线性代数综合练习100题

综合练习100题一、填空题1．设A是n阶矩阵，满足AAE,|A|0，则|AE|0.2．若4阶行列式D的某一行的所有元素及其余子式都相等，则D0.3．在一个n阶行列式中，如果等于零的元素多于n2n个，那么这个行列式D0.4．设A是mn矩阵，B是nm矩阵，若mn，则|AB|0.5．若n阶方阵A,B满足ABB,|AE|0，则B0.6．若n阶方阵A,B满足AABE，则ABAE.7．若n阶方阵A,B,C满足ABCE8．若A、B都是n阶方阵，|A|1,|B|3，则9．若n阶方阵A满足，则E.BAC|3A*B1|3n1.0，则秩(A)n1.|A|0.A*AB10．设A,B是两个n阶方阵，|AB|1,|AB|2，则2.BA1116616111111．设矩阵A022，则(A*)10.3300310020ABC12．A为m阶方阵，B为n阶方阵，|A|a,|B|b，则(1)mnab.13．设矩阵A满足A2A4E0，其中E为单位矩阵，则(AE)11(A2E).214．设A为3阶方阵，其特征值为3,1,2，则|A2E|100.11000000100111A，15．已知000100110111101a4,当a4时,则R(A)5,当a4时.16．已知n阶方阵A的各行元素之和都等于0，且R(A)n1，则AX0的通解为·119·k(1,1,,1),k为任意常数.17．矩阵A满足mn,|AA|0，则AX0的基础解系一定由nm个线性无关的解mn向量构成.18．若矩阵A满足A3A，则A的特征值只能是0或1或1.21219．如果(1,1,1)是方阵A53的一个特征向量，则a3；b0.a1b23020．已知A与B相似，且B，则1)(31).|A2A|3(2121．已知A的特征值为1,2,3，则|A1A73.|6*3322．已知2是A的一个特征值，则|A2A6E|0.23．设,是n维列向量，0，则的特征值为0(n重).24．若n阶方阵A的行向量组线性相关，则0一定是A的一个特征值.10x2y2x2725．直线xyz01的单位方向向量为(0,1,1).2276844442479818826．已知D，A,A,A,A为D中第4行元素的代数余子式，则41424344AAAA0.4142434427．设A是3阶方阵，X是3维列向量，使得X,AX,A2X线性无关，且0003.A3X3AX2A2X，记P(,XAX,A)，则P1AP102X01228．若两个非零几何向量a,b满足|ab||ab|，则a与b是夹角2.x8t,5x2yz602xyz10113t,529．直线L:的参数方程为yz5t.·120·x2y2z212x4y6z24030．圆的半径R3.2x2yz10二、选择题1．设n元齐次线性方程组AX0的系数矩阵A的秩为r，则AX0有非零解的充要条件是（C）.（A）rn；（C）A的列向量组线性相关；（B）A的行向量组线性无关；（D）A的列向量组线性无关.2．设A是mn矩阵，AX0是非齐次线性方程组AX所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（C）.（A）若AX0只有零解，则AX有唯一解；（B）若AX0有非零解，则AX有无穷多解；（C）若AX有无穷多解，则AX0有非零解；（D）AX的任两解之和还是AX的解.3．设非齐次线性方程组AX的系数行列式为零，则（C）.（A）方程组有无穷多解；（B）方程组无解；（C）若方程组有解，则有无穷多解；（D）方程组有唯一解.4．设A是mn矩阵，对于线性方程组AX，下列结论正确的是（A）.（A）若A的秩等于m，则方程组有解；（B）若A的秩小于n，则方程组有无穷多解；（C）若A的秩等于n，则方程组有唯一解；（D）若mn，则方程组无解.5．设5阶方阵A的秩是3，则其伴随矩阵A*的秩为（C）.（A）3；（B）4；（C）0；（D）2.6．设A是n阶方阵，n2,A*是A的伴随矩阵，则下列结论正确的是（B）.（A）AA*|A|；（B）若|A|0，则|A*|0；（D）秩(A)秩(A*).1（C）A*A*；|A|7．设A,B是n阶方阵，A非零，且AB0，则必有（D）.（A）B0；（B）BA0；（C）(AB)2A2B2；（D）|B|0.8．设有两个平面方程:axbyczd0，111112:axbycyd0，2222·121·如果秩2，则一定有（D）ab1c11a2bc22（A）与平行；（B）与垂直；1212（C）与重合；（D）与相交.12129．设A为n阶可逆矩阵，是A的一个特征根，则A的伴随阵A*的特征根之一是（D）.（A）n1；（B）|A|；10．n阶方阵A有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（B）.（A）充分必要条件；（B）充分而非必要条件；（C）；（D）.1|A|（C）必要而非充分条件；（D）既非充分条件也非必要条件.11．已知n阶方阵A与某对角阵相似，则（C）.（A）A有n个不同的特征值；（B）A一定是n阶实对称阵；（C）A有n个线性无关的特征向量；（D）A的属于不同特征值的特征向量正交.12．下列说法正确的是（D）.（A）若有全不为0的数,,,kkk使0，则向量组,,,线性无kk12m11mm12m关；（B）若有一组不全为0的数,,,kkk使得k0，则向量组kk12m1122mm线性无关；m,,,120，则向量组,,,线性（C）若存在一组数,,,kkk使k1kk12m122mm12m相关；（D）任意4个3维几何向量一定线性相关.13．设A,B是n阶方阵，满足：对任意X(x,x,,x)都有，下列结论XAX=XBX12n中正确的是（D）.（A）若秩(A)秩(B)，则AB；（B）若AA，则BB；（C）若BB，则AB；（D）若AA,BB，则AB.14．设A,B均为n阶正定矩阵，则必有（B）.（A）AB正定；（B）A2B正定；（C）AB正定；（D）kA正定.15．设A是n阶方阵，A2E，则（C）.（A）A为正定矩阵；（B）A为正交矩阵；（C）(A*)2E；（D）tr(A)n2.16．设A,B是n阶方阵，下列结论中错误的是（D）.（A）若A,B都可逆，则AB也可逆；（B）若A,B都是实对称正定矩阵，则AB1也是实对称正定矩阵；·122·

（C）若A,B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；（D）若A,B都是实对称矩阵，则AB是实对称矩阵.17．设A,B是n阶方阵，下列结论中错误的是（B）.（A）若A经列的初等变换化成B，则秩(A)秩(B)；（B）若A经行的初等变换化成B，则A1B1；（C）若A经行的初等变换化成B，则AX0与BX0同解；（D）若A经列的初等变换化成B，则A的列向量组与B的列向量组等价.aaaaaaaaaaaaa112131122232132321222318．设AB,111213aaaaaa32aa333111123313010100P100P010，则必有（C）.12001101（A）APPB；（B）APPB；（C）PPAB；（D）PPAB.2122112119．若A与B相似，则（B）.（A）EAEB；（B）|EA||EB|；（C）A*B*；（D）A1B1.20．若A2E，则（D）.（A）AE（C）AE0或AE0；（D）AE时，AE不可逆.11114000可逆；（B）AE可逆；111100000000000021．设A，B，则A与B（A）.11111111（A）合同且相似；（C）不合同但相似；（D）不合同且不相似.22．实二次型fXAX为正定二次型的充要条件是（C）.（B）合同但不相似；（A）f的负惯性指数是0；（B）存在正交阵P使APP；（C）存在可逆阵T使ATT；（D）存在矩阵B使ABB.23．设B是mn实矩阵，ABB，则下列结论中错误的是（D）.（A）线性方程组BX0只有零解A正定；（B）R(A)R(B)；（C）A的特征值大于等于0；（D）R(B)mA正定.24．设A是n阶方阵，|A|a0，则|A1|等于（C）.A*·123·

（A）a；（B）1；（C）a2；（D）an.na25．设A,B是n阶方阵，则必有（D）.（A）|AB1||A||B|1（C）(AB)22；；（B）|AB|B1A1;1A2B（D）|||BA.|AB26．已知,是非齐次线性方程组AX的两个不同的解，,是对应的齐次线性方程1212组AX0的基础解系，k,k为任意常数，则方程组AX的通解为（B）.122；2（A）kk2；（B）k11k(2)11112221212（C）kk()；（D）kk()().11212111212x1y5z8与1xy627．设有直线L:1，则L与L的夹角为（C）.L:22312yz12（A）；6（B）；4（C）；3（D）.228．若,,,,都是4维列向量，且4阶行列式||m,12311231||n，则4阶行列式||等于（D）.122312312（A）mn；（B）(mn)；（C）mn；（D）nm.29．设n阶矩阵A非奇异(n2)，则（C）.（A）(A*)*|A|A；（B）(A*)*|A|A；n1n1（C）(A*)*|A|A；（D）(A*)*|A|A.n2n2abcc123112xyzcab330．设矩阵abb的秩是3，则直线3与直线3aabbc1c2ac1212233xaybzc（A）.111aa2bbcc33232（A）相交于一点；（B）重合；（C）平行但不重合；（D）异面.三、计算题111111111．设A，求A5及|A10|.11111111·124·11111111111解：由|(4)3EA|11111故A的特征值为10,34.24对0，由(EA)x0，可解得三个线性无关的特征向量，1(1,1,0,0)，(1,0,1,0)，(1,0,0,1).213对4，由(4EA)x0，可解得特征向量(1,1,1,1)，41101110，由ATTD1010T(TTTT),D令得故0001012340114131111311T1|T|T*1ATDT1411131111111011013111110031A01(1)40100111113041111111111111111111111011010131111101131A5TD5T13000104111111011111111541112828A.11111111又A10216A,|A10||216A|264|A|0.·125·0102．设，Aa0c1b02（1）a,b,c满足什么条件时，A的秩是3;（2）a,b,c取何值时，A是对称矩阵;（3）取一组a,b,c，使A为正交阵.010a0ca2bc00a2bc00Aa0c0100100010解：（1）2b01010112bb02当a2bc时，A的秩是3.0ab（2）A100，要想A成为对称矩阵，应满足AA，即.a1,bc010c20ab010100（3）要想A为正交阵，应满足AAE，即100c010.a1b0010010c22a2b21,ac1b0,2解得a1,b23,c3.22c211,23．设有三维列向量1110,,321111,1211问取何值时，（1）可由,,线性表示，且表达式唯一；123·126·,线性表示，但表达式不唯一；（2）可由,123（3）不能由,,线性表示.123111111111110解法1：设A,B111111211(2)2(1)110001由B1行(1)11112121123(12100)1122行0(1)2行0(1)100(3)(122)11（1）当0且3时，R(A)R(B)3，此时可由,,线性表示，且表达式唯123一.（2）当0时，,线性表示，且表达式不唯一.，可由,R(A)R(B)13123（3）当3时，R(A)R(B)，不能由,,线性表示.123解法2：1|A|111111(3)211①当0且3时，|A|0，可由,,线性表示，且表达式唯一,123②当0时，，可由,,线性表示，且表达式不唯一，R(A)R(B)13123③当3时，R(A)R(B)，不能由,,线性表示.1234．设3阶矩阵A的特征值为1,12,3，对应的特征向量依次为，321111,1233，又22,，2123149求A(n为正整数).n22,23(,1)2解：由于122312n，A23n.3又由于，An1Annnnn111222333·127·22所以AnAn(,,)2(An,An,An)231231211212n3n23(,2n,3n)212n13n12121.12n23n2122n13n22n23n122n33n21225．设A212，221（1）求A的特征值；（2）求EA1的特征值.1EA|2221222(1)2(5)01解：（1）|得A的特征值为1,5.1231（2）由A是对称阵，A的特征值是1,1,5，存在可逆阵T使T1AT1于是512T1A1T1,T1(EA1)T2，14551的特征值为2,2,4.5故EA2116．已知(1,k,1)是A121的逆阵1的特征向量，试求常数k的值.A112解：设为A的特征值为的特征向量，则A.2121111.k即111k112·128·k3即2k2k解得k2k20，即k1或2.11a17．设A11,1，已知线性方程组AX有无穷多解，试求：aa112（1）a的值；（2）正交阵P，使PAP为对角阵.11a111a10解：（1）B110a11aa101a1a22aa11211a10a11a0)a200(1a)(2a要使AX有无穷多解，必须2.R(A)R(B)3，因此a11212（2）此时A，111211212|EA|11(3)(3)0，21得A的特征值0,13,3.2333112131210，得特征向量1，单位化得1对于0，由；311121113321211510，得特征向量22对于3，由0，单位化得22121·129·220；2224121对于4，由1110，得特征向量2，单位化得3332141666;3366326326令P0360，此时P为正交阵，并且PAP为对角阵3.333326326axaxaxax08．已知线性方程组（I）的一个基础解系为111122133144axaxaxax0211222233244bb11212223b12bb2,，1b13b14b24bybybyby0试求线性方程组.（II）的通解.111122133144b21ybybyby01222233244aaaaabbbb14解：设AB1121121314111213aaabbbb22232421222324由,为（I）的一个基础解系得AB0.12由,1线性无关，所以R(B)2，又BA0，所以),(a,a,a,a,a,a,a)是B的基础解系，通解为kk,k,k为任意常数.212223241122129．已知方程组·130·xxxx112344x3x5xx11234axx3xbx11234有三个线性无关的解向量，求a,b的值及方程组的通解.1111111111解：(A|)43511行01153a13b101a3aba1a10242行011530042ab4a5a2由于该非齐次线性方程组有三个线性无关的解向量，故R(A)R(A|),nR(A)13.其中n4.于是R(A)R(A|)2.从而a2,b3.该方程组与方程组x2x4x2134xx5x3234同解.令xk,k2得该方程组的通解x4312k4k2x112k5k3Xx212xkk312x424253110kk200110其中k,k为任意常数.1232210．设Ak1k，问当k为何值时，存在可逆阵P，使得P1AP为对角阵，并423求出一个P及相应的对角阵A.解：A的特征方程为：·131·3k21221k02122|EA|k4131322(1)01k(1)(1).02123解得特征根为1,1.312当1时，R(EA)2,A有1个线性无关的特征向量.211422211kkk2当1时，1EAk0kk002004220000R(1EA)1因存在可逆阵P，使P1AP为对角阵，所以，从而k0.322因此A010，423222对应于1的特征向量为，由0200得(1,0,1)11114244221的特征向量为,，由00，对应于002323422(1,2,0),3(0,1,1)得21101令P021且P为可逆阵，相应的对角阵A1.101110111．设A020，方阵B满足ABEA2B，求B.101解：由ABEA2B得(AE)BA2E(AE)(AE)001由于AE010，所以AE可逆，100·132·201得BAE030，10212．已知将3阶可逆阵A的第2行的2倍加到第3行得矩阵B，求AB1.100解：令C010，则CAB，由于A,C均可逆，故B可逆，021100所以AB1C1010.02113．设有线性方程组axbxbx0123bxaxbx0（a,b不全为0）123bxbxax0123（1）a,b为何值时方程组有非零解；（2）写出相应的基础解系及通解；（3）求解空间的维数.abb解：（1）齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式bab0bba即(ab)(a2b)02故ab0，或a2b0时，方程组有非零解.（2）当ab0时，方程组为xxx0，即xxx.123123111112其基础解系为1,0，通解为k1k0,k,k为任意常数.121201012xxx01当a2b0时，方程组为x2x1x0，解得基础解系为1323，12xx2x011231通解为k1,k为任意常数.1·133·（3）当ab0时，解空间维数为2；当a2b0时，解空间维数为1.14．设二次型fx2x2x经正交变换XPY化成22axx2bxx2xx312312231，其中X(x,x,x),Y(y,y,y),P是3阶正交矩阵，求a,b及满足上述条件fy22y223123123的一个P.解：正交变换前后，二次型的矩阵分别为1a1000Aa1b，B0101b1002故二次型可以写成fXAX和fYBY，且BPAPP1AP.332(a2，即)2b2a(b)由相似知|EA|E|BA,B3322，比较系数得：.a0,b0000由PAPB010，知A的特征值是0,1,2.100221211(0EA)x0，得0，单位化得P||0解方程组111220，2解方程组(EA)x0，得1,P2202123解方程组(2EA)x0，得0，单位化得P0333||1222201220.故P(PPP)012322022·134·xyz10x2yz20的公垂线方程.15．求直线L:1与L:x2y2z4022xyz20解：L与L的标准式及参数形式分别为：12x1,L:x1z与1y1yt,zt;10x2,L:xyz2与0y,221z2.L的方向向量为s(0,1,1),L的方向向量为s(2,1,0).1122设L与L公垂线垂足为,，2则应有AB(21,t,2t)，且A(1,tt,)B,(2,12ABs2t20，ABs5t20.124t,所以AB1{1,2,2}，3解得23.3y4z4z1133.故公垂线方程为222xyz1016．求直线:L在平面:x2yz0上投影的方程.xyz1044解：A点坐标为(1,,).33L设通过直线L垂直于平面的平面的方程为02xyz1(xyz1)00.(2,1,1).平面的的法向量为n10L法向量为n(1,2,1).由，知0，得nn00122(1)(1解得1).4从而得方程为3xyz10.03xyz10,所以所求直线L方程为x2yz0.0·135·11120017．设矩阵A与B相似，且A22,B020，433a00b（1）求a,b（2）求一个可逆阵P，使P1APB.解：（1）因为A与B相似，所以有的值；，|EA||EB|1143123(5a)2(5a3)66a|EA|23a|EB|(22)(b)b(4)b(44)b4325a34b4a5解得b6比较两式系数可得：.66a4b2（2）因A与B相似，所以A的特征值为2,2,6.261112EA222.解(2EA)X0得A的对应于特征值2的特征向量333111,0，12015116EA222.解(6EAX)0得A的对应于特征值6的特征向量331132.3111令P()10012，则有P1APB.12330318．已知3阶实对称阵A的特征值为3,2,2,1及0分别是A的对应于特征值3,2的01·136·特征向量，（1）求A的属于特征值2的一个特征向量；（2）求正交变换XPY将二次型fXAX化为标准形.2解：（1）设2对应的特征向量为X，则有(,X)0,(,X)0，110可取.33（2）把特征向量规范正交化后得：21202P1,P0,P0.1230123231202令P100，12302则在正交变换XPY下f化为f3y22y22y2.12319．已知二次型f5x2cx2xx6xx6xx的秩为2，求c及此二次型对应2231223235x21矩阵的特征值，指出f(x,x,x)1代表三维几何空间中何种几何曲面.123513解：二次型f所对应的矩阵为A153,33c因f的秩为2，即A的秩为2，故有|A|0，所以c3.51133|EA|5(4)(9，)得0特征值为0,4,9.与特征值相对333应的单位特征向量分别为11,6211111),3P(1,P(),2,P(,0),3,，662233取正交变换阵·137·111623P11，162321306则在正交线性变换XPY下，方程f(x,x,x)1化为椭圆柱面9y21.34y2212320．设有数列a0,a1,aaa,a1aa,,a1aa,n2，求a1000.012032nn1解法1：11a,得a11a999.a99910a010001a由记n1an110ann211得A的特征值为1515，并且2A,1021515分别是A的对应于特征值151,5的特征向量.2,2121221151515112记T(,)，于是T1521211215121502ATT1999TT115025)51055)515)(155100]0(15)5515[()(10001000101000522222515)(1155515[()999]()(99999999952210210515)1000(15)1000).2所以a((510002·138·解法2：11设D1n1将D按第一行展开可得nn1（1）（2）DDnn由,的对称性可得DDnnn1若，（1）、（2）联立解之n1n1Dn（3）若，由（1）DDn(n1)n1（4）nn考察1111111D令11n11补充定义D0,1，则D10DDD,n1,2,nn1n2于是aDnn111,1055，由（3）知2解：,得120·139·0000001001aD00100099900001000100010000001000100011515.225四、证明题691619691．证明D(n1)3n，（n为正整数）.n16196证：1n1时，D6(11)31nk假设当时结论成立，当nk1时，若k12，由36927(21)32知命题成立.269D216若k13，将D按第一行展开得k1619696D9D6(k1)3k9k3k1k1Dk1k16196(k2)k31由数学归纳法，对一切自然数n结论都成立.2．设A为2阶方阵，证明：若存在大于等于2的自然数m使Am0，则A20.证：因Am0，所以|A|m|Am|0，又A为2阶方阵，故R(A)1.·140·10000000所以A经初等变换可以化为，于是存在可逆阵P,Q，使00001000100000QPAP(100)Q，0000010,V(10取UP0)Q，则AUV.0令k，则A2UVUVkUVkA.由AmkVUA0知k0，m1或者A0，故A2kA0.3．设A是幂等阵(A2A)，试证（1）A的特征值只能是1或0，（2）R(A)R(AE)n，n（3）A可相似对角化；（4）R(A)tr(A).证：（1）设是A的任一特征值，则存在X0使AXX.于是A2X2X.由A2A知，2XX.由X0得2，故1或0.（2）由A2A知，A(AE)0，于是R(A)R(AE)n（1）（2）由A(EA)E知nnnR(E)R(A)R(EA)R(A)R(AE)nn综合（1），（2）可得R(A)R(AE)n.nrR(AE（3）记R(A),1)r.2n当r0或r0时，A0或AE，命题显然成立.以下设r0,0，由rrnr212112n知0rn，0.取,,,AX,,,为的基础解系0是rn2112nr12nr21(AE)X0的基础解系，则,,,是A的属于特征值0的线性无关的特征向量，nr112n是的属于特征值1的线性无关的特征向量，故由(nr)(nr)n知A有nAnr12,,,122·141·

个线性无关的特征向量,,,,,.从而A可相似对角化.nr21nr11（4）由（1）、（3）可知存在可逆阵T使ET1ATr0于是R(A)rtr(T1AT)tr(A).4．设A,B是n阶正定矩阵，证明：AB的特征值全大于0.证：因A,B正定，则存在可逆阵P,P，使12APPBPPABPPPP11221122P(AB)P1PPPP(PP)(PP)2221121212因P,P可逆，则PP可逆，从而(PP)(PP)正定，它的特征值全大于0，12121212因AB与(PP)(PP)相似，从而AB的特征值全大于0.12125．设A为n阶方阵，试证：k1,,A,线性无关；（1）若Ak10且Ak0，则Ak,A（2）An1X0的解一定是AnX0的解；（3）R(A).n1)R(An证：（1）反证法若Ak,Ak1,,A,线性相关，则存在不全为零的数l,l,,l，使01kl00，lAlAk1k设l是第一个不等于零的系数，即lll0,l0，i01i1i则lAii1lAk0，lAi1ik两边乘以矩阵Aki，得0lAklAk1lA2ki，ii1k由于Ak10，故对任意mk1都有Am0，从而由上式得lAk0，但Ak0，i故l0与假设矛盾.i（2）证明：假设是An1X0的解，但不是AnX0的解，An10但An0.由（1）知An,An1A,,,线性无关，与n1个n维向量An,A,,A,线性相即有n1关矛盾，故是AnX0的解.（3）由（2）知An1X0的解一定是AnX0的解，且易知AnX0的解一定是AnX01的解，所以方程An1X0与AnX0同解，所以R(An1)R(An).6．已知向量组,1(m2)线性无关，试证：向量组1,k1m2,,2m1,,m1,线性无关.m1kk22mm1mmm·142·

证：假设有一组数,,,lll,l使得12m1ml1llm1m1lm0.122m则有即有12m1)lml(k)l(k)l(m1k0，1m22mm1mml1l2lm1m1(lklklk1122m1m1l)m012m由于,,,线性无关，所以12mllllklklkl0，m12m11122m1m1所以llll0.m12m1故,,,线性无关.12m7．设,,,线性无关，m为奇数，试证：,,,m112m112223,线性无关.m1mmm1证：假设存在一组数,,,使kkk12mk1m1m10，kkk122mm则有即k()k(()k()0，m11)k112223m1mmmk)m(kk)(kk)(k01m1122m1m又由于,,,线性无关，所以m12kkkkkk0，m1m12m1因为m是奇数，所以线性方程组（1）的系数行列式101110D0101(1)m120，001kk01mkk01（1）2kk0mm1故（1）只有零解，所以k1kk20，故,,,线性无关.m12m的个列向量为,8．设n阶矩阵A,,，n阶矩阵B的n个列向量为n12n·143·,,,,,R(A)n，问齐次线性方程组BX0是否有非零解，证11223n1nn明你的结论.证：当n为奇数时，齐次线性方程组BX0，没有非零解.当n为偶数时，BX0有非零解.由于R(A)n，所以n阶矩阵A的n个列向量,,,线性无关，12n,,也线性无关，所以R(B)n，1由上题知，当n为奇数时，,,1223n1nn因此齐次线性方程组BX0没有非零解，但当为偶数时，因()()(n)(0，)1n31221nn,,,,线性相关，所以R(B)n.1223n1nn1因此，齐次线性方程组BX0有非零解.9．设是n阶方阵A的分别属于不同特征值的特征向量，.试,,,12n12n证：,A,,An1线性无关.的个互不相同的特征值为,,,证：设A，对应的特征向量依次为n12n,1,1,，则AA()AA,n,2n1n1n1nn1n1.An111nn设有一组数,,,kkk，使得01n1k0kAkAn101n1即)k()0.k()k(n1n1111n11101nnnn可得(kkλkλn1)(kkλkλn1)(kkλn011n111012n12201n1)0.kn1nn1由于,,,线性无关，所以2nkn1kkn1011kk011n1即0111n11kkkn102n2001222kn1kkk1n10n11n10nnnn又由于n11111n1()0.22ij1jinn11nn·144·所以k0kk10，n1即,A,A2,,An1线性无关.10．已知A,B是两个n阶实对称矩阵，试证A与B相似的充要条件是A,B的特征多项式相等.证：（1）若A与B相似，记T1ATB，则|EB||ET1AT||T1||EA||T||EA|.（2）若A,B的特征多项式相等，则A,B有相同的特征值,,,.因A,B都是实对称12n矩阵，存在正交阵P,Q使112P1AP,QBQ21nn于是P1APQ1BQ.即(PQ1)1A(PQ1)B故A与B相似.11．设A是n阶实矩阵，证明当k0时，kEAA正定.kEAA证：(kEAA)(kE)(AA)kEAA，即是实对称阵.对任意n维非零实列向量X，有X(kEAA)XX(kE)XXAAXk(XX)(AX)AX由于k0，所以k(XX)0，又(AX)AX0，所以X(kEAA)X0.即kEAA正定.12．设A是mn实矩阵，证明：R(AA)R(AA)R(A)，并举例说明A是复矩阵时，结论未必成立.证：考察方程组AAX0，AX0（1）（2）显然（2）的解均为（1）的解，因而nR(A)nR(AA)，即有R(AA)R(A)（3）·145·

x1另一方面，对任意Rn如果AAX0，则X(AAX)0，Xxn即(AX)(AX)0（4）n设AX(,,,)，由（4）知aaaa20，因为A为实矩阵，X为实向量，故a均为12niii1a0，即AX0，由于（2）的解也是（1）的解，故有实数，所以aa12nnR(AA)nR()A，即R(A)R(AA)（5）综合（3），（5）式知R(AA)R(A)由R(A)R(A)知R(AA)R((A)A)R(A)R(A)故有R(AA)R(AA)R(A).令1，则A(