2022-2023学年甘肃省天水市统招专升本高数自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年甘肃省天水市统招专升本高数自考模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:学校:班级:姓名:考号:、单选题（20题）、单选题（20题）1.由曲线y=sin.r(0-,r&积为与」轴所围成的区域绕.r轴旋转一周所得旋转体的体A.0B.2・A.0B.2・1T「）噂J2.曲线了=的凹区间为B.A.B.D.3.方程/-T-1=0在下列区间中至少有一实根的是a-H)C.(H2)a-H)C.(H2)D.(2,3)4.c.olim.r2/1c.oD.co5.若当工-0时,£彳+2、/+3、/与彳是等价无穷小•则常数6=A.0b.A.0b.1D.36.［答案］c【精析】因为/(f)= =2f.?'(/)=3产.而点(1,1,1)所对应的切线的方向向量丁={1.2.3).于是,切线方程为♦_l_v—l_z—11- 2 3^,［答案］D［答案］D———— d.r=liniarcsin.rJ，,yi—J,2 1f _ ai=N所以」一d.r收敛.h 2 "J、一三i i=-lim'+1=1,i i=-lim'+1=1,所以Cdi收敛..r•十・.・・X JIjK=十8=十8,所以1Zdl发散.

al>I"10.C［答案1C■y r-1 r【精析】因为lim-+ln(l4-e1)=0,所以,y=。为水平渐近线..「-*一•.工一—L1 -1又因为lim上+ln(l+e，)=-,所以i=0为垂直渐近线.故应选C..r-*O«Fll.A［答案］【精析】［答案］【精析】^之——d分之olo—==—2y+2.dy=2=A>=2=A>0.—djc()y(«),])="B堂=-2=((0.1)所以反一八C=0—2X(—2)=4＞。.因此驻点(0,1)不是极值点.12.B［答案1B【精析】1沁】穹士4=0.lim勺二,所以y=0是水平渐近线=±、&是垂一••.r—3一土耳——3直渐近线.曲线既有水平渐近线又有垂直渐近线,故应选B.［答案］cri, riv【精析】 ，dr=x2e-rdrJI) J<i= x2d(—e/)J4A2 1f12=/'「' +2火一，djc13.C14.D=1-2C］13.C14.D［答案］D【精析】y—(arcsin.lg(2x+1)1)♦故复合过程为y—"♦〃=arcsim^v=lgw*w=2①+1.15.D［答案1D【精析】Ax=b有无穷多个解，即r(A)=r(A.b)O,故Ax=0有非零解.16.D［答案］D【精析】/□(/)［= 1 =1——二7=二^= ,故选D.\ } ।a-_1x—1 1—.r17.A［答案］A【精析】方程2"=、z+y两边对］求导•考虑到了是？的函数•得2-ln2•(v+］用)=1十里.

,(b(Lr整理得v2-ln2+.r2-ln2•*=1+*当1=0时.代入原方程可得》・=1.带人上式可得ln2+0=1+翌.QJCj-i>所以联=ln2-1.CUT18.A［答案1A【精析】因为p=lim3=］.］袈==1.所以收敛半径R=1•则一1<2彳>••••att“・••/〃+1一”<1.所以写.因为该哥级数的收敛域为［1.2).所以巧」=1・。 J J。=3.当I=1时•级数为X11,收敛；当工=2时,级数为2Cf.发散.1匕W工 ._,，T1工W-］经验证”=3满足条件.【精析】因为当/f0时sin2_r〜2jJn(1+2.r)~2tiqc所以当"一0时】n(l+21)〜sin2i,故应选I).u20.D［答案1D【精析】d项中,根据莱布尼茨定理可知£(—1尸，收敛.而X(-irl=s4lr-I JI-I \/〃 II-Jn-p=2V1的p-级数•发散•所以£(—1)"上条件收敛./ “=)vnv(sinjt'+C)=1【精析】9=/cosw,则」dy=coswdu两边积分，得一=sinw+C♦即y(sin.r+

di y' y 'C)=-1,力一山一曲山23/dyd:♦力一山一曲山23/dyd:♦2/-323r3r【精析】点(0,2)对应的参数为,=1亭=OJ3r23.0［答案］。【精析】Hf3时9sin———►0<|1—cos①|《2♦所以lim(1—cos.r)sin—=04vT L” X24.【精析】向量的模为，（一3尸+42+12=底,故与之平行的单位向量为土故与之平行的单位向量为土25.［答案］M-21,【精析】/(X2+1)=V+4M+3=(工2+1)2+2(1211).令/=口+1,则/⑺=v+2/,即/(x)— •故/(1—2)=(1—2”+2(1—2)=x2~~2x.26.（一参名）因为lim内—8lim内—82”〃+1)

(〃+2)2内所以收敛半径R=%=5.即/v占.收敛区间为（一冬身.当z=一自时，该级数为调和级数七击，发散；当］=g时，该级数为调和级数工壮丁发散.»r=1故该基级数的收敛域是（一《・冬）.27.-9A［答苞?OOI【精析】因右=3"+(-1)"一则夕=lim|八|=limSU；；：1Hrr;.Iatl| 〃・..・〃+1 3+(-1)于是.收敛半径R=上=［，令-5V］—1＜}.得收敛区间为6号).当、r=1■时,级数为＞＞一］)“甘=£(-1)“工+2——・收敛;3 M 3•〃匕〃匕3。〃当？=1时.级数为23,二＞=25+2呆千•发放・Q ”-1 71 ”一1〃”一।° 〃于是，收敛域为3于是，收敛域为3)-［答案］娓【精析】由向量的向量积的几何意义知，以Q/为邻边的平行四边形的面积为：TOC\o"1-5"\h\ziJ及S=|aXb|,因aX/>=10—1={1,-2,1},故S=、/］，+(—2)2+1*=论.01 229., 7【精析】原微分方程可化为y+j=-4'是一阶线性非齐次微分方程，其中PQ)=j'•|・Q(.r)=-4i,则由通解公式可得了=e4p<J)<k(|Q(j)efp(J)drd^+C)=e-J(|-心』汕心+C)=I"(j— 3d.r+C)=I-(—a4+0=4；—.jc£将初始条件丁=1代人得C=2,1=1故原方程的特解为.、,=与一算.1TOC\o"1-5"\h\z1sin—【精析】limxsin—=lim——=1.X1—J.30.1 x31.N【精析】令H(工)=J(jr)—g(T)J{f(T)= >0,只能得出f(jr)—g(x)单调递增.例如，在区间(0,1)内，/、Q)=ng(Q=,，则/'Q)=1，/(3=一4,可工 .Z知在(0・1)上，/‘(?)>/(3),但”了)Vg(?).32.N［答案］x【精析】方程两边同时对1求导得31- —2x2yf+5V2+10jyy'一53'=0.整理可得(10/y—2M—5)，=4.ry—3M—5v2.所以孚=彳.(Ax10jc»—Zh"一5yY【精析】由函数的单调性可得出.•JL34.N【精析】 因为1出—=0.linx;=0•所以lim（/—3］）=0—0=0.「♦0 r-D r-035.N【精析】方程两边分别对工求导数，得«/=△+//•整理可得丁=7--v1一.9=d2—y*36.N【精析】反例：取/（/）=Hg（i）=一/，当/f8时,/（二），g（/）均无极限，但/（jt）+g（x）=0有极限.37.N［答案］x【精析】•・、=2才..“'=>—2,当［―5.—⑶时.』>0,丁单调递增；当xe（一四，口时，）/<o…单调递减.38n【精析】若｛%）收敛,也｝收敛，则｛心+仇｝也收敛.39.Y［答案］J【精析】［/（一?）了=—/（—?）.若/（.「）为精函数,则［/（一1）了=［一/（.r）了=一/（.「）.所以一/'（—.「）=一/'（.「）•即/（一.「）=/'（才）,故/'（.】、）是偶函数.40.N【精析】丁= =2.故抛物线在点（1.1）处的切线方程为5—1=2<T-1）.j—141.【精析】由被积函数形式可知选择先对1后对），积分计算比较简便，画用积分区域如图所示，积分区域可表示为0 山0& 1，则z2e「vd、rd»=x2dzJofl“3 2Ye"vdy0o1flA2—yd(e~v)第第题图6J1 2—V2=——ve'

6)1rj++")42.1 1■一■111一—P6e 6于一南【精析】方法一将函数J一（，+31严＞两边取自然对数，有Inv—sin2l•InQ'f3"）,两边对.r求导•得：一•，=2cos2x•ln(x"+3])+sin2x•.y21+3x2+3才于是丁-（二+3工）—2cos2jr♦ln(t2+3i)+Csin2i]；jt*十3j方法二y= +3、r）力2cos2x•\n(x2+3x)+sin2x♦%+3]3+3t)32cos2”♦ln(jr"+3x)+白=^-sin2*JT+3143.【精析】设Q（.r,j）=、r、—3a,y[»P（j-,j«）=xy:— ,则0=望=2、a—3八J] r/V设三角形区域为D,则由格林公式可得，原式=（Odldjr=0.2a【精析】（1）/（0）=6；(2)limy(.r)=limdftlln(1+clv) ］. ax• =lim .x—arcsin.r」一«x—arcsinj-=lim，-3cu2 r 3心’ : =lim— ］— 1 f，1—1—1，1一=lim，-u3。/ 公=—6a；1 2(3)limf(x)=lim/一(口一1_p铲+V—ar-1.rsin: 厂•" 4-①’4 4=lim.z-*0a+21—a「a2+21-llm12- 2=2az4-1；若/(、］)在、r=0处连续.应有2a2+4=—6a=6,故a=-1;若.r=0是/(才)的可去间断点•则应有limf(I)=lim/(*)#/(0)§即2a2+1=—6a#6,故”#-1•所以a=-2时,了=0是可去间断点.【精析】由/加）在（―8,十z）内连续.知।1—a-b=1• ।a11-"-〃=1♦b=1■।1—a-b=1• ।a11-"-〃=1♦b=1■=—L/(I)=limf(i)=lim/O.【证明】令f(r)=cJ—1—-y.r2—ln(.r+1)»乙则/'(i)=e'，=er—1+--? j.i十1 (j+1)-当.r>0时，'(i)>0,所以;"(.r)单调递增，且在［0.十8)上连续.则当1>0时=0,从而单调递增,且f(x)在［0,+e)上连续,所以当/>0时,/(①)>/(0)=0.即cr—1> +ln(.r+1).47.略【精析】设存款利率为①，存款量为M.因为存款量与利率成正比，所以有M=是正常数).若贷款总额为A4,则银行的贷款收益为0.16M=0.16人，而银行要付给存款为M的存户的利息为wM=心"所以银行获得的利润为L=。.16人-6.1，//=0.16左一2依•令//=0,则]=808,/r=-24V0,所以z=0.08是L的极大值点,又因实际问题最值一定存在可知该点也是最大值点，故当存款利率为8%时,银行获得最大利润._ ?I2【精析】联立‘•可得二者围成的立体的投影区域D为/+丁2(。2,故立J-体体积为V=[a2—(x2+y2)]do=Jd。](a2—r2)rdr=[ M..【精析】设正方形的周氏为则圆形的周氏为〃一则正方形的边长为£•圆形的半径为^1/n正方形与圆形的面积之和S=《十。^.(0v.rV”)lb4k令s'==°.得才=言£而宁(兴;)故1=苦;时正方形与圆形的面积之和取极小值’又是唯一驻点’故也为最小值.即当正方形周长为佬-•圆的周长为7^-时，止方形与圆形的面积之4-1-71 4+7T和最小.【精析】设底面半径为广,圆柱高为人，则v=仃24+导+,5=3++2式吊，h=上71■厂，代入S得S=-|-7rr2+--»汽厂3 3 r所以S'=?厂一",令s'=0得唯一驻点厂=/!匕，且宁=B+W>0,故为极3产 y5k3r小值点，在此问题中也为最小值点，代人「解得人=理\即当该直圆柱的底面半径为J需,高为时，其表面积最小.【精析】画出图形如图所求•设上、下两部分的面积分别为S]•且Si,与均关于),轴对称，由于抛物线与圆在第一象限的交点坐标A(2・2),故直线。4的方程为？=彳,所以扇形的面积等于《圆面枳,故OTOC\o"1-5"\h\z1 C21Si=2[_—•x>8+(j:——j*2)(Lr]o Ji> Z=2n+2?—')[；=2n+f4 4第25题图Sj=8n-S(=8rr—(2；r+w)=6汽-第25题图函数f（D在区间［小加上连续是/（a）在［小〃］上可积的A.必要条件C.充分必要条件B函数f（D在区间［小加上连续是/（a）在［小〃］上可积的A.必要条件C.充分必要条件B.充分条件D.既非充分也非必要条件7.2+2y=1,直线J 与平面『一=+1=（）的关系为⑵+？=1A.平行 B.直线在平面内C.垂直()D,斜交8.曲线才=t.y=t\z=t3在点（1.1.1）处的切线方程为 （ ）——9—iT~Z—1—3D.中9.卜列广义积分发散的是B.八x/1—.r?drB.八x/1—.r?drD.10.曲线3=:十ln（1十e」）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线（'.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线11.函数之=/"—V+2）在驻点（0・l）处 （）A.无极值 B.取极小值C取极大值 D.无法判断是否取极值?7.-I-1曲线＞=?7.-I-1曲线＞=.二—3A,仅有水平渐近线C.仅有垂直渐近线13.A.1B.0C.1-2e1 D.e]-1()B.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线函数y=arcsin二lg(2①+1)」的复合过程是 ( )y=arcsinn=lg*v.v=2、r+1y=arcsinwu/=v2=lg(2.r+1)y=tr=arcsin5n=2i+1y—tr，"=arcsine,v=Igwtw=2a+1设A是〃』X〃矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=8所对应的齐次线性方程组•则下列结论正确的是 ( )A.若Ax=0仅有零解，则/lx=b有唯一解区若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解C.若Ar=b有无穷多个解§则Ax=0仅有零解D.若Ax=人有无穷多个解•则Ax=0有非零解已知/(a)=1一工•则/[/(1)]= ( ).7A.1—1 B.—C.1-jc D.-一~--jr-1 1-JC函数丁=3<r)由方程2。=.r+y所确定，则孚= ( )d、T,="A.In2—1 B.In2+1 C.1—ln2 D.—1—In218.如果级数二今二^的收敛域是［1,2）,则a=一1B.4C.5D.718.如果级数二今二^的收敛域是［1,2）,则a=一1B.4C.5D.719.当if0时•下列无穷小量与ln（l+2i）等价的是D.sin2H20.下列级数条件收敛的是\5^（—1）〃_“• '1,2nB.5(一D"•i-L〃・3"D.2(-lrw二二、填空题（10题）…方程学=y2cosa的通解是21.山22.dy_drr=t'—2zH-1dy_dr在点(0,2)处的导数lim(1—cos.r)sin—=23.•一 ，24.与向量（一3,4,1）平行的单位向量是设函数/O+1)=1,+4辽2+3,则—2)=8察级数X与的收敛域为£〃+】赛级数Z3“।：一1）"（._］）”的收敛域为In由向量。=（1.0•—1）.3=（0-1<2）为邻边构成的平行四边形的面积为微分方程弋/+2y+4/=0满足初始条件丁=1的特解是小三、判断题（10题）若f(X)>g'(z),则/(j)>g(/).B.是31. A.否B.是票=32.票=由方程二一2+51y2-5>+1=0所确定的隐函数），=3<x）的导数,了一3二一5410.ry+2M-5A.否B.是如果函数/Q）在（入〃）内单调增加•则函数一/Q）在（a・〃）内单调减少.A.否B.是lim(j"2—31)=lim/2—3liniz=oo—oo=0.z*0 r r*0 r— oA.否B.7E由方程y=所确定的隐函数的导数为/=士;.“yA.否B.是2二在某过程中,若/Q），g（z）均无极限•则/"）+gC）无极限.A不30. A.台B.是函数y=1—2］在区间［-5,口上单调减少. （ ）A.否B.是"若｛〃“｝收敛.｛儿｝收敛，则（4+儿｝可能收敛,也可能发散.八不口日A.pqD.7E.若函数/（工）是奇函数且可导.那么'的导数/（I）是偶函数. （ ）A.否B.是抛物线y=/在点（1,1）处的切线方程为y—1=2j（t—1）.A.否B.是四、计算题（5题）*yw计算、"&心,其中D为由直线丁=，y=1及y轴围成的平面闭区域.D求函数y= +3］产力的导数产.cLr设L为三个顶点分别为（0,0）、（1・0）和（0.D的三角形边界，L的方向为逆时针方向,(»ry2-3'“)心，+(a2y—3,r>'2)dy.jc—arcsinj设/（/）=以问设/（/）=以问〃为何值时./（1）在1=0连续;•u<

zsin-，，为何值时,=0是/(为的可去间断点.45.，-19 JC&-1♦设J(、r)—.：V+ax+〃,—1<Zx1,在(-z.+z)内连续.求a和〃.五、证明题（2题）证明：当①>0时-1>=V+1h(t+1).证明方程X5+31-3=0在（0.1）至少有一个根.六、应用题（5题）某家银行准备新设某种定期存款业务.假设存款量与利率成正比.经预测与存款量相同的贷款投资的收益率为16%.假定客户所有存款全部贷出.那么存款利率定为多少时.银行能获得最大利涧？求由抛物面之=/十/与