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和差换元法在数学竞赛中的应用#例1：已i知pN七R,满足p+q=2,求/+/的最小值.级二令p=e+粕，g=m一呻，J.p+g=2%.解得m=1.a 2 2t2--।/.pqm一他=l-/iWL.p'+y'=（p+q）[（p+q）?-3pg]=&-6Pq工2即/+/的最小值为2.例2:（证明不等式）已就U*eR*,求证产中贵匕广证明：令。二中■十,人=机-汴’贝U仃"千斤二（m+总厂十＜m一口）”r门耳/-i2ZJt-2.jT*44it-4_ ___r口=2m+2Chhl+2匕凡k+11 .rrt+6范: r2+E%n又'「m"-5—3…一一空（丁丁），j j q类型二:题目中出现三个未知数且已知其中两数的和为定值;两数的机等于第三个未知数的平方加上一个常数呗[篙数耍等于两数和的一半的平方.求关于三个未知数之间••此间:①用符号.表示如下丁已知"炉且丸+/=冒用=（:+E）?+（[-）"其中乩旧为常数），求关于与枭工这三者之间一些问题.解士令北二瓶十以一丁工制一，八贝10 1 2.A力干了=2m,文?-m一耳“一m=彳-.又二科「1二七”>+（等『，二一限三（e十S）一NO「得修=三七£二0.，三=一出।孔二。，二北上午tm上.' ' - 2例3：已知％j尸卫Rt且：r+y=8Tz"=到一16t求置+叮+3」的值.（2000年江苏省初二数学竞赛训练题）

解：由题自知”上‘=区”=?4m,Bfi= ??符合类型一的条件.令"二+丸，y=m一股.贝U本+j=2m=&，得m=4.又梅右一/=『+13二-n2-NO3得m=0,m=0,，再二y=4,工"+2y+3乙=12.例43AAB<:的三边满足6十=8,加-⑵+5之，问△建白白是什么三角形？（按边分）.15+金_X解：由题目知「工~…।「将（口-6）看作,一个整体,DC=（（jt-DJ+LD符合类型一.所以仿例3,令5=切4/「二皿—'最终可以解得b二。=4/之心所以△&BC为等腰三角形.类型三:解决满足如下条件的二元二次方程的相关问题:题目中出现形如十4/十8町十助—西十F=0且满足E#0 [E-0（1”24-8尹0或（2”21E*U的二元二次方程，#业艇（2A-n）F=E?- If<0决相关问题.例5点满足方程5/+5/+区町+分-2*+2=0的实数解解;此二元二次方程确足（1）式,令♦=m =m一月并代人原方程化简得:%1/-2几+1=。，即%，/+（n-1）2=0,J.KEH0且百=I.J,KH1,y=-L例6：已知实数x打满足繇-5号+4尸=5,设S=丁+，二求1-的直提示：题中的二五.二次方程满足（2）式，令%=m-嗯第二:m-明代人原方程运算即得所求值为例7:设—且Y4护二而心则丐-的信为， ）.a-ft（2002全国初中

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