东北大学外推试题

一、填空题(每丿卜题3分，共卩卜题，满分21分)］、出数/⑴=(2)也加丄T心士1的间断点为r□Fx=±l解函数心an占旳间断点为“±1,且有limarctan 二—,limarctan—x z x°-1 2" xa-l24. 1/r.. 1/rItmarctan—,_-=-—Jimarctan—5_-=—宀1 2j工一12*这样lim/(x)=lim(x+1)arctaiiJ—=0=/(Or"""&ctan*2_〔，"±】的问断点为_z 3 八1 O,z=±llim/(x)=lim(a+1)arctan—不存在。r-^l r-il x"—1»(l-xr),2n2.设/⑴=如+严•则打㈤心二解/(x)=<31::圈•则g十j:皿之十扌工设当xTOBt/(x)=P21n(l+f问与g(x)=疋为等价无夯小•V>.则解由于1灿丄2】n(:十Mj/xl号：当&科，=p21n(l+Z^x-*0 x SO4x~与g(z)=才(犷一］)(0〉0)为竽价无穷水旱。4、设函数z=zg列±1方程侃乂-只孑42刃所确总共中s具有一价連续偏导数.则—=_dx解设八儿5疋一只c”卜2刃,£=2入佗/亠氏①+孑①.丁是 滋_—f*__ a亦A 一2乙5十*6£交按积分次序I：砂社"/(")二-卩•■】・2E妙『/(“弍如:丁(2)"—1—刃<T<06、iV(^)='/J ・心］为心角以勿为周期的付甲叶级数的和函数,贝U在区叵［-2T,7r］上的袤达式为_心〕为/(才倒以2九为周期葩付里叶级数的和函数为-l-7F<X<00.07^~2rX=+1,0<X<JT：-1的平面方程为一z=107、过点：-1的平面方程为一z=101-2解L解L芹二宁二千的亦矢量为W^=£-1的方句矢基为・2.1,Oi,2=10与两宜纹.垂直的平面法向呈为4-21x2,1,Ou—1,2,5,所文平闻为

—liz■—引+2iy—2i十5iz—l)=0"芒0二〔每小题7分，共4小题，满分为28分）"芒0■设/（R詔 」％（兀）在*0处是否可导？若可导，密$）.-产。X.XXCOSX-X.XXCOSX-e+—2、计算积分0需穿如专斗却丄严门+曲力°cos2x2-° 1+cos2j=xtanx-lncosx+—In«1+cos2xii 2父设有曲线y=FT,过原点作其切线，试求由此切线、曲线y= 眾於由所围成的平面图形绕碎由旋转一周所得的旋转体的体积。解曲线八戸，过原点作其切线，设切点为订几斜率为切线方程为尹=— 1切线方程为尹=— 1X-心匚将原点带入，有2J°］（。_心）'观二2,切线方程为尹二?由切线y持、曲线―耐及琲由所IS成的平面图形绕姑由族转一周所乙得的旋转体的体积为7r\^-dx--7r^ix-\dx=—b4i 64、求曲面x2+y2=izW+^=29f围成的立体的表面积.解曲画人如2二和y+z=2所围成的立体在xoy平面的投影为d：£+答匕1,曲面皆寺啲面积为（（^14- 4-Zyd?idy=112d?idy=汀屆||Jl+zJ十=11^2dxdy=71^3立体面积为7TI73+7^1

三、 (9分)求血(1-入)代空以<d2.1解工空兀仁」^一血(1_厂于是».i “il-x\lim(l—Jr)?迟巴土b*=limx—(l—x)2ln(l—x)=1*XT1 左.；X XT】 -四、 (8分)求椭球面占夕+4?二1与平面卄丿+"77之间的最短距离。.解椭球面j3+2y2+4z2=l在I九兀，％的法向量为2心4兀•与平面宀+"苗平行的切平国的切点为±备洽楊｝到“尹十"历的距离分别为到“尹十"历的距离分别为五、(12分)设®收有二阶导数，L为平面上的任一条分段光滑曲线，己知曲线积分I二I2［砕(>)+叽刃床+［『收》+2xy2-2秤©)］令与路径无关i.⑴当久0)二-2,M0)二1时，求5>),叽0(2)设L是从。(0,0)到N(花壬)的分段光滑曲线，计算I。解刃xji二2［砂3+仪刃］,q皿yrVa)+2“一2心心)，由于％娯有二阶导数，匚为平面上的任一条分段光滑曲线，曲线积分1=］2［砂0)+00)团十［吧心)+2砂2-2wCy)］y与路径无关的充要条件为巧(xfy•=2x^0)十2“0)= x,yi二2砂<y)+2y2-2於)由于"的任意性，有00)=辺)，讥沪八沁^这样有讥刃占S这是一个二阶常系数非奇次线性微分方程，通解为C］Cos“C2smx+J-2.(1)当软0)二-2,必0)二1时，c1=O,c2=l,卩(x)=si.tix+x—2,呱无)=cos天+2x

此时d(x*yI+ i=2[x^(y)+久刃陆+[xVt>)+2寸-办於)]d⑵设L是从。（0,0）到NS，=）的分段光滑曲线，1=f2b於）+ 呂+［ +2&$一2兀辺）］dyL=|*3严+2椚>））寫"十疋 “4丸（2分）计畀曲面积分冃］曲小罕警Zg,其中工为z x十歹柱面/+才丸（0“兰习的夕卜侧.T^dydz+&ssinxdzdx+T^zdxdy,T^dydz+&ssinxdzdx+T^zdxdy,/十尹£«取下侧，法向量为（O0,-li, z=2.x2+/<4,取上侧，法冋量为心0,1）,焜由E,Sr£2围成的立体由奥高公式，有11xy^dydz+Jsinxdzdx+r^zdxdyz*i*z>=|||u2+/tZx^VwWFV=2(f(宀_/)&妙xiy<<=1Gtt[xy2dydz±exsin竝龙dx十?[2zdxdy=09•wExy2dydz+e:sinxdzdx+^zdxdy.w=||l^dxdyr；；04=|((廿)如yx*£4=8tf11T^dydz±essinxdzdx十x^zdxdyJwI=“xy^dydz十eTsinxdzdx十T^zdxdyI4E4Z-(|T^dydz4-^ssin x2zd^dyJ•z*z=8zr这样iJif7^dydz+/sin加乙(泳+Jzd?xfy=2tv4•:七、(8分)试证：(1)对任意的口>et方程xLnx二口存在唔一的实根x(m),且x(“)>&;(2)当mtho时，丄是无穷小量，且是与乜等价的无穷小量

x(u) U解由于(jrlnx)=lnx+l=O,x= =xln20D最小值I=-^"1.再由limxInx=O^[l对任意的w＞召、在◎无解•再由ix\nx!=ln^+l>0,lim丸In天=+o□知存在唯一的x(w),XT+9x(w)>e,满足xlax=务且limxiw1=+ooF因此口—>4oo吋,—5—是无十9 x(u)穷小量，注意臥字召=吐罕工且丄与些是等价的dT+«>lnwx@)ulnwx(u)a无穷小量.八、(6分)设/(希在［0,1］上连续，在(0,1)内可导,且满足/(1)