【9份】2017高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习课件 第二章 函数概念与基本初等函数I

第二章函数概念与基本初等函数I§2.1函数及其表示内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.函数与映射

函数映射两集合A、B设A，B是两个非空______设A，B是两个非空_____对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应数集集合任意任意知识梳理1答案名称称_________为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射f：A→B答案2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的

；将所有y组成的集合叫做函数y＝f(x)的

.(2)函数的三要素：

、

和

.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有

、

和

.定义域值域定义域对应关系值域解析法图象法列表法答案3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因

不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的

，其值域等于各段函数的值域的

，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.对应关系并集并集答案4.常见函数定义域的求法f(x)≠0f(x)>0f(x)>0，且f(x)≠1，g(x)>0答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(

)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(

)(3)映射是特殊的函数.(

)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.(

)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(

)×××××答案思考辨析C1.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(

)A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等.对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.考点自测2解析答案12345C解析答案12345故选C.C解析答案123454.(教材改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)解析

A中函数定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.B解析答案12345解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.①②解析答案12345返回题型分类

深度剖析题型一函数的概念解析答案思维升华对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；

综上可知，正确的判断是②③.答案

②③思维升华思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).解析

A中两函数对应关系不同；B、C中的函数定义域不同，答案选D.D跟踪训练1解析答案(2)下列所给图象是函数图象的个数为(

)A.1 B.2C.3 D.4解析

①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.B解析答案题型二函数的定义域命题点1求给定函数解析式的定义域所以函数f(x)的定义域为(－3,0]，故选A.A解析答案C得x>－1，且x≠1，故选C.解析答案命题点2求抽象函数的定义域解析答案所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或1<x≤2015.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2015].故选B.答案

B解析

令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2016]，可知1≤t≤2016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2016，解得0≤x≤2015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2015].A.[－5,4] B.[－5，－2)C.[－5，－2]∪[1,4] D.[－5，－2)或(1,4]解析

∵函数f(x)的定义域为(0,1]，

则1<x≤4或－5≤x<－2，故选D.D解析答案命题点3已知定义域求参数范围[－1,0]因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.解析答案思维升华思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)抽象函数：①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；②对应f下的范围一致.(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围.解析因为函数f(x)的定义域是[0,2]，跟踪训练2解析答案(－1,1)解析答案题型三求函数解析式解析答案(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝_______.解析

(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴f(x)＝2x＋7.2x＋7解析答案解析答案思维升华思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).得f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1).x2－1(x≥1)跟踪训练3解析答案(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝____________.解析

当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，解析答案(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝____________________________.解析

当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1). ①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1). ②由①②消去f(－x)得，返回解析答案思想与方法系列解析

当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，∴x<1.当x≥1时，

≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8].(－∞，8]思想与方法系列2.分类讨论思想在函数中的应用解析答案解析答案返回温馨提醒当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.答案

C解析

由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－1≥1，

温馨提醒返回(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解.(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.温馨提醒返回思想方法

感悟提高1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解.方法与技巧1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.失误与防范返回练出高分123456789101112131415解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同.C解析答案A解析

M＝(－1,1)，N＝(－1，＋∞)，故M∪(∁RN)＝{x|x<1}，故选A.123456789101112131415解析答案解析

∵－2≤0，∴f(－2)＝10－2，∴f(f(－2))＝f(10－2)＝lg10－2＝－2.D123456789101112131415解析答案4.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(

)A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2xC.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x解析

(待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，B∴g(x)＝3x2－2x，选B.123456789101112131415解析答案B123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.解析

∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg10＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝0，

1234567891011121314159.已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式.解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，123456789101112131415解析答案10.根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式.123456789101112131415解析答案解当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，123456789101112131415所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点.当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得0<a<3.综上所述，a的取值范围是[0,3).[0,3)123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案答案

4028123456789101112131415满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个.5123456789101112131415解析答案14.已知x∈R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数.如A()＝2，A(－0.4)＝0，A(－1.1)＝－1.若A(2x＋1)＝3，则实数x的取值范围是________.解析由题中定义可知A(2x＋1)＝3等价于2<2x＋1≤3，123456789101112131415解析答案15.如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；解点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.123456789101112131415解析答案(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？解

图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价.(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？解

斜率表示票价.(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解

图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.123456789101112131415解析答案返回第二章函数概念与基本初等函数I§2.2函数的单调性与最值内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析答题模板系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)>f(x2)f(x1)<f(x2)知识梳理1答案图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是______上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是

或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，

叫做y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D答案2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有_________；(2)存在x0∈I，使得________(3)对于任意的x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.(

)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数.(

)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(

)×√×答案思考辨析×××(4)函数y＝

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)(5)所有的单调函数都有最值.(

)(6)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(

)答案B，C，D选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调.故选A.A考点自测2解析答案123452.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为(

)A.－2B.2C.－6D.6解析由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－

，＋∞)，令－

＝3，∴a＝－6.C解析答案12345解析由y＝ax在(0，＋∞)上是减函数，知a<0；由y＝－

在(0，＋∞)上是减函数，知b<0.∴y＝ax2＋bx的对称轴x＝－

<0，又∵y＝ax2＋bx的开口向下，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数.故选B.B解析答案123452解析答案123455.(教材改编)已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为____________________.解析函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞).(－∞，1]∪[2，＋∞)解析答案12345返回题型分类

深度剖析题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性解析

y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，∴在区间(0，＋∞)上为增函数.A解析答案D所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2).解析答案(3)y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间为_________________.解析

由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图.由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数.(－∞，－1]，[0,1]解析答案命题点2解析式含参函数的单调性解析答案由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；

解析答案当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增.综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增.引申探究解析答案思维升华又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数在(－1,1)上为减函数.解

设－1<x1<x2<1，∵－1<x1<x2<1，思维升华思维升华

确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.跟踪训练1解析答案有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，解析答案有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，解析答案题型二函数的最值解析答案(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，所以－3<a≤0.②当0<a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.所以a＋3>0，a>－3，所以0<a≤1.综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1].解析答案思维升华求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.思维升华当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.2所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；跟踪训练2解析答案解析答案题型三函数单调性的应用命题点1比较大小∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.B解析答案命题点2解不等式∴－1<x<0或0<x<1.CA.(－1,1) B.(0,1)C.(－1,0)∪(0,1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析答案命题点3求参数范围解析答案因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，答案

D解析

当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；解析答案思维升华思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(

)A.(8，＋∞) B.(8,9]C.[8,9] D.(0,8)解析

2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，B跟踪训练3解析答案解析

由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a，＋∞)，

∴a≤1.故0<a≤1.D解析答案返回答题模板系列典例

(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；答题模板系列1.确定抽象函数单调性解函数不等式思维点拨对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小.解析答案思维点拨证明

设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1.[2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数.[6分]规范解答(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.解析答案思维点拨答题模板温馨提醒规范解答解

∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，

[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，

[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2).[12分]答题模板温馨提醒答题模板解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.温馨提醒返回本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.温馨提醒返回思想方法

感悟提高1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法.方法与技巧1.分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.失误与防范返回练出高分1234567891011121314D解析答案2.已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A.(0,1] B.[1,2]C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)解析要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.C1234567891011121314解析答案解析

∵函数图象关于x＝1对称，B1234567891011121314解析答案4.若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(

)A.－3 B.－2 C.－1 D.1解析

∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.B1234567891011121314解析答案解析

当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，D1234567891011121314解析答案解析当x≥1时，f(x)＝

是单调递减的，

此时，函数的值域为(－∞，0]；当x<1时，f(x)＝2x是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2).综上，f(x)的值域是(－∞，2).(－∞，2)1234567891011121314解析答案则a≤2，又ax－a是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a≤2.(1,2]1234567891011121314解析答案所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.31234567891011121314解析答案证明

任设x1<x2<－2，∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增.1234567891011121314解析答案(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解任设1<x1<x2，则∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1].1234567891011121314解析答案10.设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.解

令x＝y＝1易得f(1)＝0.而f(9)＝f(3)＋f(3)＝－1－1＝－2，

1234567891011121314解析答案(2)如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围.1234567891011121314解析答案由f(xy)＝f(x)＋f(y)得所以f(x)是减函数.123456789101112131411.函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(

)A.[1,2] B.[－1,0]C.[0,2] D.[2，＋∞)结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].A1234567891011121314解析答案12.函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是(

)解析由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数.B中，f(x)＝(x－1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝ex是增函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数.A1234567891011121314解析答案13.已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为_____________________.解得－3<a<－1或a>3.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).(－3，－1)∪(3，＋∞)1234567891011121314解析答案当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，

1234567891011121314解析答案(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；1234567891011121314解析答案(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围.解

对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，

所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.1234567891011121314解析答案返回第二章函数概念与基本初等函数I§2.3函数的奇偶性与周期性内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.函数的奇偶性y轴f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是奇函数关于____对称原点知识梳理1答案2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)存在一个最小答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(

)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(

)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(

)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称.(

)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数.(

)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(

)×√√√√√答案思考辨析解析对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

故y＝ex－e－x为奇函数.y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数.故选D.D考点自测2解析答案12345解析

f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.A解析答案123453.(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(

)A.a＜b＜c B.c＜a＜b

C.a＜c＜b D.c＜b＜a解析由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，所以log25＞|－log23|＞0，所以b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.B解析答案12345解析函数的周期是2，1解析答案123455.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x).又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).x(1－x)解析答案返回12345题型分类

深度剖析题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x；解定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函数为奇函数.解析答案∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.解析答案解

当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数为奇函数.解析答案思维升华思维升华

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：思维升华(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.跟踪训练1解析答案B中，对于比较熟悉的函数f(x)＝x3可知不符合题意，故B不正确；C中，f(x)＝sinx在定义域内不具有单调性，故C不正确；D中，定义域关于原点不对称，故D不正确.故选A.答案

A

(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(

)A.F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B.F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C.F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D.F(x)是奇函数，G(x)是偶函数解析F(x)，G(x)定义域均为(－2,2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.B解析答案题型二函数的周期性解析答案解析因为f(x)是周期为3的周期函数，D故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.2.5解析

由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]解析答案思维升华思维升华解析

∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，跟踪训练2

解析答案题型三函数性质的综合应用命题点1函数奇偶性的应用解析答案例3

(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于(

)A.－3 B.－1

C.1 D.3解析因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.故选C.C即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.1解析答案命题点2单调性与奇偶性、周期性结合解析答案解得－1<a<4，故选A.答案

A

解析

∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)A.f(－25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25) D.f(－25)<f(80)<f(11)解析答案解析

∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).答案

D(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝_____.解析函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得解析答案跟踪训练3(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.解析答案返回解析

∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x<0)，

解析答案返回①当x>0时，由f(x)>x得x2－4x>x，解得x>5；②当x＝0时，f(x)>x无解；③当x<0时，由f(x)>x得－x2－4x>x，解得－5<x<0.综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞).答案

(－5,0)∪(5，＋∞)返回易错警示系列易错警示系列2.忽视定义域致误易错分析解析答案易错分析

解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k＝1.由f(－x)＋f(x)＝0可得k2＝1，∴k＝±1.答案

±1解析答案易错分析本题易出现以下错误：由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误.易错分析返回由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，温馨提醒返回温馨提醒返回(1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域.(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系.③弄清最终结果取并集还是交集.思想方法

感悟提高1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.方法与技巧1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验.2.判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.失误与防范返回练出高分123456789101112131415解析对于A，函数y＝log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数y＝cos2x在区间(1,2)上不是增函数；A解析答案23456789101112131415解析答案12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(

)A.4 B.－4 C.6 D.－6解析由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝1＋m＝0，解得m＝－1，∴f(x)＝3x－1.∵log35>log31＝0，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3－1)＝－4，故选B.BA3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2019)等于(

)A.－2B.2C.－98D.98解析

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1).又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2019)＝－2.23456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案14.若函数f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(

)A.±1 B.－1C.1 D.0234567891011121314151解析∵函数f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(－x)＝ax2－(1－a2)x－a＝ax2＋(1－a2)x－a，∴1－a2＝0，解得a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在x∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件.当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1，在x∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件.故a＝1.答案

C5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(

)A.(－∞，－1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(－2,1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析

∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.C23456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案17.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是____________________.解析由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞).(－∞，1]∪[3，＋∞)23456789101112131415解析答案1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，23456789101112131415解析答案1(1)求实数m的值；解

设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.23456789101112131415解析答案1(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].解要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，23456789101112131415解析答案110.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；证明

∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.23456789101112131415解析答案1(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；解

∵x∈[2,4]，∴