一元二次方程与几何综合教师版

精品资料 欢迎下载精品资料 欢迎下载一元二次方程与几何综合、教学目标知识目标：运用根的判别式及韦达定理解决与一兀二次方程的根有关的几何问题，强化旋转中的基本图形和有关圆的综合题的处理方法.能力目标：能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化.情感目标：增强学习的信心，培养科学探究的意识.二、教学重点建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系.三、教学难点含参一元二次方程的处理.四、课时安排2〜3课时（2小时左右）五、教学过程1•先简单回顾上节课一元二次方程综合题的基本方法，并回顾韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方程的处理方法.2.例题讲解：【例1】（2013〜2014江岸九上起点25）（试题难度：A）如图1,^ABC> 型都是等睡直角三角瑕，"更—班,AE=a,ABf且盘ch点在力◎上，连接另0⑴如果“並命2OW-的值；②若饿占是关于兀的方程—曲+丄嵌-2切+2=0的两实数根*求用的值；b 25 5 5⑵如图2,将AADE绕点虫逆时针旋辂使極三100»连接DC,求五边形ABODE的面积.圉1

圉1a2参考答案：(1［① •，②m=1(2)5000.b3— -5分析：(1)①厶ABD的三边分别为'..2a、b、-a,且/BAD=45°,故过B点做BF丄AD于F,在厶BFD2中使用勾股定理可以得到 a、b之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件 a<b可以排除一个结果；②由韦达定理可以得到 a、b与m之间的两个关系式，再加上①求出的结果，一共三个方程，可以把m的值求出来，得到两个解m=1和m=-3，分别算出a、b之后发现当m=-3时a、b为负值，又a、b是线段长不可能为负，故排除此解，所以 m=1.(2)a、b、c长度都未知，只知道BE的长，直接去求五边形各部分面积肯定行不通.考虑到厶 ABC和厶ADE是两个共底角顶点的等腰直角三角形，尝试使用全等将五边形 ABCDE拼接成为一个与BE相关的三角形.故取CD中点F，延长EF至G,使FG=EF，连接BG、。6,则厶EDFGCF,△BAE也BFG,所以五边形ABCDE的面积就等于△EBG的面积，而△EBG又是一个腰长为100的等腰直角三角形，问题解决.另法：过E点做AB的垂线，交BA延长线于F，过D做DG丄AC于G,设EF=x,AF=y,证明△AEFDAG,且相似比为2，在△BEF中使用勾股定理用a、b、x、y把BE表示出来，再把五边形ABCDE的面积表示出来，然后做整体代换，也可以求出结果，此法较复杂.点评：本题(1)的①②两问都有两个结果，算出答案之后注意结合题目条件验证，排除掉与几何条件不符的结果；第(2)问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的基本图形.【例2】(2013〜2014黄陂区九上期中24改编)(试题难度：A)如图b在等边△朋口中，卩是眈下亩一动点，且/肿PE、PC是关于工的育程(a-1)?-+ 的两实根，求砂的长度；如图2,在△卫刊7中，£ABC=3^, BC=^且月、g是关于兀的芳程X-用丫+3用+6-0的两实根，若|戸+如“附■»■①试在△肋(7内找一点H使卩到几B、(7三点的距离之和最小.求出3最小值并说明理由.参考答案：(1)PA=9;(2)10.分析：(1)这是一个八年级常考的图形，结论是 PA=PB+PC,又由韦达定理得到PB+PC=9，问题解决.给出两种证明：①延长PC至D,使CD=BP,证明△ABP◎△ACD;②延长BP至E,使PE=PC,证明△BCE◎△ACP.(2)根据韦达定理不能求出p、q,所以先处理第二个式子，去掉绝对值之后可以将其因式分解，得到p=6或q=3，将两种情况都代入到韦达定理中验算，可以排除掉 q=3的结果，故p=6,q=8•要使FA+PB+PC最小，可以将厶BPC绕点B顺时针旋转60°至厶BED，贝UPA+PB+PC转化为PA+PE+ED，则当PA、PE、ED共线时有最小值，即最小值为AD，因为AB=6,BD=BC=8，/ABD=90°，故AD=10.点评：本题第(1)问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第( 2)问是一元二次方程与几何最值问题的结合.阶段性小结：例1例2告诉我们，在做此类题目的时候，常常会得到多解，得到的结果一定要结合题目条件一一验证.【例3】(2013武汉元调25)(试题难度：B)如图，在边按为1的等中，農边肋为直径作©D以。为同心，04长为半径作①O,◎次半圆忑上不与小丑重合的一动点，射线乂匚交⑥。于点禹BCpACf求证’=b+屁*求a+b的最大値；⑶若m是关于上的方程H+曲处=护十少血的一牛根！求刚的取值范围参考答案：(1)略；(2).2;(3)Ovmv1或-2<mv-1分析：(1)因为AC+CE=AE，所以只需证明CE—.3BC即可，因为BC丄CE,所以连接BE，只需证明/E=30。，因为/E是OO的圆周角，所以/E是/O的一半，问题得证；取AB中点F，连接AF、BF，则出现了一个八年级常考的图形，过 F分别向AC、BC做垂线，垂足分别为G、H，则△AFG◎△BFH，故AC+BC=2AG,又因为AG<AF，故AC+BCW2AF=..2.这个关于x的方程可以因式分解，可以得到X1=b和X2=i3a-b,所以需要考虑两种情况：b的范围即AC的范围，即0到1之间；--3a-b的范围可以考虑AE，当C在运动过程中，AE最短为AB，最长为OO直径，这一点很容易出错，故 m的取值范围有两个.

点评：本题第（2）问将八年级的基本图形隐藏在圆中，同时加入了最值问题；第（ 3）问是韦达定理与几何最值的结合，【例4】（2013〜2014六中周练25）（试题难度：A）如團b衽平面直角坐标系中，盍。的坐标洵h,卩），过点dD作©6交坐标轴于A（0,a）,B（其0）两点■，点B在工轴正方向上-（1）若*%y=b求业b的数量关系：若俄b是方■程-（10~ +1Om~P=0的两根』求用的直⑵如圏N若点丄在$轴负半轴上，住门是关于忑的方程耳-（历用7-4刃“2（川+的刊=0的两根,其中心山且^a+y/3b=5t点U是点川关于H轴的对称点，点Q为06上一动点，以Q为圆心，QC长为半径作OQ分别交F轴*射线①于点M求出a、b的值；试求娃段加的最大值和最小值.图2图2参考答案：（1［①a+3b=10:②m=3（2）①a=2,b=2・.3:②MN最大值623，最小值6-2.3分析：（1）①过D点分别向x轴、y轴做垂线，垂足分别为E、F，则△DEBDFA，然后可以得到a、b间的关系；②由韦达定理可以得到关于 a、b、m的两个关系式，加上①中的关系式，可以把 m求出来，得到两个结果，注意其中一个结果不符合题意要舍掉；寸3n2+n（2）①用因式分解法可以得到这个方程的两根， 由于A在y轴负半轴上，所以a=-2,b= ,将a、21—b代入一a•、.3b=5中，可以求出n、b，注意舍掉不符合题意的一根； ②在OQ中，MN所对的圆周角2为一定值60°,所以OQ半径越大，MN越大，OQ半径越小，MN越小.Q点为C。！与O的交点时，QC最小，Q点为COi延长线与OOi的交点时，QC最大，然后可以求出MN的长.点评：本题是韦达定理与几何最值问题的结合.

2例2例3例4都涉及到了因式分解,【归纳小结】本节课你们学到了什么知识？对一元二次方程与几何综合题有什么新的认识？这类题的易错点是什么？【家庭作业】1.（2013〜2014二中、七一九上期中16改编）（试题难度：B）如图，点.卩是线段朋上不同于几尸的任意一点，在皿的同侧作等边△肿C1和等边△卵D,AP=a,BP且念§是关于x的方程也0-4你+川=0的两实根.⑴若h=2筋骼求四ABDC的面积e（2）求四边形ABDCff）面积的最小值；<3）①试求线段CD的最小值；②设△PCD的外接IU和内切隔的半径分别九&珀当竝段CD取得最小值时，求£的值.参考答案：（1）4'..3―扌；（2）3.3；（3［①CD最小值为2;②2分析：（1）把四边形ABCD的面积用a、b表示出来，然后结合韦达定理稍加变形即可；（2） 与（1）方法一样；（3）①分别过CD向AB做垂线，可以把CD用a、b表示出来，然后用代数方法求其最值； ②当CD最小时，即a=b,此时△PCD是一个等边三角形，显然可以得到 R=2r，或者把R和r都计算出来也可以.点评：本题主要是用代数运算解决几何问题，设置（ 1）（2）两问给第（3）问降低了难度.

2.（2013〜2014六中九上期中25）（试题难度：A）如图b以$轴正半轴上一点5再圆心的同分别交x轴于血丹两点，交$轴于2+迈釘G5,忑-2）.（1）求点川的坐标；⑵如臬点川（处h）是06上第二象限内一点.，且舐力是方程*+（2-欲-加=0的两实根，卩是劣弧紡上一点，试间竺竺的值是否为定值？若为定值，求出其值；若不是宦値，求出其变化的范围；NP（3）若点C是劣弧乔上的一动点（不与点止产重合），5D丄朮;O£±ACr垂足分别为点刀、氐设吕DF 的面积为丘求s关于r的函数关系式，并求出其自变蜃的取值范圉.参考答案:ABGS3（1）A（—72，参考答案:ABGS3（1）A（—72，0）；（2）72；（3）S=4_t+：4_t4,0Vtv,2分析：（1）把半径求出来用勾股定理计算，或者直接用直角三角形射影定理计算；（2）首先由韦达定理可以得到 N点坐标，发现N是AB中点，连接FN、GN,就成为了八年级