单因子变异数分析（ANOVA）

第十二章單因子變異數分析F分配FDIST()FDIST(F,分子的自由度,分母的自由度)FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)F為用來求算此函數的F值。由於F值是兩個均方相除：故其自由度有兩個，一為分子的自由度；另一個為分母的自由度。且因分子分母均為正值（均方），故其分配僅在0之右側而已。本函數在求：於某兩個自由度下之F分配中，求自右尾累計到F值的總面積（機率）。即傳回F分配之右尾累計機率值（下圖之陰影部份）：F分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例Ch12.xlsx『FDIST』工作表，為自由度(2,10)與（3,15）之情況下，不同F值所求得之右尾累計機率：F分配反函數FINV()FINV(左尾機率,分子的自由度,分母的自由度)FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)本函數用以於已知自由度之F分配中，求某累計機率所對應之F值。由於F分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例Ch12.xlsx『FINV』工作表，是以自由度為(2,10)之情況下，所求得之結果：

有了此函數，即可省去查『附錄五F分配的臨界值』F分配表之麻煩。馬上練習查兩個自由度（d.f.）分別為1~10之情況下，單尾機率為5%之F值：（詳範例Ch12.xlsx『F分配的臨界值』工作表）F檢定FTEST()變異數分析(Analysis-of-Variance簡稱ANOVA)，為統計學家費雪(Fisher，R.A.)首創，最常被用來檢定兩常母體之變異數是否相等（即，變異數同質性的檢定）與檢定多組（大於兩組）母群平均數是否相等？（若為兩組則採用t檢定或z檢定）要使用變異數分析的基本假設為：各樣本之母群體為常態分配(normality)各樣本之母群體為獨立(independence)各組樣本之母群體變異數相同(homogeneity-of-variance)兩常態母體之變異數檢定FTEST(範圍1,範圍2)FTEST(array1,array2)可傳回兩組資料（樣本數允許不同），變異數是否存有顯著差異的F檢定之右尾機率值（P值）。判斷檢定結果時很簡單，只須看此P值之二分之一是否小於所指定顯著水準之α值。（按理，係雙尾檢定，但通常會將數字大者當分子，故只須看右尾之臨界值即可）本函數，可用來測試兩組樣本的變異數是否相同？即變異數同質性的檢定，其虛無假設與對立假設分別為： H0:σ12=σ22（兩變異數相等） H1:σ12≠σ22（兩變異數不等）假定，要檢定甲乙兩班之母體變異數是否相同（α=0.05）？隨機抽得範例Ch12.xlsx『F-TEST1』工作表之資料，以

=FTEST(B2:B10,C2:C11)/2

求得其右尾機率（P值）並將其除以2，其值為0.043<α=0.05，故應棄卻兩變異數相等之虛無假設：同樣之例子，若使用『資料分析』增益集。其處理步驟為：（詳範例Ch12.xlsx『F-TEST2』工作表）切換到『資料』索引標籤,點選『分析』群組『資料分析』鈕（#圖Ch12-DataAnalysis）,於『分析工具』處選選「F-檢定：兩個常態母體變異數的檢定」續鈕於『變數1的範圍』與『變數2的範圍』處，設定兩組資料之範圍（B1:B10與C1:C11）點選「標記(L)」（因兩組資料均含『甲班』、『乙班』之字串標記）α維持0.05設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之E2位置按

鈕結束，即可獲致檢定結果依此結果：自由度為(8,9)，F值3.4192>臨界值3.2296（F10處之P值0.0426<α=0.05，同於B15之值；E15處以FINV所算得之F值為3.419，同於F9之值），故可知甲乙班之變異數有顯著差異。（應棄卻兩變異數相等之虛無假設）FTEST()函數實際上是以 計算求得F值，再代入FDIS()以(n1-1,n2-1)為自由度，求得其右尾機率。如以前面例子n1=9、n2=10、

、

此值恰等於詳範例Ch12.xlsx『F-TEST3』工作表中，B16以FINV()函數所計算之結果。將其代入FDIS()以(8,9)為自由度，求得其右尾機率為0.0426，恰等於B15以FTEST()函數所計算之結果（該值係將雙尾機率除以2）：先檢定變異數再進行均數檢定當以t檢定，進行兩獨立樣本（小樣本）均數檢定時，將視其變異數相同或不同，而使用不同之計算方法。實務上，很多知名的統計套裝軟體（如：SPSS、SAS），就先以F檢定，判斷其變異數是否相同？然後再進行適當之t檢定。如，要對範例Ch12.xlsx『F&T』工作表之資料，進行兩班抽樣成績之均數檢定：以前，我們是假設變異數相等（或不等）後，才來進行t檢定。但這種假設合理否？誰都不知道！所以，就先以F檢定，判斷其變異數是否相同：由其F10處之P值為0.27>α=0.05，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設。由於，F檢定之結果顯示甲乙兩班之變異數相等。故可使用『t檢定：兩個母體平均數差異檢定，假設變異數相等』之方法進行檢定。假定，要判斷在α=0.05之顯著水準下，乙班之平均成績是否高過甲班？由於是變異數相同，t檢定之類型為2。且虛無假設與對立假設分別為：

H0:μ1≧μ2

H1:μ1<μ2故此類檢定為單尾檢定。所以，以

=TTEST(C2:C11,B2:B10,1,2)

或以『資料分析』之「t檢定：兩個母體平均數差異檢定，假設變異數相等」增益集：均可進行檢定：無論由B16或F27之單尾P值來看，均顯示其值0.1856>α=0.05，故仍無法棄卻兩班之均數相等的虛無假設，所以並無法證明乙班之平均成績會高過甲班。馬上練習以範例Ch12.xlsx『F&T馬上練習』工作表，利用F檢定，判斷北區與南區給予剛畢業之大學生的薪資變異數是否相等（α=0.05）？續以適當之t檢定，判斷北區給剛畢業之大學生的平均薪資是否高過南區（α=0.05）？由其G10處之P值為0.17>α=0.05，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設，故得使用兩個母體變異數相等之均數檢定：由G26之單尾P值0.003<α=0.05，故得棄卻兩區均數相等之虛無假設，所以北區給剛畢業之大學生的平均薪資高過南區。單因子變異數分析（ANOVA）變異數分析的另一種用途，是用來檢定多組（>2）母群平均數是否相等？亦即，Z與t檢定是用於兩組資料比較平均數差異時；而比較二組以上的平均數是否相等時，就須使用到變異數分析。其虛無假設與對立假設為：

H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等）

H1:至少有兩個平均數不相等假定，範例Ch12.xlsx『ANOVA』工作表資料，為調查各地區對政府施政的整體滿意程度（滿分為100分），試以α=0.01之顯著水準，檢定各地區之滿意程度是否存有顯著差異？本例，以使用『資料分析』進行處理最為便捷。其步驟為：切換到『資料』索引標籤,點選『分析』群組『資料分析』鈕,於『分析工具』處選「單因子變異數分析」續按

鈕於『輸入範圍』處，設定三組資料之範圍，選取可包括所有資料之最小範圍即可（本例為B2:D12，別管其內可能仍含有空白儲存格）將『分組方式』安排為「逐欄(C)」點選「類別軸標記在第一列上(L)」（因各組資料均含標題之字串標記）α設定為0.01設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之G2位置按

鈕結束，即可獲致單因子變異數分析之ANOVA表 依此結果：自由度為(2,24)，F值10.79886>臨界值5.61（L13處之P值0.00045<α=0.01），故可知三個地區之整體滿意度存有顯著差異。南區的滿意度86.5要比其餘兩區（66.30與79.89）來得高。馬上練習某公司於報紙上進行廣告，範例Ch12.xlsx『廣告ANOVA』工作表，為不同方式廣告當天所獲得之回應人數：

試以α=0.05之顯著水準，檢定不同方式廣告之回應人數是否存有顯著差異？答案：F=6.56，d.f.=3,19，P-值=0.00，不同方式廣告之回應人數間存有顯著差異。全版與半版廣告之回應人數（1173.5與1083.2）高於1/4版與小廣告（724.4與733.0）。馬上練習依範例Ch12.xlsx『信用卡刷卡金額』工作表

試以α=0.05之顯著水準，檢定大學生每月刷卡金額是否隨零用金來源不同而存有顯著差異？答案：F=0.46，d.f.=2,32，P-值=0.64，大學生每月刷卡金額並不會因其零用金來源不同而存有顯著差異。馬上練習將範例Ch12.xlsx『手機平均月費』工作表之內容

將其整理成僅剩有手機者（刪除無手機者），並以居住狀況分組：試以α=0.05之顯著水準，檢定大學生每月手機月費是否隨其居住狀況不同而存有顯著差異？答案：F=6.887，d.f.=2,116，P-值=0.001＜α=0.05，故大學生每月手機月費將隨其居住狀況不同而存有顯著差異，住家裡最高（572.36）、其次為住校外（447.59），最後為住學校宿舍（319.43）。這可能與住學校者較為節儉有關。量表的檢定—多組對於如： 等之評價量表，我們也經常得進行分組檢定。看對某一屬性之注重程度，是否會因組別不同而有顯著差異？若僅分兩組，係以『資料分析』之「Z檢定：兩個母體平均數差異檢定」來進行檢定。若組數為兩組以上，則以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定。以範例Ch12.xlsx『擁有手機時間長短X附屬功能多屬性』工作表，其內僅安排一個『附屬功能多』評價項目（非常重要-5、……、非常不重要-1）及擁有手機之時間長短資料（1.未滿六個月、2.六個月至一年、3.一年~一年半、4.一年半以上）：由於分組結果超過兩組，故得以『附屬功能多』之「單因子變異數分析」來進行檢定。先將其資料整理成：然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定其檢定結果為：由於本例之虛無假設及對立假設為： H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等） H1:至少有兩個平均數不相等 α=0.05 依此結果：F=2.9767，d.f.=3,115，P-值=0.0345＜α=0.05，故大學生對『附屬功能多』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。擁有手機時間一年～一年半者的注重程度（2.79），低於其他各組（3.45以上）。馬上練習依範例Ch12.xlsx『擁有手機時間長短X雙頻手機屬性』工作表內容

將其資料整理成：然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定大學生對『雙頻手機』評價項目的注重程度，是否隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異？依此結果：F=2.747，d.f.=3,115，P-值=0.046＜α=0.05，故大學生對『雙頻手機』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。擁有手機時間一年半以上者的注重程度（4.2），高於其他各組。於報告上量表檢定的寫法-多組通常，我們問卷上的評價量表，絕不會是少數的幾個評價項目而已。以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定，也是得一個一個進行檢定，其過程相當辛苦。這也是沒辦法的事，主要是Excel並不是專門的統計軟體，能做到這樣也算是不錯的了。最後，將其彙總成下表：（詳範例Ch12.xlsx『手機屬性-ANOVA』工作表）檢定結果顯著者，於其P值後加註"*"（表其＜α=0.05），並於報告中對其詳將解釋；檢定結果不顯著者，則僅解釋其重要程度之排序即可。如：根據調查解果，受訪者較注重之手機屬性，依序為：『收訊狀況佳』、