关于f和gim分担函数的一个注记

关于f和gim分担函数的一个注记

1偏微分方程a02ef（t，z）和g（t，z）是c2上的两个非常数的亚纯函数，a是一个贫穷的复合函数。当f-a和g-a有相同的零时，它们被称为f和a。当点d和g重相同时，称为f和a.当f和g重相同时，称为f和g。当点d和g重相同时，称为f和g。如果f-a没有零，则称为fpi卡例外值。计算亚纯函数值分布理论的一些基本迹象和结果。亚纯函数的分担值问题,是值分布理论中的一个研究热点,研究成果较多.本文研究一类偏微分方程的亚纯解的分担值问题.设f(t,z)是C2上的亚纯函数,定义f(t,z)的级ord(f)=¯limr→∞log+Τ(r,f)logr.其中,log+x={logx,x≥10,0<x<1.设f(t,z)是偏微分方程a0∂2u∂t2+2a1∂2u∂t∂z+a2∂2u∂z2+a3∂u∂t+a4∂u∂z=0(1)的非常数亚纯解,其中ak=ak(t,z)是∑上的多项式,∑是C2上的一个区域.令Du=a0u2t+2a1utuz+a2u2z,Lu=a0utt+2a1utz+a2uzz+a3ut+a4uz.其中ut=∂u∂t,utz=∂2u∂t∂z,utt=∂2u∂t2.扈培础证明了:定理A设f(t,z)是(1)的一个非常数亚纯解,ord(f)<∞,且满足条件(a)方程组没有非常数的多项式解.设g(t,z)是C2上的一个非常数亚纯函数,ord(g)<∞.若f和gCM分担0,1,∞,则下列4种情形之一必发生(ⅰ)g=f;(ⅱ)gf=1;(ⅲ)gf=g+f;(ⅳ)存在一个常数b∉{0,1}和一个多项式β,使得f=1b-1(eβ-1)和g=1b-1(eβ-1).在本文中,我们首先对定理A进行推广,研究当f(t,z)和g(t,z)都是方程(1)的解时的情况,得到如下结论:定理1设f(t,z)与g(t,z)均为偏微分方程(1)的解,ord(f)<∞,ord(g)<∞,且定理A中的条件(a)成立.若f和gCM分担0,1,∞,则f≡g.其次,我们给出具体的例子说明定理1的条件不能被减弱.最后研究一个特殊的偏微分方程的亚纯解的分担值问题,说明定理1中的条件(a)是充分非必要条件.2合金诉法求一阶和二阶偏导数时的情形只需证明定理A中的情形(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)不成立.下面讨论这3种情况.情形1gf=1.由f和gCM分担0,1,∞可知,0,∞是f和g的Picard例外值.由于ord(f)<∞,ord(g)<∞,所以必存在多项式α,使得f=eα,g=e-α.则将gt,gz,gtt,gtz,gzz代入方程(1),得e-α(Lα-Dα)=0.(3)由(2)和(3)可知.,这与“条件(a)”矛盾.故此种情形不成立.情形2gf=g+f,即(f-1)(g-1)=1.由f、gCM分担0,1,∞可知,1,∞为f和g的Picard例外值.则必存在一个多项式α,使得f-1=eα,g-1=e-α.f和g分别对t、z求一阶和二阶偏导数,再代入方程(1),则类似情形1,得到矛盾.故此种情形也不成立.情形3若存在一个常数b∉{0,1}和一个多项式β使得f=1b-1(eβ-1)和g=bb-1(1-e-β),则ft=1b-1eβ⋅βt,ftt=1b-1eβ(β2t+βtt),ftz=1b-1eβ(βt⋅βz+βtz);gt=bb-1e-β⋅βt,gtt=bb-1e-β(-βt⋅βz+βtz),gtz=bb-1e-β(-βt⋅βz+βtz).将ft,fz,ftt,ftz,fzz代入方程(1),得1b-1eβ(Lβ+Dβ)=0,(4)将gt,gz,gtt,gtz,gzz代入方程(1),得bb-1e-β(Lβ-Dβ)=0.(5)由(4)和(5)可得{Lβ=0,Dβ=0.,这与“条件(a)”矛盾.故此种情形不成立.综上,g≡f.下面是定理1的两点注记.注记1在定理1中,条件(a)不能去掉.二阶齐次线性偏微分方程∂2u∂t2+∂2u∂z2=0,(6)的一个整函数解为f(t,z)=e2(t+iz)+et+iz+1,且ord(f)=1,它的另一个整函数解为g(t,z)=e-2(t+iz)+e-(t+iz)+1,且ord(g)=1.f和gCM分担0,1,∞,但是f不恒等于g.与方程(6)相关联的条件(a)中的方程组为{utt+uzz=0,u2t+u2z=0它有一个非常数的多项式解u(t,z)=t+iz,即条件(a)不满足.注记2定理1中,分担值的个数不能少于3.二阶线性偏微分方程∂2u∂t2-∂u∂z=0(7)的一个整函数解为f(t,z)=et+z,且ord(f)=1.它的另一个整函数解为g(t,z)=2et+z,且ord(g)=1.与方程(7)相关联的条件(a)中的方程组为{utt-uz=0,u2t=0.第二个方程可知ut=0,故utt=0.从而由第一个方程可知uz=0,则ut=uz=0,所以u为一个常数,条件(a)成立.f和gCM分担0和∞,但是f不恒等于g.3定理2的推广扈培础还证明了:定理B偏微分方程t2∂2u∂t2-z2∂2u∂z2+(2t+2)∂u∂t-2z∂u∂z=0(8)在C2上有一个整函数解的充分必要条件是u=f(t,z)=∑n=0∞cnn!yn(t)zn,其中limn→∞¯|cn|n=0,yn(t)=∑k=0n(n+k)!(n-k)!k!(t2)k是Bessel多项式.定理C设f(t,z)是式(8)的一个非常数亚纯解,且ord(f)<∞.设g(t,z)是C2上的一个非常数亚纯函数,ord(g)<∞.若f和gCM分担0,1,∞,则下列4种情形之一必发生:(ⅰ)g=f;(ⅱ)gf=1;(ⅲ)gf=g+f;(ⅳ)存在一个常数b∉{0,1}和一个多项式β,使得f=1b-1(eβ-1)和g=1b-1(eβ-1)类似定理1,我们可以得到定理C的推广.定理2设f(t,z)和g(t,z)为(8)的非常数整函数解,且ord(f)<∞,ord(g)<∞.若f和gCM分担0,1,∞,则f≡g.证明情形1gf=1.由f和gCM分担0,1,∞可知,0,∞为f和g的Picard例外值.由于ord(f)<∞,ord(g)<∞,所以必存在多项式α,使得f=eα,g=e-α.则ft=eα·αt,ftt=eα·αt2+eα·αtt;gt=e-α·(-αt),gtt=e-α·αt2-e-α·αtt.将ft,fz,ftt,fzz代入方程(8),得eα(Lα+t2αt2-z2αz2)=0,(9)将gt,gz,gtt,gzz代入方程(8),得e-α(Lα-t2αt2+z2αz2)=0.(10)其中Lα=t2utt-z2uzz+(2t+2)ut-2zuz.由式(9)和(10)可知Lα=0,t2αt2-z2αz2=0.(11)由式(11)中Lα=0可知,多项式α是偏微分方程(8)的解,故α=∑p=0ncpp!yp(t)zp,(12)其中cn≠0.又由(11)中得tαt=±zαz,把(12)代入并比较系数,得到ty′p(t)=±pyp(t),等式两边再分别对t求积分,得yp(t)=ct±p,其中c为常数,这与yp(t)为Bessel多项式矛盾,故此种情形不成立.情形2若gf=f+g,即(f-1)(g-1)=1.由f、gCM分担0,1,∞可知,1,∞为f和g的Picard例外值.则必存在一个多项式α,使得f-1=eα,g-1=e-α.f和g分别对t、z求一阶和二阶偏导数,再代入方程(8),则类似情形1,得到矛盾.故此种情况不成立.情形3若存在一个常数b∉{0,1}和一个多项式β使得f=1b-1(eβ-1)和g=bb-1(1-e-β),则ft=1b-1eβ⋅βt,ftt=1b-1eβ(βt2+βtt);g