因果序列z变换及其收敛域解结论：反因果序列仅当

|z|<|a|时其ZT存在，其收敛域为半径为|a|的圆内区域a例：求的z变换，并确定其收敛域注意：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，为了唯一的确定z变换所对应的序列，不仅要给出z变换式，还必须同时标明其收敛域。求的反变换当时当时4)双边序列的z变换及其收敛域解双边序列当|a|<|b|时z变换存在，收敛域为|a|<|z|<|b|的环状区域

双边序列当|a||b|时没有公共收敛域，其z变换不存在半径为|b|的圆半径为|a|的圆例：求的z变换，并确定收敛域总结1)有限长序列，收敛域至少满足0

<|z|

<

2)因果序列，收敛域在z平面上半径为|a|的圆外区域3)反因果序列，收敛域在z平面上半径为|b|的圆内区域4)双边序列|a|<|b|时ZT存在，收敛域|a|<|z|<|b|的环状区域|a|因果序列|b|反因果序列双边序列注意：求序列的z变换，必须标明其收敛域6.1.3

常用序列的z变换5.正弦、余弦序列返回1.单位序列2.指数序列3.单位阶跃序列4.虚指数序列6.2z变换的性质1.线性性质

(单、双边均成立)例：求的z变换解解例：求和的z变换12.移位特性(单、双边ZT的移位特性有重要差别)k5012345k01375-5-1-3k012345-1-2-3-4-5-5k03-1-3-7-5-5k01375-53k0313移位序列的双边z变换没有丢失原序列的信息移位序列的单边z变换，移位前后序列长度不同1)双边z变换的移位特性例：求的z变换解按照定义计算例：求的z变换解2)单边z变换的移位特性——对f(k)移位后取单边ZT

k012345-1-2-3-4-5-5k0246-2-4-5f(k)为双边序列时，右移后所含信息增加a)

f(k)右移时b)

f(k)左移时k012345-1-2-3-4-5-5k03-1-3-6-5-51f(k)左移后(其单边所含)信息减少解法2例：求和的单边z变换|1|解例：求周期序列的单边z变换收敛域=？3.序列卷积解例：求序列的z变换(其中0<a<b)4.序列乘bk

(又称z域尺度变换)解例：求序列的z变换解：例：求序列的z变换解例：求序列的z变换5.

序列乘k(z域微分)直接由F(z)求序列的初值6.初值定理例：某因果序列的z变换为,求f(0)解7.终值定理取z1极限，说明收敛域包括单位圆单位圆直接由F(z)求序列的终值f(

)终值存在的条件：例：已知,求f(∞)解复习收敛域线性性质移位特性1)双边z变换的移位特性2)单边z变换的移位特性序列卷积序列乘k(z域微分)初值定理、终值定理

序列乘bk终值存在的条件：求序列的z变换因果序列的z变换为,求f(0),f(∞)求序列的z变换8.

序列部分和的z变换(序列的求和）解例：求的z变换9.

k域反转例：求的z变换解返回6.3

逆z变换——由F(z)求f

(k)留数法幂级数展开法(用长除法将F(z)展开成幂级数)6.3.3

部分分式展开法(要求重点掌握)F(z)的一般形式为z的有理分式：

2)若m

>

n时说明1)F(z)/z

展开成部分分式的方法与把F(s)展开成部分分式的方法完全相同2)由部分分式求原函数f(k)时,必须结合收敛域1)若m

≦

n时先用长除法分解出真分式再用上述方法例：已知求f

(k)解解例：已知求时的f(k)说明f(k)

是因果序列说明f

(k)

是反因果序列说明f

(k)

是双边序列例：已知求f(k)解例：已知求f

(k)解例：已知求f

(k)解返回6.4

离散系统的z域分析6.4.1

差分方程的变换域解e(k)在k=0时加入，系统初始状态为y(–1),y(–2)…y(–n)对差分方程两边作z变换，据单边z变换的移位性质A(z)-M(z)B(z)解例：已知求f(k–1)(k)

f(k–2)(k)

z–1

F

(z)+z–2

F

(z)+

f(–1)

f(–2)+f(–1)z–1yh(k)(自由响应)yp(k)(强迫响应)yzi(k)yzs(k)6.4.2

离散系统的z域框图1)数乘器2)加法器3)延时单元由时域模型根据z变换的性质可得系统的z域模型1)数乘器2)加法器系统差分方程与初始状态无关，因此用零状态的z域模型3)延时单元f(k–1)

z–1

F

(z)+

f(–1)f(k)

F

(z)时域框图z域框图z域框图++返回左加法器右加法器6.5

离散系统的系统函数6.5.1

系统函数H(z)只与系统的结构、参数有关而与激励、初始状态均无关。H(z)反映系统的固有特性。A(z)-M(z)B(z)2)由系统的差分方程求H(z)

例：求H(z)解

h(k)H(z)

3)由H(z)写出系统的差分方程例：已知系统写出系统的差分方程解解例：已知时求该系统的差分方程差分方程例：如图所示，当时，求z域框图解题思路：→H(z)→差分方程→零输入响应H(.)的极点(即A(.)=0的根)决定零输入响应的形式H(.)的极点与E(.)的极点共同决定零状态响应的形式

解6.5.2

系统函数的零点与极点当z=pi

时H(z)→∞当z=zj

时H(z)=0A(z)=0的根，称H(z)的极点(即差分方程的特征根)B(z)=0的根，称H(z)的零点在z平面上极点用“

”

零点用“○”表示零极点图：把系统函数H(z)的极(零)点画在z平面上的图，称作系统函数的零、极点分布图。1

-0.50.5(2)

j0.71.由H(z)的零极点分布确定单位样值响应h(k)的形式6.5.3

系统函数的零极点分布与系统特性的关系a)pi在单位圆内00单位圆内二阶及二阶以上极点对应响应，当k

时h(k)=0r阶极点一阶极点

10b)

pi在单位圆上k01…1230单位圆上的一阶极点，对应的响应幅度恒定r

阶极点单位圆上的二阶及二阶以上极点对应的响应，幅度发散一阶极点

1

00c)pi在单位圆外r

阶极点单位圆外的极点，对应的响应幅度均发散一阶极点0

10结论1)

LTI离散系统的h(k),yh(k),yzi(k)均由H(z)的极点决定2)

单位圆内的极点所对应的响应，当k

时衰减到零极点全部在单位圆内的系统为稳定系统3)

单位圆上的一阶极点对应的响应幅度稳定单位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内的系统为临界稳定系统4)

单位圆上的二阶及二阶以上的极点及单位圆外的极点所对应的响应，随k

而趋于无穷大含有单位圆外或单位圆上的二阶及二阶以上极点的系统为不稳定系统1)离散系统的因果性a)从时域判断因果系统：yzs(k)不出现于

e(k)之前的系统b)从变换域判断

0

2.离散时间系统的稳定性和因果性离散因果系统的充要条件离散因果系统的充要条件2)离散系统的稳定性稳定系统:对有界的输入|yzs(k)|

My(即有界)a)从时域判断b)从变换域判断离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件:H(z)的收敛域包含单位圆3)因果稳定系统a)从时域判断b)从变换域判断1)因果稳定系统H(z)在单位圆上含一阶极点，其余极点均在单位圆内H(z)的极点全部在单位圆内2)因果临界稳定系统3)因果不稳定系统H(z)含有单位圆外或单位圆上的二阶或二阶以上的极点离散因果稳定系统例：因果系统的差分方程如下，判断系统是否稳定解收敛域为：收敛域为：5.13复习求求h(k)，并判断该系统是否稳定3离散系统的稳定性准则--朱里准则朱里表中奇数行的第一个元素大于最后一个元素的绝对值(连续系统--罗斯稳定准则)二阶连续系统稳定的条件是：对于二阶系统：朱里准则由A(z)多项式的系数构成朱里表三行以后的奇数行需要计算第三行以后奇数行的运算规则最后一行有三个元素对于二阶系统，其极点均在单位圆内的充要条件是例：判别下列系统的稳定性an<

|a0|,系统不稳定A(1)<

0,系统不稳定151812–12–1212181581414396r2<

|

r0

|,系统不稳定返回6.6

离散系统的频率响应特性H(e

j

)连续系统的频率响应：

连续系统的系统函数：H(j

)=ℱ[h(t)]

j

0连续系统的单位冲激响应：H(s)=ℒ[h(t)]

H(j

)h(t)频率响应：系统在正弦信号激励下稳态响应yss(t)随激励信号的频率变化的规律频率响应H(j

)反映了稳态响应yss(t)的幅度和相位随激励信号e(t)的频率变化的特性。相频特性幅频特性频率响应(函数)频率响应的物理意义（另一个定义）：6.6.1

离散系统的频率响应H(e

j

)频率响应：因果、稳定的离散系统在正弦序列激励下稳态响应yss(k)随激励信号频率的变化规律相频特性幅频特性频率响应(函数)

反映了离散系统在正弦序列激励下，稳态响应yss(k)随激励信号的频率

变化的规律。故称为离散系统的频率响应(函数)单位圆上的H(z)就是频率响应H(z)收敛域包括单位圆由H(z)求H(ej

)的条件：H(ej

)的两个特点1)由于ej

是周期为2p

的周期函数，因而频率响应函数H(ej

)

必然也是周期为2p的周期函数。因此，画H(ej

)

的特性曲线时只需要画一个周期2)H(ej

)是

的连续函数离散系统的频率响应：

离散系统的系统函数：离散系统的单位脉冲响应：h(k)H(ejw)H(z)H(ej

)

=

F[h(k)

]

H(z)

=

Z[h(k)

]

解：z域框图例：某离散系统的z域模型如下图所示：1)

求系统的频率响应，并画出频率响应曲线；2)

输入为求系统的稳态响应02)输入为求系统的稳态响应b)带通0c)高通0d)带阻0e)全通03)离散系统的各种频率响应（理想数字滤波器）a)低通06.6.2

系统函数的零极点分布与频率响应的关系复变量z

，在z平面上从z=1沿单位圆逆时针旋转时H(ej

)中各矢量的模和幅角也随之变化

1BjAi解:法一例：某离散因果系统,画出其频率响应p=1/3|z|>1/3(即单位圆在收敛域内)0法二几何法

1BA–11/300返回6.7

z变换与拉氏变换的关系由抽样序列的LT引出了ZT，因此在一定条件下两种变换可相互转换复变量s与z的关系T(或Ts)为抽样周期T为采样周期：采样频率；采样角频率s平面表示为直角坐标形式z平面表示为极坐标形式重复频率

s为重复频率虚轴1单位圆s→z平面的映射关系1)s

平面的虚轴12)s

平面的左半平面3)s

平面的右半平面1014)s平面上平行于虚轴的直线为常数5)s平面的实轴为常数6)s平面上平行于实轴的直线为常数7)s平面上通过且平行于实轴的直线为常数5.16例：画出s平面上直线l1,l2及a,b点在z平面的映像(T=1)1)l1有1/e2)l2有3)a有4)b有总结1．s平面到z平面的映射是多到一的映射,

即z平面上的一点与s平面上的无穷多点对应。2．z平面与s平面上的

宽的条带之间的映射是一、一映射返回作业画出s平面上直线l1,l2及a,b,c点在z平面的映像(T=2)1)理解单、双边z变换的定义、收敛域的概念，并熟练掌握典型信号的z变换。2)掌握z变换的常用性质，应用z变换性质求序列变换3)熟练应用部分分式法求逆z变换(注意收敛域）4)熟练掌握差分方程的变换(z)域解法6)能由系统z域框图直接写出差分方程和H(z