高一数学人教版A版必修二期末章节总复习课件

章末复习课第一章

空间几何体1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.学习目标1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积答案

名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面________，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都_________S侧＝Ch，C为底面的周长，h为高V＝Sh互相平行形四边互相平行要点归纳

主干梳理点点落实答案多面体棱锥有一个面是_______，其余各面都是_______________的三角形S侧＝

Ch，C为底面的周长，h为高V＝

Sh棱台用一个______________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S侧＝

(C＋C′)h，C，C′为底面的周长，h为高多边形有一个公共顶点平行于棱锥底面答案旋转体圆柱以__________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h圆锥以直角三角形的___________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高V＝

Sh＝

πr2h矩形的一边一条直角边答案旋转体圆台用____________

___的平面去截圆锥，__________之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，h为高球以___________所在直线为旋转轴，______旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径平行于圆锥底面底面和截面半圆的直径半圆面2.空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.②等积变换，如三棱锥转移顶点等.③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.返回类型一三视图与直观图题型探究

重点难点个个击破例1

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)解析答案反思与感悟解析将三视图还原为实物图求体积.由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，反思与感悟答案

B反思与感悟由三视图确定几何体分三步.第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体.第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.第三步：由“长对正、高平齐、宽相等”的原则确定几何体的尺寸.跟踪训练1一几何体的三视图如图所示.(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；解由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示.解析答案(2)计算该几何体的体积与表面积.解由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8cm，高为20cm的圆柱，上部为底面直径为8cm，母线长为5cm的圆锥.表面积S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2).∴该几何体的体积为336πcm3，表面积为196πcm2.解析答案类型二柱体、锥体、台体的表面积和体积例2圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是

圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的体积.解设圆柱底面半径为rcm，高为hcm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，反思与感悟∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3).∴圆柱体积为250πcm3.解析答案则反思与感悟几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.跟踪训练2正四棱柱的对角线长为3cm，它的表面积为16cm2，求它的体积.解设正四棱柱的底面边长为acm，高为bcm，返回解析答案类型三几何体的有关最值问题例3

如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离.∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，解析答案反思与感悟有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二次函数的形式，然后利用二次函数的知识求最值.反思与感悟跟踪训练3有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5πcm.返回解析答案123达标检测

解析答案1.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24cm，深为8cm的空穴，则这个球的半径为(

)A.8cm B.10cm C.12cm D.13cm45解析冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球半径为R，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13(cm).D解析答案2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)12345A.14斛B.22斛 C.36斛 D.66斛12345答案

B解析答案3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(

)12345解析由三视图知底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2.C解析答案123454.如图所示，已知正三棱柱ABC-­A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点从A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为___.解析如下图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，105.如右图是一个奖杯的三视图，求这个奖杯的体积.解由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体.12345所以，这个奖杯的体积为解析答案规律与方法1.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题解决.返回章末复习课第二章点、直线、平面之间的位置关系1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.学习目标要点归纳

主干梳理点点落实1.四个公理公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：过__________________的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_____.2.直线与直线的位置关系答案————共面直线异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行平行相交任何3.平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质答案

判定性质定义定理图形条件______________________________________________________结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥ba∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b(2)面面平行的判定与性质答案

判定性质定义定理图形条件______________________________________________，_________，_________α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直答案

图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的______直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，___________a⊥α任意m∩n＝O答案判定a∥b，______b⊥α性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α______a⊥αb⊂αa∥b(2)平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_____，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥αα⊥β，α∩β＝a，l⊂β，l⊥a垂线答案(3)空间中的垂直关系的内在联系.答案5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°<θ≤90°.锐角(或直角)(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在______________所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.②当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为__________.(3)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的_____________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.返回答案平面内的射影90°和0°两个半平面垂直于棱类型一几何中共点、共线、共面问题题型探究

重点难点个个击破例1

如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E、F、G、H四点共面；证明

∵BG∶GC＝DH∶HC，∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面.解析答案(2)GE与HF的交点在直线AC上.证明

∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.又EF∥GH，∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M.反思与感悟⇒M在面ABC与面ACD的交线上，又面ABC∩面ACD＝AC⇒M∈AC.∴GE与HF的交点在直线AC上.解析答案反思与感悟1.证明共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.跟踪训练1如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线.证明

∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1.又已知A1∈平面ACC1A1，即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，所以O、M、A1三点共线.解析答案类型二空间中的平行关系例2如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；证明如图，取B1D1中点O，连接GO，OB，解析答案∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形.∴OB∥GE.∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明

由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.解析答案反思与感悟反思与感悟1.判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.2.判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).跟踪训练2如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.证明

∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.解析答案例3如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；证明在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.类型三空间中的垂直关系解析答案(2)PD⊥平面ABE.证明由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.解析答案反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).反思与感悟反思与感悟(3)面面垂直的判定方法：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练3如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；解如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，解析答案解

当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.解析答案(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型四空间角问题解析答案例4如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：AE⊥平面PCD；证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.解析答案(3)求二面角A—PD—C的正弦值.解析答案反思与感悟解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角.由已知，可得∠CAD＝30°.设AC＝a，可得在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，反思与感悟1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.反思与感悟解析答案跟踪训练4如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；解

∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.解析答案(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；解如图，作OE⊥BC于E，连接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.解析答案(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数.解

∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.返回123达标检测

解析答案1.下列四个结论：(1)两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行.(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行.(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确的个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.34解析

(1)两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；(3)两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；(4)一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内.答案

A1234解析答案2.设有不同的直线m、n和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是(

)A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC.若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α1234解析选项A中当m∥α，n∥α时，m与n可以平行、相交、异面；选项B中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；选项C中，当α⊥β，m⊂α时，m与β可以垂直，也可以平行等.故选项A、B、C均不正确.D解析答案3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点.求证：(1)C1O∥面AB1D1；证明如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，∴四边形AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1.1234解析答案(2)A1C⊥面AB1D1.证明

∵CC1⊥面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1CA，即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.1234解析答案12344.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.(1)证明：△PBC是直角三角形.解因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PBC是直角三角形.1234(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为

时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解析答案1234解如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，因为BC⊥平面PAC，所以BC⊥AH，PC∩BC＝C，所以AH⊥平面PBC，所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，因为PA⊥平面ABC，所以∠PCA即是PC与平面ABC所成角，规律与方法一、平行关系1.平行问题的转化关系2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.二、垂直关系1.空间中垂直关系的相互转化2.判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质.3.判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法.(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4.判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.三、空间角的求法1.找异面直线所成角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移.(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.(3)补形平移.2.线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足.通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.返回章末复习课第三章

直线与方程1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想.学习目标要点归纳

主干梳理点点落实1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是

.(3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标.答案存在0°≤α<180°2.直线方程的几种形式的转化3.两条直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；y=kx+b答案返回答案类型一待定系数法的应用题型探究

重点难点个个击破例1直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程.解析答案反思与感悟解方法一设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0，4－y0)，即3x＋y＋1＝0.解析答案反思与感悟方法二设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.解得k＝－3.解析答案反思与感悟方法三两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，

①将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)，整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即为所求直线方程.反思与感悟反思与感悟待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法.直线的方程常用待定系数法求解.选择合适的直线方程的形式是很重要的，一般情况下，与截距有关的，可设直线的斜截式方程或截距式方程；与斜率有关的，可设直线的斜截式或点斜式方程等.跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为

的直线的方程.解析答案解当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0.当直线不经过原点时，解得a＝2或a＝6.所以所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.类型二数形结合思想的应用解析答案反思与感悟解析答案解将已知条件变形为故设M(x,0)，A(1,2)，B(2,1)，∴原函数变为y＝||MA|－|MB||.则上式的几何意义为：x轴上的点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离的差的绝对值，由图可知，当|AM|＝|BM|时，y取最小值0.此时点M在坐标原点，

y最小＝0.解得x＝0，反思与感悟又由三角形性质可知||MA|－|MB||≤|AB|，即当||MA|－|MB||＝|AB|，也即当A、B、M三点共线时，y取最大值.由已知得AB的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，令y＝0得x＝3，∴当x＝3时，反思与感悟数形结合是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决，这就是数形结合.跟踪训练2已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值.解析答案解设点P(x，y)，则点P在直线l：4x＋3y－10＝0上，如图所示，当OP⊥l时，|OP|取最小值|OM|，即|OP|的最小值是2.所以x2＋y2的最小值是4.类型三分类讨论思想的应用解析答案反思与感悟例3过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.反思与感悟解当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，符合题意.当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y－2＝kx.令y＝0，得x＝－1与x＝由题意得

即k＝1.∴两条直线的方程分别为y＝x＋1，y＝x＋2，即为x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.综上可知，所求的两直线方程分别为x＝－1，x＝0或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.反思与感悟本章涉及直线方程的形式时，常遇到斜率的存在性问题的讨论，如两直线平行(或垂直)时，斜率是否存在；已知直线过定点时，选择点斜式方程，要考虑斜率是否存在.解析答案跟踪训练3已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2,0)、B(1,0)，这时直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.类型四对称问题的求法解析答案例4已知直线l：y＝3x＋3，试求：(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标；解设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l.∴P′点的坐标为(－2,7).解析答案反思与感悟(2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程.

解

设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P3(x3，y3)一定在直线l3上，反之也成立.代入l的方程后，得3x3－y3－17＝0.即l3的方程为3x－y－17＝0.反思与感悟(1)中心对称①两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.②两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条直线上，必有l1∥l2，且P到l1、l2的距离相等.(2)轴对称两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的中点在l上.解析答案跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；解如图，B关于l的对称点B′(3,3).直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，即P(2,5).解析答案(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.由图象可知：|PA|＋|PC|≥|AC′|.返回123达标检测

解析答案1.直线l在两坐标轴上的截距相等，且点M(1，－1)到直线l的距离为

，则直线l的方程为_______________.45解析当直线l经过原点时，设直线方程为y＝kx，∴直线方程为x－y＝0，当在坐标轴上的截距不为零时，解得k＝1，即x＋y－a＝0，得a＝±2，∴直线方程为x＋y－2＝0或x＋y＋2＝0.综上所述得l的方程为x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.答案

x－y＝0或x＋y＋2＝0或x＋y－2＝01234解析答案2.已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________.1234∴直线l过点(2,1).由题意得，当l与点A和交点连线垂直时，点A到l的距离为最大，解析答案3.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为___________.解析由题意知，直线l即为AB的垂直平分线，∴kl·kAB＝－1，得kl＝1，1234x－y＋1＝0即x－y＋1＝0.解析答案12344.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；解当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.1234(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解

将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.解析答案规律与方法1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.返回章末复习课第四章圆与方程1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，渗透数形结合的数学思想.学习目标要点归纳

主干梳理点点落实1.圆的方程(1)圆的标准方程：___________________.(2)圆的一般方程：____________________________________.2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P_______.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P_______.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P_______.答案(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)在圆外在圆内在圆上3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d__r→相离；d__r→相切；d__r→相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则答案位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|>＝<5.求圆的方程时常用的四个几何性质(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.6.与圆有关的最值问题的常见类型返回类型一求圆的方程题型探究

重点难点个个击破例1根据条件求下列圆的方程：(1)求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程；解由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，解析答案∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.解析答案反思与感悟解析答案解

方法一设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴(a－b)2＝4，又∵b＝2a，∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟解析答案解

方法二设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，∵圆心C(a，b)在直线y＝2x上，∴b＝2a.由圆被直线x－y＝0截得的弦长为将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.设直线y＝x交圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16.反思与感悟反思与感悟∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1求圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程.解析答案解方法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，解得a＝1，b＝－4，r＝

，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4).于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.类型二直线与圆、圆与圆的位置关系例2已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为

，求l的方程.解析答案反思与感悟解如图所示，|AB|＝

，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，

即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.反思与感悟反思与感悟直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路：(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线.解设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解析答案跟踪训练2已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋

y＝0相切于点Q(3，－

)，求圆C的方程.例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.类型三与圆有关的轨迹问题解析答案反思与感悟解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，由于平行四边形的对角线互相平分，又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，反思与感悟求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)