同角三角函数及诱导公式完美讲解版,无需编辑

第三讲同角三角函数根本关系【学习目标】sinα一.借助单位圆，理解同角三角函数的根本关系式:sιn2α+cos2α=1, =tanα，掌握一个角的三CoSa角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1sina(2)商数关系：——=tanacosa(3)倒数关系：tanα∙cota=1，Sinα∙csca=1，cosa∙SeCa=1要点诠释：(1)这里“同角〞有两层含义，一是“角一样〞，二是对“任意〞一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；2)sin2a是(sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意"土〃的选取。要点二：同角三角函数根本关系式的变形1．平方关系式的变形：sin2a=1一cos2a,cos2a=1一sin2a,1±2sina∙cosa=(sina±cosa)22．商数关系式的变形sinaSina=cosa∙tana,cosa= 。tana【典型例题】类型一：*个三角函数值求其余的三角函数值4例1•假设Sina=-5，且a是第三象限角，求cosa,tana的值。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助角的三角函数值,缩小角的围。在解答过程中如果角a所在象限，则另两个三角函数值结果唯一；假设角a所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：假设三角函数值以字母a给出，应就a所在象限讨论。举一反三：3【变式1】sina=-5,求cosa,tana的值。类型二：利用同角关系求值例2.：tanθ+cotθ=2,求：〔1〕Sinθ∙cosθ的值；〔2〕Sinθ+CoSθ的值；〔3〕sinθ-cosθ的值；〔4〕sinθ及CoSθ的值【总结升华】此题给出了sinθ+CoSθ,sinθ-CoSθ及sinθcosθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了sin2θ+cos2θ=1这个隐含条件。举一反三：【变式1】sinα-cosa=。，求以下各式的值:〔1〕tanα+cotα；〔2〕sin3a-cos3a。例3．：〔1〕〔2〕1tanθ=--，求:sinθ+cosθ*sinθ-3cosθ'1+2sinθcosθ •sin-θ-cos2θ'〔3〕2sin2θ-3sinθcosθ-5cos2θ。【总结升华】tana的值，求关于Sina、cosa的齐次式的值问题①如〔1〕、〔2〕题，:cosa≠0,所以可用cosna〔nWN*〕除之，将被求式转化为关于tana的表示式，可整体代入tana=m的值，从而完成被求式的求值；②在〔3〕题中，求形如asin2a+bSinacosa+ccos2a的值，注意将分母的1化为1=sin2a+cos2a代入，转化为关于tana的表达式后再求值。举一反三：【变式1】-anA-=-1,求以下各式的值.tanA-1(1)sinA-3cosA;sinA+9cosA'(2)sin2A+sinAcosA+2类型三：利用同角关系化简三角函数式例4．化简：1-2sin10ocos10o.1〕 ■ =；sin10o-√1-sin2l0o3兀 1-cosa ,,1+cosa〔2〕假设-<a<2兀，化简 +1,^2 1+cosa∖T-cosa【总结升华】解答此题目常用的方法有：〔1〕化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，到达化简的目的。〔2〕对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号到达化简的目的。〔3〕对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2a+cos2a=1,以降低函数次数，到达化简的目的。举一反三：【变式1】化简〔1〕√1-2sinθcosθSinθ-CoSθCC一兀一、一一,θ∈2k兀一一，2k兀k∈Z;I2 )⑵√i-sin22-√1-cos22；类型四：利用同角关系证明三角恒等式例5.求证：〔1〕sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+—L-)=—L-+—?—；tanθSinθcoSθ〔2〕cosasina 2(cosa-sina) - = 1+sinɑ1+cosɑ1+sinα+cosα【总结升华】〔1〕在三角式的化简中，常常“化切为弦〞，以减少函数种类。〔2〕三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，题也可从右到左证明。举一反三：【变式】求证：cosx1+sinx1-sinxcosx【解析】证法一：由题意知cosX≠0,所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.・•・左边=cosx(1+sinx)(1-sinx)(1+sinx)cosX(1+sinX)cos2x1+sinx=右边.cosx此∙∙∙原式成立.证法二：由题意知cosX≠0，所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.又「(1-sinx)(1+sinX)=1-sin2X=cos2X=cosX∙cosX,cosx1+sinx.. = .1-sinXcosX证法三：由题意知cosX≠0，所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.cosx1+sinx cosx∙cosx-(1+sinx)(1-sinx)cos2x-1+sin2x - ; 0,1-sinxcosx (1-sinx)cosx (1-sinx)cosxcosx1+sinx•. 1-sinxcosx【稳固练习】1.下面四个命题中可能成立的一个是〔〕A.sinα=—且cosα=—2 2C.tanα=1且cosα=-1B.sinα=0且cosa=-1sinaD.α在第二象限时，tanα= cosam3 42m2.假设sinθ- ,cosθ- ，则m的值为〔 〕m+5 m+5A.0 B.8C.。或8D.3vmv93．假设0≤2X≤2兀，则使".11-sin22X=cos2X成立的X的取值围是（ ）4．一兀、 3 、A、（0,_） B、（-兀,兀）44C、弓,4π)π3D、[0,/U[4π,π]4假设Sinα=5，且α是第二象限角，则tanα的值等于〔 〕5．A--333B.--C.-44假设tanα=2,则2sinα-cosα的值为〔 〕sina+2cosaD36．7．A．0sinαcosα3a∙±435B.- C.1D.-4 4=1,则cosα-sinα的值等于〔〕8B．D．~2cosXA.1B.212，12则一°工的值是〔sinX-1C.2 D.－2±超c、汶± C. 2 2假设匕SnX=一〕8．假设sinθ,cosθ是方程4X2+2mχ+m=0的两根，则m的值为〔 〕A.1+√5 B.1--√5D.-1-5C.1±Q9.假设tanα=√15,则cosα=；sinα=.(11)10.化简：(1-cosα)=11.12.化简：sin6a+cos6a+3sin2a+cos2a=4假■设Sinθ=-5,tanθ>0,则IJcosθ=13.sinα+cosα=1,α∈[0,∏],求的值.5 tana14.sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ和sin4θ+cos4θ的值.第四讲三角函数的诱导公式【学习目标】兀一—一―一―一、 …、.借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式（一±α,兀士α的正弦、余弦、正切）;2.掌握并运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式.【要点梳理】、sinatanα)...要点一：诱导公式诱导公式一：sin(α+2k兀)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2k兀)=tanα,其中k∈Z诱导公式二：sin(-a)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα，其中k∈Z诱导公式三：sin[(α+(2k+1)兀]=-sinα,cos[α+(2k+1)兀]=-cosα,tan[α+(2k+1)兀]=tanα,其中k∈Z诱导公式四.(兀)Sm—+α=cosα,2 /(π\ .cos—+a=-Smα。、2 ).(π)Sm—-a==cosα,

2(π\ .cos_-a=Sma,2J其中k∈Z要点诠释:⑴要化的角的形式为k•90。±α（k为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限〃；⑶必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角〃；(π ∖4-xk4J(4)sin(π∖X+4k4J=cos=cos(π∖X-4k4Jcos(π∖X+4k4J=sin(π ∖4-Xk4 J；要点二：诱导公式的记忆诱导公式一〜三可用口诀“函数名不变，符号看象限〃记忆，其中“函数名不变〃是指等式两边的三角函数同名，“符号〃是指等号右边是正号还是负号，“看象限〃是指把α看成锐角时原三角函数值的符号.诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限〃记忆，“函数名改变〃是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数.“符号看象限〃同上.因为任意一个角都可以表示为k∙90°+a〔|a|<45°〕的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀〃：“奇变偶不变，符号看象限〃，意思是说角k-90±a（k为常整数）的三角函数值：当k为奇数时,正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基此题型(1)求值题型：一个角的*个三角函数值，求该角的其他三角函数值.①一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的*一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒〞的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰中选取公式.【典型例题】类型一：利用诱导公式求值例1．求以下各三角函数的值：_(10\〔1〕Sin--兀V3J31；〔2〕cos—兀；〔3〕tan〔一855°〕.举一反三：【变式1】求sin(—1200°)∙cos1290°+cos(—1020°)∙sin(—1050°)+tan945°的值.(5兀V6(兀、Q6J一一一一 (R例2.〔1〕cos——aV6求cos)+a—sin2

J的值.7=苴3，〔2〕cos(a—75。)=—3，且a为第四象限角，求sin(105°+a)的值.【总结升华】注意观察角，假设角的绝对值大于2n，可先利用2kπ+a转化为。〜2π之间的角，然后利用∏±a、2π-a等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤.举一反三：【变式1】cos(75o+a)=3，其中a为第三象限角，求。。$(1。5°—a)+sin(a—105°)的值.【总结升华】解答这类给值求值的问题，关键在于找到角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+a=180°-(105°-a)或105°-a=180°-(75°+a)等.类型二：利用诱导公式化简例3.化简∕r∖-sin(180+a)+sin(-a)-tan(360+a)(1) ;tan(a+180)+cos(-a)+cos(180-a)⑵sin(θ-5兀)cos(3π-θ)cos1-θ、j—•cos(8π-θ)sin(θ-3π)sin(-θ-4π)举一反三：【变式1】〔1〕.(π一、一一、，二sin—+acos(3π-a)tan(π+a)12 √cosπ2-acos(-a-π),√1+2sin290ocos430o.sin250o+cos790o ；类型三：利用诱导公式进展证明例4.求证:tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α).(3π∖

Sina+——cosa4、2√I3πT=-tanα.【稳固练习】对于诱导公式中的角ɑ,以下说确的是〔〕A.α一定是锐角B.0≤αV2πC.α一定是正角D.α是使公式有意义的任意角sin(π+θ)<0,cos(θ-π)>0,则以下不等式关系中必定成立的是〔 〕A.sinθV0,C.sinθ>0,cosθ>0

cosθ>0B.sinθ>0,

D.sinθVO,cosθV0cosθV0sin300o的值为〔〕a∙-212CMC. -2亘

2D.4.假设sinA=1,则sin(6π-A)的值为〔〕a∙3B∙-32√2C.-二D.2√2

r12，5.假设sin(π+α)则cosα的值为〔〕A.±2B