带电导体球上的电荷分布

带电导体球上的电荷分布

在聚合物电场的静电场内容中，经常讨论了电荷分离的问题，如独体球的电荷分布、点电荷场中的电荷分布以及关于电荷的孤屑体。然而，当体球位于q和半径r的孤立导管球时，它们的表面会产生电压，因此网络表面的电荷分布是不均匀的。当体球位于任何电体的田地时，表面的电荷分布将变得复杂，不符合通常的北京大学教材。在这项工作中，我们讨论了有限长度内的脂质横截面中杨树叶电荷的分布问题，并通过计算杨树叶体的电压密度来更好地理解电离作用中的电荷分布问题。1导电平衡和电势面密度我们讨论均匀带电细棒电场中的导体球.如图1所示,Q和q分别为导体球和带电细棒的电荷量,D1和D2分别表示带电细棒左右端点的坐标位置,带电细棒的电荷密度用λ表示.我们知道,均匀带电细棒中的任意元电荷dq=λdD将会对导体球产生影响,导致在导体球表面出现感应电荷.为了探究导体球表面上的电荷分布,我们在导体球中引进一个镜像电荷dq′.这样根据电荷守恒定律,分布在导体球表面的电荷即为Q-dq′.我们知道,镜像电荷dq′的大小和它在球中的位置,是由表面电荷Q-dq′将均匀分布在导体球的表面来决定的.于是我们现在讨论的带电荷量为Q的导体球和点电荷dq的问题,就转化为点电荷dq、镜像电荷dq′、以及均匀分布在导体球表面的电荷Q-dq′的问题.根据电势叠加定理,空间任意点P的电势来自这3部分电荷dq、dq′、Q-dq′的贡献,即u(p)=14πε0dqr1+dq′r2+Q-dq′r](1)其中r1=√D2+r2-2Drcosθ且r2=√x2+r2-2xrcosθ.在静电平衡下,电势u(p)在表面r=R将不随θ的变化而改变,即∂u(p)∂θr=R=14πε0∂∂θdq√D2+r2-2Drcosθ+dq′√x2+r2-2xrcosθ+Q-dq′r]|r=R=0于是得到dq′=RDdq‚x=R2D(2)整个系统贡献的总电势可以表示为U(p)=∑u(p)=∫14πε0[dq√D2+r2-2Drcosθ+dq′√x2+r2-2xrcosθ+-dq′r]+Q4πε0r=14πε0λlnD1-rcosθ+√D21-2D1rcosθ+r2D2-rcosθ+√D22-2D2rcosθ+r2-λRrln(D1D2)-Rλrln(rD1-R2cosθ)+√(rD1-R2cosθ)2+R4sin2θ(rD2-R2cosθ)+√(rD2-R2cosθ)2+R4sin2θ+Qr}(3)利用电场强度和电势之间的梯度关系E=-∇U,可以得到导体球外部表面附近场强E,再根据σ=ε0E,从而得到导体球表面电荷密度σ为σ(θ)=-λ4π-cosθ+-D1cosθ+R√D21-2D1Rcosθ+R2D1-Rcosθ+√D21-2D1Rcosθ+R2--cosθ+-D2cosθ+R√D22-2D2Rcosθ+R2D2-Rcosθ+√D22-2D2Rcosθ+R2]-λ4πRlnD1-Rcosθ+√(D1-Rcosθ)2+R2sin2θD2-Rcosθ+√(D2-Rcosθ)2+R2sin2θ+λ4πRD1+D1(D1-Rcosθ)√(D1-Rcosθ)2+R2sin2θD1-Rcosθ+√(D1-Rcosθ)2+R2sin2θ-λ4πRD2+D2(D2-Rcosθ)√(D2-Rcosθ)2+R2sin2θD2-Rcosθ+√(D2-Rcosθ)2+R2sin2θ+Q4πR2-λ4πRln(D1D2)(4)我们得到了电荷密度随θ变化的关系式.电荷面密度在两个特定点,即近端点(θ=π)和远端点(θ=0)的表达式分别为:σ(θ=π)=λ4πRR+3D2R+D2-R+3D1R+D1-ln(R+D2)D1(R+D1)D2+Q4πR2(5)σ(θ=0)=λ4πRR-3D2R-D2-R-3D1R-D1-ln(R-D2)D1(R-D1)D2+Q4πR2(6)2q和q同号的差异图2描述了带电细棒电场中导体球表面电荷密度与角度θ以及导体球上的电荷Q的数值关系.可以看到,若Q和q是同号电荷,电荷Q分布在远端区域(远端点为θ=0点)而感应电荷(异性电荷)分布在近端区域(近端点为θ=π).随着|Q|的增加,电荷Q在远端的分布区域将逐渐增大,而感应电荷在近端的分布区域将逐渐缩小.电荷量|Q|可以持续增加,直到带电导体球近端(θ=π)的感应电荷密度为零.于是我们得到电荷Q在导体球上的一种特定分布,即Q达到一个特定值时,使得带电导体球远端(θ=0)电荷密度最大而近端(θ=π)电荷密度为零.也就是说,此时Q全部分布在导体球表面且没有任何与Q相反的感应电荷出现.根据式(5),我们可以得到Q和q是同号电荷时的电荷值:Qπ=Rλln(R+D2)D1(R+D1)D2+R+3D1R+D1-R+3D2R+D2](7)此式表明,只要|Q|大于|Qπ|值,电荷Q就会完全地、非均匀地分布在导体球的表面,而没有任何与Q异号的感应电荷产生.相反,如果Q和q为异号电荷,电荷Q(与q异号)分布在近端区域而感应电荷(与q同号)分布在远端区域.电荷量|Q|持续增加,直到近端电荷密度(绝对值)最大而远端电荷密度为零,从而确定特定电荷值:Q0=Rλln(R-D2)D1(R-D1)D2+R-3D1R-D1-R-3D2R-D2](8)同理,当|Q|值大于|Q0|值时,电荷Q将完全地、非均匀地分布在导体球表面且没有感应电荷出现.另外,特定电荷值Qπ和Q0随带电线长度和距导体球位置的变化而明显变化.带电线长度(D1-D2)越大,特定电荷值越大;带电线距导体球越近,特定电荷值越大.作为特例,上述结果可以简化为导体球在点电荷电场中的问题,事实上,当(D1-D2)→0且(D1-D2)λ=q时,我们得到点电荷电场中导体球上的特定电荷值:Q={R2q(3D2+R)D2(D2+R)2‚同号电荷R2q