上海市高一开学分班考真题70题专练03集合与逻辑（教师版）

上海市高一开学分班考真题70题专练03集合与逻辑【考点剖析】一、单选题.(2020•上海•高一开学考试)设集合A={3,5,6,8},集合3={4,5,7,8},则AcB等于A.{5,8} B.{3,,6} C.{4,7} D.{3,5,6,8}【答案】A【详解】集合A={3,5,6,8},集合3={4,5,7,8},又集合A与集合B中的公共元素为5,8,・・.AcB={5,8},故选A.2.(2020秋•上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试)设A、8、。均为非空集合，且满足则下列各式中错误的是()A.(QA)B=U B.(QA)(CuB)=CuBC.Ac(C*)=0 D.(QA)(CuB)=U【答案】D【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论.【详解】如下图所示，则GBlgA,(C〃A)B=U,选项A正确，。仆)一(CuB)=CuB,选项3正确，Ac(CuB)=0,选项。正确，(GA)(CuB)=CuA手U,所以选项。错误.故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题.【分析】根据集合元素的性质可求实数。的值.【详解】因为q《A,故〃=。或/—"q,若〃=0,则储一〃=〃=0,与元素的互异性矛盾，舍；若Q=〃，则4=2或q=0（舍），而，=2时，符合元素的互异性，故实数。的值为2,故答案为：2.22.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）若{x+y,2y}={7,8},则整数户故答案为：a<—2（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）满足条件{1,2,3}="三{123,4,5,6}集合用的个数是.【答案】8【分析】根据给定条件，分析集合M中元素情况，进而确定集合M的个数作答.【详解】集合“满足{1,2,3}qMa{1,2,3,4,5,6},由{123}1M知，又由“三{1,2,3,4,5,6}知，集合M可以为{123},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,5,6},共8个，所以集合以的个数是8.故答案为：8(2020・上海•高一开学考试)设集合S={x|x>—2},T={x\-4<x<l}9则他S)T=.【答案】{x|Y【答案】{x|Y<x<-2【分析】根据集合的补集运算，得到\s,再由交集运算，得到答案.【详解】因为集合5=卜门>—2}所以年5={犬k<_2},因为集合丁=卜|-44入41},所以&S)cT={x|T所以&S)cT={x|T<x<-2故答案为{x|-44x4-2}【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）设集合A=[l,3],3=[m+l,2m+4],若4=3,则实数m的取值范围是【答案】【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解.m+l<1 12m+423’解得一广相0.故答案为：—1。.【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键.（2022秋・上海•高一开学考试）若x«2,5］和或x>4}都是假命题，则」的范围是【答案】［1,2）【分析】先由九武2,5］和或x>4}都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若x«2,5］为假命题，则有x«x|xv2或x>5}若xe{x［x<1或x>4}是假命题，则所以x的范围是1<x<2即x的范围是［1,2）胡答案为：［1,2）（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）若集合A={x|f—5%+6=0},B={y\my^2=0}9则使得Au3=A成立的所有用的值组成的集合是.【答案】{『，告【分析】依题意可得首先求出集合A,再分类讨论分别计算可得；【详解】解：因为A={x|x2—5x+6=0}={2,3},B={y\my+2=0}, =所以3=A；①当机=0时，8=0符合题意；②当即2加+2=0解得加=-1,即3={2}；③当即36+2=0解得加=—,即3={3}；综上可得e|故答案为：卜，一1，一,}（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知集合人={1,2,3},2={1,如小，若3-加£A〃+1£A,则非零实数加+〃的可能取值集合是【答案】{2}\m=2m=0【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到 八或c,即可得到答案.〃=0n=2【详解】因为3-〃zeA,所以3-〃2=1或3-加=2或3-m=3,解得m=2或m=1或根=0,因为几+1gA,所以〃+1=1或〃+1=2或〃+1=3,解得〃=0或〃=1或〃=2,m=2[m=0又因为'={1,也〃},所以八或即加+〃=2.n=0 \n=2故答案为:{2}(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)若集合A={x|V—(q+2)x+2-〃<0,xwZ}中有且只有一个元素，则正实数。的取值范围是12【答案】(，勺【分析】把不等式转化为/-2%+2<。(％+1),转化为A={x[/(x)<g(x),x£Z},结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式d_(。+2)%+2—。<0且q>0, x12-2x+2<a(x-bl),令4%)=%2—2x+2,g(x)=a(x+l),所以A={x[/(x)<g(x),x£Z},所以y=/(x)是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线,而y=g(x)一次函数，图象是过一定点(-L。)的动直线，作出函数“X)=f—2x+2和g(x)=〃(x+D的图象，如图所示,又因为xeZm>0,结合图象，要使得集合A={x|x?-(a+2)x+2-。<0,xgZ}中有且只有一个元素,可得g⑴〉可得g⑴〉1

〔g(2)w22a>13a<21 2解得12故答案为:(―5—].^J（2023春・上海青浦・高一统考开学考试）已知集合4={中＞3},集合3={小＞力，若命题〃是命题“xeB〃的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.【答案】"3【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题〃xe4〃是命题"xe8〃的充分不必要条件，所以集合A真包含于集合3,又集合A={小＞3},集合8={中＞〃},所以av3.故答案为：av3（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知A= ^＜0,^gzLb={x|x=a+b,aeA,beA},试用列举法表示集合3=;【答案】{2,3,4}【分析】解出不等式一三＜0得到集合A,然后可得答案.x-3【详解】因为A={xl言＜0,xwz}={x[0＜x＜3,xeZ}={l,2},所以3={x|jv=a+0,〃£A/?£A}={2,3,4},故答案为:{2,3,4}（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）若-2£{3,5,羽龙2+3w，则实数x=.【答案】-1【分析】讨论x=—2或X2+3%=—2,解出了的值，由集合的互异性即可得出答案.【详解】当％=-2时，d+3x=-2,与互异性矛盾.当f+3x=—2时，解得工=-1或1=-2（舍去）.当x=-l时符合题意，故答案为：T.（2023春・上海青浦,高一统考开学考试）已知集合4={2,3},集合5={3,4},则AB=.【答案】{3}【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合A={2,3},集合B={3,4},则Ac8={3}.故答案为：⑶（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）将集合AICI0/在如图中用阴影部分表示出来.【分析】根据集合的交集与补集的运算，即可求得AICI纵B【详解】由交集补集的运算可知，阴影部分如下图所示：故答案为:（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知陈述句素数都是奇数，则。的否定形式为.【答案】见解析【分析】由题意，素数都是奇数是全称量词命题，其否定是存在量词命题，由此可写出答案.【详解】陈述句素数都是奇数，是全称量词命题，则〃的否定形式为：存在一个素数不是奇数.故答案为：存在一个素数不是奇数.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）已知函数/（%）= +9.p:x£[-3,l],q:/（X）-同＜3,若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为【答案】（0,3）【分析】求出工£[-3,1]时，/（x）的范围，再求出4为真时，的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得力的范围.【详解】〃为真时，xe[-3,l],9—/£[o,9],/（x）e[0,3],q为真时，|/（%）_机＜3,m-3＜/（A：）＜m+3,m-3＜0〃是q的充分条件，则./解得。＜相＜3.42+3〉3故答案为：（0,3）,【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）设全集U=｛（x,y）|x,y£R｝,集合那么（枷）c（〃N）=那么（枷）c（〃N）=【答案】｛（2,3）｝【分析】分析出集合"，N的各自意义，进而可知疫M, 的各自意义，从而可求出（枷）（〃N）.【详解】解：由匕1=1可得y=x+l,xw2,即“表示直线丁=%+1除去（2,3）的点集,XLN表示平面内不在直线＞=工+1上的点集，则A/N表示平面内在直线y=x+l上的点集,必〃表示不在直线产工+1上的点和点（2,3）的集合，所以（疫M）（0N）={（2,3）}.故答案为：{（2,3）}.【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力.（2020秋・上海宝山・高一上海交大附中校考开学考试）设4，出，。3,4是4个互不相同的实数，且[x\x=a^ap\＜z＜y＜4}={11,21,30,39,49},则集合{q,%，？，%}=.【答案】{1,10,20,29}【分析】不妨设卬＜%＜生＜%，集合{x|%=4+%/＜，＜/＜4}中至多有6个数，确定4+勺中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解.【详解】不妨设卬＜。2＜。3＜4，则在集合{x|x=6+Q//中，4+出最小,%+。4最大，即q+%=ll,〃3+。4=49,第二小的数是4+〃3，第二大的数是。2+。4，即4+4=21,。2+。4=39,从而有4+%=%+a3=3°，由+tz4=49,4+%=21,4+%=39,4+%=%+q=3。，可解得q=l,%=10,6Z3=20,%=29,故答案为：{1,10,20,29}【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把《十%排列，再根据集合的定义得出结论后可求解.考查了逻辑推理能力，运算求解能力.（2021秋・上海宝山,高一上海交大附中校考开学考试）设P为非空实数集满足：对任意给定的犬、WP（%、y可以相同），都有x+ycP,x-yeP9xy^P,则称P为幸运集.①集合P={-2,-1,0,1,2）为幸运集；②集合P={x\x=2〃,neZ）为幸运集；③若集合々、尸2为幸运集，则片U鸟为幸运集；④若集合尸为幸运集，则一定有OwP；其中正确结论的序号是【答案】②④【解析】①取x=V=2判断；②设％=2《"j=2自"判断；③举例6={x|x=2N%£Z},£={x|x=3N%£Z}判断；④由％、丁可以相同判断；【详解】①当x=y=2,x+y=4&P,所以集合P不是幸运集，故错误；②设）=2勺iP,y=2&£P,则x+y=2（占+&）£A,x-y=2（勺一％2）£A,xy=2勺•&£A,所以集合P是幸运集，故正确；③如集合4={尤1工=2左,左£2},6={工|工=3%,左£2}为幸运集，但《11£不为幸运集，如尤=2,y=3时，%+y=5@[ug,故错误；④因为集合P为幸运集，则x-yeP,当x=y时，x-y=O,一定有。£?，故正确；故答案为：②④【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的X、”尸（X、y可以相同），者R有x+y£P,x-y^P,个£。〃，灵活运用举例法.（2022秋・上海徐汇,高一上海市南洋模范中学校考开学考试）已知集合4={虫<3},B={x\x<2],则40备3=.【答案】[2,3]【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.【详解】因为3={x|x<2},所以6*={X忖22}因此A-6*={小<3}c{小22}=[2,3].故答案为[2,司【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.（2022秋・上海•高一开学考试）已知集合〃=卜,2+工_6=0},N={x\nvc-l=0]9若NqM,则实数加的取值构成的集合为【答案】°14【分析】先化简集合M,然后再根据NUM,求出〃2的值，即可求解.【详解】・.•集合M=门2+X_6=0,・••集合用={2<3},,:NjM,N={x|"ir-l=0},：.N=09或代={2},或4={-3}三种情况,当N=0时，可得m=0；.x=—=2

m当入={2}时,VN={x\iwc-}=0}9••.x=—=2

m当％={—3}，xm/.实数m的取值构成的集合为0,1,IND故答案为:<0故答案为:<0--

，2'(2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试)设集合"={1,2,3,L,2024,2025},集合A是A1的子集，且满足：当xeA时，15xeA,则A中元素最多有个.【答案】1899【分析】分析可知，X与15X只能有一个是集合A的元素，又根据2025? 15=1,2025?21：可得当A中元素最多时，一共有2025-135+9=1899个元素.【详解】根据题意，时,15xeA,x与15%只能有一个是集合A的元素，由于2025? 15=1,故当A中元素最多时，集合A的元素可以是136,137,138,,2025共有2025-135=1890个，又因为135?15=9,故当A中元素最多时，集合A的元素可以是1,2,,3,,9,共有9个，以上两种情况加起来是1890+9=1899.故答案为：1899.(2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试)已知A={〃/,6/2,Q3,〃},B={a；,al，且〃/<42<43<。4,其中aiElZ(z=l,2,3,4),若Ac5={42,©},幻+。3=0,且的所有元素之和为56,求613+(24=.【答案】8【分析】先通过(AB)=B,判断得4〉。，分类讨论%>。与生=。的情况，得到卬=-1，%=。，%=1,再求AU3的元素，进而得到%+=56,解得g=7,故得答案.【详解】由4+%=0得4=-。3，所以如=3.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）下列命题中正确的是（）A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集D.设集合8gA,那么，若xeA,则不任3【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若则3中元素都在A中，A中没有的元素，则3中也没有；故D正确.故选：D.（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）已知集合人=卜£用-1<%<5},3={0,1,2,3,4,5},则A、B间的关系为（）A.A=B B.A C.AeB D.B【答案】D【分析】求出集合A,即可得出结论.【详解】因为A={xcN|—lvxv5}={0,123,4},故故选：D.5.（2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试）下列关系中错误的是（）A.0{0} B.{1,2}Z C.{（〃⑼仁{〃，" D.{0,1}o{1,0}【答案】C【分析】对于A,根据空集的性质判断，对于B,直接判断，对于C,由集合的特征判断，对于D,由子集的性质判断.【详解】对于A,因为空集是任何非空集合的真子集，所以0{0},所以A正确，对于B,因为Z表示的是整数集，所以{1,2}Z,所以B正确，对于C,因为{（。4）}表示此集合中只有一个元素（。力），而集合{。力}表示集合中有2个数〃力，所以两集又因为（4B）^B9即｛%%｝=｛〃；W，硝，所以生之。,（1）若。2>°，因为〃2£Z,所以外21,此时生工外，。3<〃；=〃；，氏<〃：，故片右｛%，/｝,从而｛%〃3｝=｛。「W｝，Q二q2 ）所以2,则%=W=，：=[；,即。3=。或1，与。3>〃2矛盾；a3-a2所以（2）若。2=。，则%>〃3>%=。，〃；>%，即〃：>〃3〉〃2，所以々3｝，,/A.nu{%，/}={01' }，显出=0= /=q=43，即％=0 1,而？=。与例>。2矛盾，故。3=1，4=-%=-1，又AB={q,&,Q3，Q,%}，故q+d+%+。4+。；=56,将4=-1,々2=。，。3=1代入，得到。4+4=56,解得。4=7或%=-8（舍去）,所以。3+。4=8.故答案为：8.46.（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）用CG4）表示非空集合A中元素的个数，定义A”喟二黑黑；<黑）若A"2｝,小卜2+or）（f+or+2）=0）,且A*B=1,设实数。的所有可能取值构成集合S,则。（s）=.【答案】3【分析】由新定义A*3=l得集合5可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程（12+办）（尤2+以+2）=。根的个数，即等价于研究两个方程/+以=o、/+盯+2=。根的个数.【详解】3+or)(x2+ax+2)=。等价于/+以=0①或f+^+2=0(2).由A二｛1,2｝,且A*8=l,得集合5可以是单元素集合，也可以是三元素集合.若集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，可得。=0；若集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即[qw0 _4a2°八，解得a-±2\[2-综上所述，〃=。或〃=±2&，所以。（S）=3.【点睛】本题以A*3这一新定义为背景，考查集合8中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思维能力要求较高.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知A={x|£+p九+1=0/£可，若AcR+=。，则实数〃的取值范围是.【答案】（-2,+00）【详解】分析：先根据条件得方程f+px+l=0没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数〃的取值范围详解：13AcH+=。，团方程V+px+1=0没有正实数解，故A集合有两种情况：①若A=。，则A=一4<。，则一2<〃<2；②若Aw。，则方程有两个非正数解，且。不是其解，则有：\P一4：0,解得pN2.综上所述，P>-2,即实数〃的取值范围是（-2,+s）.点睛：⑴认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.⑵注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足〃互异性〃而导致解题错误.⑶防范空集.在解决有关= 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑。是否成立，以防漏解.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知函数〃尤）=f+2冰+8（。〉0）,集合A=[x\f（x）<0}9B=[x\f（f（x））<s\,若A=Bw0,则。的取值范围为.【答案】[242A【解析】先根据AN0,利用AZO求得。的范围，再求出集合AB,利用A=B,即可求解.【详解】解：；A=3w0,即/(x)W0J(/(x))W8有解,由/(x)«0知：△=(2〃)2—4*8=4/一3220,解得：a4-2母或aN2C，又a>0,a>2^2，令〃%)=%2+2ar+8<0,解得：-Q—，片―8<X<—Q+ —8，故A=1x—a—J/—8<x<—a+da~-8)，〃/(x))W8,令〃=/(x),BP/(m)<8,又/(x)=x?+2办+8.易知：/⑼=8J(-2〃)=(-2q『+2qx(_2a)+8=8,a>0,故-2a<u<0,!PB={x|-2^</(x)<0),又A=B,故/(x"-2a恒成立，即〃％12a,又/(%)min=/(-。)=(-。)~+2a,(-a)+8=-4+8,即—cr+8N—2a，即cr—2。-840,解得：-2<6Z<4,又aN2加，/.ae2A/2,4.故答案为：[20,41【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用A=B得出/(力而了-2。.(2022秋•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试)设。={0,123,4,5,6,7,8,9},若BjCjU,则不同的有序集合组(A民。)的总数是.【答案】510【分析】按。中元素个数分类讨论，再定良。中元素个数，最后由分类、分步计数原理可得结论.【详解】法一：集合C中有10个元素时，不同的有序集合组(AB,C)有C：；.2,0.2皤个；当集合。中有9个元素时,不同的有序集合组(A,B,C)有G>2。・29个；•••当集合。中有0个元素时,不同的有序集合组(AB,c)有C；)・2°・2°个；团总数为：£・210・2,0+品・29.29+...+C>2°・2°=C：；・4%品-49+...+品=(1+4),0=5,0法二：如图，每个数字的位置都有5个位置可供选择，所以共有宁。种.故答案为：510(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)已知函数/(x)=Y—©+3,g(x)=znr+5-2根，若对任意的/«1,4],总存在可<1,4],使/(%)=g(&)成立，则实数用的取值范围是【答案】(--3]36,y)【分析】根据对任意的百句1,4],总存在％«L4],使得/(%)=抵々)，可得两个函数值域的包含关系,进而根据关于加的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为/(x)=_?_4x+3=(x_2)2—1,所以函数/(x)的对称轴为x=2,对任意的看河1,4],记1,3].记A=[—1,3].由题意知，当机=0时不成立，当相>0时，g(x)=mx+5-2加在[1,4]上是增函数，所以g(x)e[5-m,2m+5],记8=[5-机,2m+5]由题意知，BEA所以-1>所以-1>5-m2m+5>3解得m>6.当mvO时，g(x)=mir+5-2加在[1,4]上是减函数,所以g(x)e[2m+5,5-m],记C=[2zn+5,5—zn],由题意知，CoA2m+5<-1所以Q7，解得“"一3.5-m>3综上所述，实数加的取值范围是(f，-引。[6,y).故答案为：3]36,"o)【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的1目1,4],总存在々<1,4],使得/a)=g(z),可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)用阈表示非空集合A中元素的个数，定义IA—3,A2\b\ (. (I/? \/? \ )MB=\B-Ab>|a|，若，={°」"，=卜卜+6)(X+以+3)=。卜A*8=l,则实数"的所有可能取值构成集合S,则5=.(请用列举法表示)【答案】卜2点2&0}【分析】根据A={0,l}, = 可知B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程

卜2+办)(尤2+仆+3)=。的个数进行讨论，即可求得，的所有可能取值.【详解】由于1+国,+依+3)=。，等价于Y+双=o①或x2+ax+3=0②又入={04},A*3=l,可知3要么是单元素集合，要么是三元素集合,(1)当8是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时。=0；(2)当8是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根,此时Q△=/—此时Q△=/—12=0,解得a=±273实数〃的所有可能取值构成集合5=卜26,2"。}故答案为：卜2百,26,0}【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.四、解答题(2020・上海•高一开学考试)设集合A={x|%2+3%+2=0},B={x|x2+(m+l)x+m=0}；(1)用列举法表示集合A；(2)若xeB是xeA的充分条件，求实数加的值.【答案】(1)4={-1,一2}；(2)m=1或，篦=2【分析】(1)解方程求集合A,(2)若xeB是xeA的充分条件，则8=A,然后求解集合根据子集关系求参数.【详解】(1)f+3x+2=0n(x+l)(x+2)=。即-1或x=-2,A={-1,-2}；(2)若是xeA的充分条件，则BgA,x2+(m+l)%+m=0^>(x+l)(%-i-m)=0解得工二-1或无=一根，当"2=1时，B= ,满足当m=2时，B={-l-2},同样满足所以"2=1或7?2=2.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.（2020・上海•高一开学考试）已知A={x|f—3火+2〃>0,4>0},3={尤|Y—x—620},若xeA是的必要不充分条件，求实数。的取值范围.3【答案】0<^/<|【解析】先解出B的范围，根据B是A的真子集求解范围即可。【详解】解出8= ,A=^x\x<a^x>2cua>0}因为xeA是xeB的必要不充分条件，所以B是A的真子集.a>-23所以124<3=>0<〃<—。>0 23故答案为：。<。<彳2【点睛】此题考查简易逻辑和集合，注意将条件通过充分必要条件翻译为集合的子集关系，属于简单题目。（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知集合A={x\kx2-Sx+16=0,keR,xeR}.（1）若人只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合4（2）若八至多有两个子集，试求实数k的取值范围.【答案】（1）k=0,A={2};k=l,A={4}.（2）{0}J[1,-kx>）.【解析】（1）当女=0时，易知符合题意，当左wO时，利用△=（）即可求出女的值；（2）由A至多有两个子集，可知集合A中元素个数最多1个，再分攵=0和两种情况讨论，即可求出实数上的取值范围.【详解】⑴①当攵=0时，方程化为：-8x+16=0,解得X=2,此时集合人={2},满足题意；②当攵。0时，J,方程版2一8-16=0有一个根，:.A=(―8)2—4^x16=0,解得：k=l,止匕时方程为d—8x+16=0，解得x=4,，集合A={4},符合题意，综上所述，2=0时集合4={2}；左二1时集合A={4}；A至多有两个子集，，集合A中元素个数最多1个，①当ZW0H寸，一元二次方程依2一8%+16=0最多有1个实数根，•,*/=(-8>—4kx16,,0,解得k..T,②当左=0时，由(1)可知，集合A={2}符合题意，综上所述，实数攵的取值范围为：{0}[1,+8).【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题.55.(2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试)已知用为实数，A={xf_(m+1卜+m=o},B=^xmx-l=01.⑴当肘，求用的取值集合；⑵当Au3=A时，求加的取值集合.【答案】(1){1}⑵{TO4}【分析】(1)分析可知AH0,则〃2。0,根据可得出关于用的等式组，由此可解得实数〃2的值;(2)分析可知分机=0、〃2。0两种情况讨论，在机=。时，直接验证即可；在相。0时，根据集合的包含关系可得出关于实数加的等式，即可解得实数〃2的值，综合可得结果.【详解】(1)解:因为A={x](xT)(x-〃2)=0卜0,且A=则加w0,所以,由题意可知，—=1,m,解得m-\.由题意可知，m-1因此，实数机的取值集合为{1}.(2)解：QAUB=A,则当相=0时，B=合乎题意;若…，则(X(\\ 若…，则(X(\\ mI帆)=。，解得加=±1.综上所述，〃2的取值集合为卜1。1}.(2020・上海•高一开学考试)已知全集。=区，集合A={x|、2—4x—5<。},B={x\2<x<4}.(1)求Ac(Cu5)；(2)若集合C={x|a〈x<4a,a〉0},满足CUA=A,CB=B,求实数。的取值范围.【答案】(1) 或4<x45}.；(2)pl<a<^j.【分析】(1)求出A以及加8后可得Ac(CuB).(2)根据集合等式关系可得5qC1人故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数。的取值范围.【详解】(1)由题A={x|—l<x<5},GB={x|x<2或x>4},Ar>(ClJB)={x\-l<x<2^i4<x<5}.a>-\(2)由CUA=A得CqA,贝ij4。<5,解得。4。>0X.a<2由C/5=B得3= 则解得14q<2,a>0

、团实数a的取值范围为{a"【点睛】本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)已知S〃={A|4=(4，生必，“)，4=。或1,i=l,2,-/}(〃22),对于U,V£S〃，或。")表示U和卜中相对应的元素不同的个数.(团)令。=(0,0,0,0,0),存在团个丫£工，使得力〃，/)=2,写出m的值;(回)令2''若U,VeS〃，求证：d(U,W)+d(KW)2d(UW)；〃个0(0)令U=(4，%,〃3,…，。3若V ,求所有d(u,v)之和.【答案】（团）机=10； （0）见解析（00）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S”的，其实S“中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标都是0或者1,也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是。或1,第二个定义或。，）.第一问，根据VeSs，且=2及d（U,V）的意义：表示U和V中相应的元素不同的个数，可知m=C；；第二问，根据q二0或1,，=1,2, 分类讨论q=0,2=0时，同+间=0=|q-bJ；当4=0,2=1时，同+间=1=何.一如当4=1,2=0时，闻+间=1=问-用;当4=1,2=1时，同+例=2习生.一旬=0；可证，同+同习生一修，再相加即可证明结论;第三问，结合第一问，得出使d（〃,唳）=〃的以共有C：个，分别计算出力（"小）和刃3,匕），再相加即k=l k=l可.试题解析：（回）《=10;（0）证明：令〃=（4,。2，。3……4），U=（4，Z?2也……”）回《=0或1,2=0或1；当q=0,4=0时，同+例=0=旧—4|当％=o,2=1时，同+间=i=k.一片当％=1,a=o时,同+间=1=4.一a当q=l,々=1时,同+同=22q=。故国+例小-4回d（〃,w）+d（匕w）=（%+%+〃3++。〃）+（4+a+4++b”）二（同+|生|+|%|++|an）+屹|+怜2|+|4|++|2）2（4—b、+出一4+々3-4|++_b”）=d（u,v）（0）解:易知S〃中共有2〃个元素，分别记为以（％=12,2〃）u=（4也也……〃）岫=。的匕共有2〃t个，4=1的n共有2〃一个.合间不存在包含关系，所以C错误，对于D,{0,1}和{1,0}是两个相等的集合，所以{0,1}7{1,0},所以D正确，故选：C（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知匕为实数,则〃心2且心3〃是〃9之6〃的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】a,b为实数,若且人23,则就之勖26,取1=1/=7满足"26,显然且不成立，所以〃心2且23〃是〃而26〃的充分非必要条件，A正确，B,C,D都不正确.故选：A（2020・上海•高一开学考试）已知命题P：Wx£R,x2—x+i>o,则「pA.HxeR,x2-a:+1<0 B.VxgR,a:2-x+1<0C.R,x2-x+1>0 D.VxeR,x2-a:+1>0【答案】A【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题〃：心£勺工2一%+1>0,贝1广〃：Y_工+1<0,故选A.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（2020・上海•高一开学考试）已知集合人={回工-％0},若2£儿则。的取值范围为（）A.（-co,-2] B.（-00,2] C.[2,+oo） D.[-2,4-oo）【答案】C【分析】首先求出集合A,再根据元素与集合的关系求出参数的取值范围；【详解】解:因为集合4={%1%-④。},所以A={xE，G，又因为2£4,则。・.2,即〃£[2,+oo）,故选：C.回H(〃,也)k=\二①|q—0|+2〃t|q-1|+21|生_。|+2〃-14-1|++2/4—0|+2〃t|^-1|)二〃.2"t2〃回2"(〃，匕)=〃.2'i.k=\法二：根据(0)知使dQ,")=?的“共有c：个,2”回23M)=OC)+1C+2C+.•+〃・£；k=\2〃£d3,匕)=〃・c：+5—1)・C；「+5-2)・c；＞2++0・C；)A=12n两式相加得2(u,vk)=n-2M&=1考点：计数原理的应用.58.(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)已知命题P：关于1的不等式〃a-120的解集为A,且2^4；命题，关于1的方程V—2%+根=0有两个不相等的正实数根.(1)若命题〃为真命题，求实数小的范围；(2)若命题〃和命题4中至少有一个是假命题，求实数加的范围.【答案】(1)m＞-(2)加＜，或机2/2 2【分析】(1)根据不等式的解集且2e4代入即可根据命题〃为真命题求得数加的范围.(2)先求得命题P和命题q都为真命题时m的范围，根据补集思想即可求得命题P和命题q中至少有一个是假命题时用的范围.【详解】(1)命题P：关于x的不等式〃吠-120的解集为4且2£A因为命题〃为真命题所以2m-120解得2(2)命题/关于x的方程f—2x+m=0有两个不相等的正实数根△=4-4m＞0当命题9为真命题时J%+々=机〉。-x2=2＞0解得0＜相＜11m>-当命题P和命题9都为真命题, 20<m<1所以,<m<12所以若命题P和命题Q中至少有一个是假命题则〃2c,或加2/2所以实数用的范围为机或机2/【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征，复合命题真假的关系,属于中档题.59.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）已知Q,X£H,A={2,4,f—5x+9},Bj3,Bj3,x2+ax-\-a。=户(〃+1)%—3,1}.求:（1）使2^3,3&A的Q，x的值；（2）使3的的值.、 7【答案】（1）x=2,a=—或x=3,a=—；（2）x=-l,〃=-6或产3,a=-24【分析】（1）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，/+分+q=2,%2_5工+9=3,联立方程即可得出结果.x+or+。=1⑵根据集合相等，集合中的元素相同，可得八（,+x3=3'解方程即可得出结果。【详解】（1）因为2£吕，所以％2+以+〃=2又因为81，A,所以£_5x+9=3,解得x=2或x=32当x=2时，4+2q+q=2,解得。=一§当x=3时，9+3q+q=2,解得。=—4一 2、 7所:以，x=2,ci——二回x=3,ci=~3 4Lx2Lx2+OX+Q=1(2)B=C,/J9IjC+(q+l)x—3=3所以，x=-l,q=-6或x=3,a=-2.【点睛】本题考查了集合的性质及元素与集合、集合与集合间的关系，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.60.(2022秋•上海•高一开学考试)已知集合4=卜,2+(1-卜一<0},5=卜卜一2|<1}.(1)当，=2时、求AuB;(2)若BgA,求实数方的取值范围.【答案】(1)[-1,3)(2)[3,+8)【分析】(1)可得出炉{x[l<x<3},U2时求出集合A,然后进行并集的运算即可；(2)根据8a4即可得出集合4="|-1众。},进而可得出I的取值范围.【详解[(1)A={x\x2+(l-f)%-/<0)={x|(x-Z)(x+1)<0},B={x||^-2|<1)={x|l<x<3},当，=2时，A={x|(x-2)(x+1)<0}=[-1,2],・・.AU5=[-1,3)(2),/BcA,3={x[l<x<3}A-{x\-l<x<t},:.t>3,・..实数[的取值范围[3,+8)6L(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试)定义：若任意相(m,〃可以相等)，都有1+恤。0,则集合5=1%%=?^,根,〃£4]称为集合4的生成集；[ 1+mn J⑴求集合A={3,4}的生成集3；(2)若集合A={〃,2},A的生成集为&8的子集个数为4个，求实数。的值；⑶若集合A=(—LD,A的生成集为&求证A=B.3X7]【答案】⑴3七万V⑵Q=±1或。=]⑶证明见解析【分析】(1)根据新定义算出工的值即可求出B；(2)5的子集个数为4个，转化为3中有2个元素，然后列出等式即可求出。的值；(3)求出B的范围即可证明出结论【详解】(1)由题可知,(1)当加=〃=3时,3+33x==—1+3x35(2)当〃2=〃=4时,4+4 8x- =—1+4x417(3)当m=3,〃=4或m=4,〃=3时,3+4_7l+3x4-13所以3=(2)(1)当加=〃=2时,2+2 4x==—1+2x25a+a2a\ 2"1 21+Q-1+Q-(3)当机=2,〃=。或〃2=々,〃=2时,2+4x=1+2。3的子集个数为4个，则3中有2个元素,1+2。1+2。5解得。=±1或（。=2舍去），所以。=±1或(3)证明：Vm,/ie(-l,l)=A,m^n।(m+l)(n+l)八 +1= >0,14-mn1+mn根+〃i—(m—1)(72—1)1=--<0,+mn1+mn根+〃 口nn/11\—I< <1,即3=(—LI)I+mn：.A,又A=（-l,l）,所以AgB,所以A=B（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知A=|x|X2+4a=01,B= 42+2(a+l)x+〃2-I=o1.⑴若A是5的子集，求实数。的值；⑵若B是A的子集，求实数，的取值范围.【答案】⑴。=1;A>0【分析】（1）由题得B=A={-4,0},解卜4+0=-2（〃+1）即得解；—4x0=/_]（2）由题得BqA,再对集合8分三种情况讨论得解.【详解】（1）解：由题得A={T,0}.若A是8的子集，则5=A={T0},A>0所以14+0=-2（〃+1）,.・・〃=1.-4x0=^2-1V.（2）解：若3是A的子集，则8=4①若3为空集，则A=4（〃+l）2—4（〃—1）=8q+8v0,解得q<—1；②若3为单元素集合,则A=4伍+1）2—4（/-1）=8〃+8=0,解得。=—1.将〃=一1代入方程d+2（Q+l）X+〃2—l=0,得了2=0,即％=0]={0},符合要求；③若3为双元素集合，B=A={~4,0},则。=1.综上所述，a,-1或〃=1.（2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知实数百,马，014，不，满足⑴求证：X1,X2,X3,X4,X5中至少有一个实数不小于1；⑵设再，龙2，工3，尤4，工5这五个实数两两不等，集合4={石/2，%3/4，/}，若且记G（3）是8中所有元素之和，对所有的笈，求g（3）的平均值.【答案】⑴证明见解析;z80(2)—・31【分析】(1)利用反证法求解即可；(2)由于若玉(l〈i(5"£N)在其中一个子集8中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解.【详解】(1)假设不々，了3，X4，天全都小于1，则%+%+%3+%+毛<5与题目矛盾，故国,工2，不，%毛中至少有一个实数不小于1.(2)因为且集合4=｛4尤2,0尤4，工5｝的所有非空子集数为25-1=31个，由于6=0时，3中的元素和为0,因此计算所有的3,G(3)的和时，不妨把3=0也计上，因为若七(1〈注5,MN)在其中一个子集3中出现，就必然存在另一个子集中不出现，所以在32个子集中一定有16个包含%(1W注5,i£N),另外16个不包含xz(l<z<5,zeN),故G(B)的平均值=16、(％+%+%3+%4+也)=80(2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试)已知集A=｛x|2m+l<x<3根+4｝合，6｛邓<x<7｝若AuB,求实数〃2的取值范围；【答案】(7,—3)(X0,1]【分析】根据题意，对集合A是否为空集进行讨论，列不等式组即可解得答案.【详解】若集合4=0,则2加+1>3/%+4,解得根<—3,止匕时满足AuB,2m+l<3m+4若集合Aw0,由Au区可得<1W2〃z+1解得0工机41,3m+4<7所以实数加的取值范围是：(-，-3)0[0』].(2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试)给定的正整数〃(“22),若集合A= …,满足4+2++%=q・%%，则称A为集合〃的〃元“好集〃.(1)写出一个实数集R的2元〃好集〃；(2)证明：不存在自然数集N的2元〃好集〃；(3)是否在自然数集N的3元〃好集〃？若存在，请求出所有自然数集N的3元〃好集〃；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且自然数集N的3元〃好集〃只有一个，且为｛123｝.【分析】（1）根据2元〃好集〃的定义可写出实数集/?上的一个2元〃好集〃；（2）设八=｛勺/｝是自然数集N上的一个2元〃好集〃，设分4=。与6£N”两种情况讨论,在4=0时验证4+。2=。陷2是否成立，在4£N*时可得出4-1=",推出矛盾可得出结论成立；（3）设4=｛4,外,%｝是自然数集N上的一个3元〃好集〃，设4<〃2<。3，分4=。与qeN*两种情况讨论，在。1=0时验证4+%+4=4%的是否成立，在4wN*时推导出的2<3,可求得6、%的值，代入等式4+%+/=4%%可求得%的值，进而可得出结论.【详解】（1）—l+；=-lxg,则4=｛-1,；｝为实数集R的一个2元"好集"；（2）设4=｛勺%｝是自然数集N上的一个2元〃好集〃，不妨设4<出.①若4=0,则出wN*,则4+g=4%显然不成立；②若qgN*,由4+。2=4%可得4=a1021al=%（4-1）,：.a1-l=-9Cl-）a. . .axq、出£N”且4<%,「・°<—<1,N,所以4-1二一不成立.- a.见综上所述，不存在自然数集N的2元〃好集〃；（3）设4=｛4，%,%｝是自然数集N上的3元〃好集〃，不妨设①若％=0,则4+%+。3=。1。2。3显然不成立；②若qwN*,则4%%=4+。2+。3<3。3,可得4%<3,满足01a2<3的正整数只能是4=1,4=2,代入=a\+%+a3可解得%=3.因此，自然数集N上的所有3元〃好集〃为｛123｝.【点睛】本题考查集合的新定义〃好集〃的应用，考查分类讨论思想的应用，属于难题.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）若集合A具有以下性质，则称集合A是〃好集〃：①OeAleA；②若九、ywA,则x-ywA,且xwO时，-eA.x⑴分别判断集合3=｛-1,。4｝,有理数集Q是否是〃好集〃，并说明理由;⑵设集合A是〃好集〃，求证：若尤、y”,则x+y"；⑶对任意的一个〃好集〃A,判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若％、yeA,则必有冲$A.【答案】⑴集合3不是〃好集〃，有理数集。是〃好集〃，理由见解析⑵证明过程见解析⑶真，理由见解析【分析】（1）由定义判断.（2）由OeA,ylA,可得—ywA,从而可得出（3）x、y中有0,1时，易得结论，x、y中没有0,1时，可得x—1,—进而x（x—1）eA,再由（2）x-1X0 1 1的结论可得出得dwA,/eA,进而得（x+y）-£A,从而得2盯eA,与eA,进而耳^人，即得出冲£A.【详解】（1）由一1£s1£5便可得出—1—1=—从而得出集合3不是〃好集〃.有理数集。是“好集〃，理由是：对任意工£。,丁£。，者B有尢一丁£。，且XW0时，-eQ.x故：有理数集。是，，好集〃.（2）因为集合A是〃好集〃，所以OeA,若X、则。―ywA,即—yeA,所以％-（一丁）£人即x+y£A.故得证.（3）若工、＞中有0,1时，显然有冲gA,111114z下设x、y中不存在0,1,由定义得％—1,---eA,所以「7一：二二-^^24,则%（%—1）6A,由（2）X—1XXTxXyX-IJ得x（x-l）+元=%2eA,同理VeA.若X+y=0或X+y=1时，显然（x+»£A；若x+ywO或x+ywl时，显然（x+yp6A,可,得2u=（x+y『-d一/6A,所以eA,由（2）得所以砂xy2xy2xy综上：取wA.故：若不、y^A,则必有个wA.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）已知集合5={加+小囱苏_3/=",〃wZ}.(1)证明：若qeS,则'eS,—a2+J3(2)证明：若1<〃<夕，则2<p+，K^+L,并由此证明S中的元素〃若满足1<〃<2+6，则pq匕=2+6；(3)设cwS,试求满足2+G<c<(2+百>的所有c的可能值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)c=7+473【分析】⑴若则"…石且疗-【分析】⑴若则"…石且疗-3口=1‘ ，得到:式方均满足集合A的性质,进而得到结论.(2)构造函数"x)=x+3x21),分析其单调性，进而得到A中元素若满足1<。<2+6,则〃=2+百.X(3)设ciA,结合(1)(2)中的结论，可得C值.【详解】证明：(1)若酒4,贝lj〃=/n+〃G且m2-3层=1,m,〃团Z,则工= =3'金=m-n6=m+(一〃)&且〃於-3(-〃)2=1,m,-〃团Z,cim+n13m—3〃一故」助，则/TP一⑹a(m+nV3)=(2m-3n)+则/TP一⑹此时(2m-3n)2-3(2/t-m)2=m2-3n2=l,故会,(2)令于3=x+-(x>l),则/(x)在(l,y)上的单调递增，x证明：设1口大V%，TOC\o"1-5"\h\z则/(%2)一/(%)=%2+ (玉+——)=(X2一%)(1 )X2%团1<x1<x2,1 1回々一玉>0,1 >0,中2故/(%)—/a)>o,即，(%2)>ra),〃幻在ae)上的单调递增m<p<q9f(1)=2,1102<p+-<q+-；pq令/?=加+〃6且加2-3〃2=1,m,〃回Z,01</?<2+V3,02</7+y-2+班H1=,b 2+V302<2m<4,则帆=2,h=1,则/?=2+6；(3)M4,且2+G〈cK(2+6)2,回袅财‘且1(康"2+石,由⑵得：鼻二2心0c=(2+6)2=7+46【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用,是中档题.(2022秋・上海•高一开学考试)已知集合A为非空数集，定义：S={x[x=Q+"a/£A},T={x|x=a-b,a,beAj.(1)若集合4={L3},直接写出集合S、T；(2)若集合入~不知玉,毛}，且T=A,求证：玉+%=々+工3；(3)若集合A屋{x|0WxW2021/£N},ScT=0,记同为集合A中元素的个数，求|川的最大值.【答案】(1)S={2,4,6},T={092}；(2)详见解析；(3)1348.【分析】(1)根据题目定义，直接计算集合S及7；(2)根据两集合相等即可找到玉，巧，与，Z的关系；(3)通过假设A集合{m，m+\,m+2,…，2021),〃%,2021,meN，求出相应的S及7，通过ScT=0建立不等关系求出相应的值.【详解】解：(1)根据题意，由集合A=U,3},计算集合5={2,4,6},7={0,2}；(2)由于集合A={玉，X?,七,%4}，X]<w<工3<“4，且T—A,y所以T中也只包含四个元素，即7={。，x2-xl,退-%，又-司},剩下的七一工2二14一七二工2一%，所以玉+工4=尤2+%3；(3)设从={%,%，•••%}满足题意，其中％<。2<…<%，【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.9.（2022秋・上海•高一开学考试）若X是一个集合，7是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于7,。属于一（2）c中任意两个元素的并集属于r；（3）「中任意两个元素的交集属于丁，则称「是集合X上的一个拓扑，已知X={a,〃,c},对于下面给出的四个集合一①7={0,"c}}；②r={0,{）},{c},{Z?,c},{々也c}}；③了={◎{〃},{a,》},{〃,c}}；④「={0,{凡6，色。},{6，{4也由.其中是集合*上的拓扑的集合「的序号是（）A.②④ B.②③ C.①②④ D.①③④【答案】A【分析】根据集合X上的拓扑的集合丁的定义，逐个验证即可【详解】对于①，一{◎{〃},{。},{6仇书，而{q34={a，c}任小所以①不是集合X上的拓扑的集合对于②，汇={0,{印,卜},依凡{々也用,满足（1）X属于7，。属于丁；（2）「中任意两个元素的并集属于「；（3）「中任意两个元素的交集属于「，所以②是集合X上的拓扑的集合「；对于③，7={0,{〃},{〃,〃},{a,。}},而{a,Z?}u{a,c}={a,〃,c}右乙所以③不是集合X上的拓扑的集合「；对于④，7={0,{%。},%。},{*{。1,耳},满足（1）X属于〜0属于一（2）「中任意两个元素的并集属于J（3）7中任意两个元素的交集属于7,所以④是集合X上的拓扑的集合7;故选：A【点睛】此题考查学生的理解能力，考查集合的有关新定义，是开放型的问题，属于基础题（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知集合A=xl--<0,^eZ,%-3JB={y\y=x2+\,xeA},则集合b的子集个数为（）A.5个 B.8个 C.3个 D.2个【答案】B【分析】先化简集合A,B,再列举其子集求解.f—I ]【详解】因为4=|幻口<0,x£Z|={-所以8={yly=f+Lx£A}={125},贝ij2alvq+a2<ax+q<...<ax+ak<a1+ak<tz3+ak<...<ak_]+4v2ak,.,\S\..2k-\,4一4<a2—aA<a3—a^<...<ak—ax,/.|T\..k,ScT=0,由容斥原理IST|=|S|+|T|..3k一1,ST中最小的元素为0,最大的元素为2%,.,.|ST|„2ak+1,・•.3k-1效由4+14043()tgN*),・•・M1348,实际上当4={674,675,676,…，2021}时满足题意，证明如下：设人={"2,m+1,m+2,…，2021),meN,贝lJS={2〃z,2m4-1,2m+2,…，4042},T={0,1,2,…，2021-m),2依题意有2021—m<2m,即根〉673—,故用的最小值为674,于是当根=674时，A中元素最多，即4={674,675,676,…，2021}时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348.(2022春・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试)已知实数。力,Gd不全为0,给定函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d.记方程/(幻=。的解集为A,方程g(/(%))=。的解集为5,若满足A=5w0,则称/(x),g(x)为一对〃太极函数〃.问:⑴当a=c=d=l,〃=()时，验证/(x),g(x)是否为一对〃太极函救〃；⑵若/(x)，g(x)为一对“太极函数〃，求d的值；⑶已知/(%),g(x)为一对〃太极函数〃，若。=1,c>0,方程知x)=0存在正根加,求。的取值范围(用含有用的代数式表示).【答案】(1)不是一对''太极函救〃⑵4=0⑶加£(0,夜]时，ce(0,—应方)，m£(血,+00)时，cg(0,4m?).4-/n【分析】(1)根据新定义检验;(2)利用新定义计算求解；(3)设=-£/+”，由新定义得关于，的方程/—£/+c=o无实根，记人⑺二^一上才+〜由二次函数m m m性质求得，的范围，由可得。的范围.【详解】(1)若"Rg(x)是否为一对〃太极函救〃，由/(x)=x+l=O,得％=-1,所以g(/(-1))=g(0)=1,户—1不是g(/(x))的零点，所以/(x)，g(x)不是一对太极函救；(2)设厂为方程的一个根，即，⑺=0,由题设g(/⑺)=0,所以g(0)=g(/Q))=d=。;(3)因为d=O,由Q=l,/(〃2)=。得。=一二，所以/(%)=区2+5=一_£,工2+5,m mg(/(%))=f(x)[f2(x)-—/(x)+c],m由/(x)=0得％=0或加,易得g(/(%))=。，据题意，g(/。))的零点均为/(x)的零点，故尸(x)-9/(x)+c=0无实数根，mTOC\o"1-5"\h\z设，=—£d+s,则产一£，+c=0无实不艮，t己人(，)=〃一91+。m m m2八一czm、？meme 9c c7<rc>0时，t=(x)h<—，h(t)=r/+c=Q)~+。 ？，m2 4 4 m 2m4m2mec刖八 /-n.,/、 ,mcxm2c2c1八々刀”日八 16~~r-~-，即Ov/n〈虚时，力(%)min=〃(-^)=~-+c>0,斛得0<c<^ -,42m 4 16 4 4-m"2-->T—?即机>0时,/z(/)min=/z(——)=c—(—^>0,0<C<4/712.42m 2m4”16综上，”£(0,血]时，cg(O,7),根£(0,+8)时，ce(0,4m2).4-m【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第(3)小问的范围问题，解题关键是引入变量仁-利用新定义确定关于，的方程/—£/+c=。无m m实根，记/d)=/—4+c,只要/2⑺讪>。即可得结论.m(2022秋・上海徐汇,高一上海市南洋模范中学校考开学考试)设A是非空实数集，且若对于任意的％都有个则称集合A具有性质片；若对于任意的都有*eA,则称集合A具y有性质也.⑴写出一个恰含有两个元素且具有性质<的集合A；⑵若非空实数集A具有性质外，求证：集合A具有性质片；⑶设全集。={X|xwO,xeR},是否存在具有性质々的非空实数集A,使得集合电A具有性质6？若存在,写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由.【答案】⑴{—1,1}⑵证明见解析⑶不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意直接写出A={T1}即可；（2）根据性质鸟可知IwA,分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质々即可.（3）由题意可知1£e人且A/A不是单元素集{1},令，£人。£板,。£ 且CW1，若acsgA,则,这与。eA矛盾；若qceA,则,c^—=ac^^A,这与acsA矛盾，综上可得到结论.a a【详解】（1）由（-l）x（-l）=l,（-l）xl=-l,lxl=l,可得恰含有两个元素且具有性质<的集合A={-3}；（2）若集合A具有性质g,不妨设qeA,由非空数集A具有性质尸2,有@=1£A.a①若A={1},易知此时集合A具有性质儿②若实数集A只含有两个元素，不妨设A={1，4},由'=4,且弓。1,解得：4=7,此时集合A具有性质%③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素4外£A，则有^eA,由于集合A具有性质1.一所以有的+—=4%£儿这说明集合a具有性质片；q（3）不存在具有性质耳的非空实数集A,使得集合丹A具有性质鸟，由于非空实数集A具有性质;，令集合3=依题意不妨设》W8, A,因为集合8具有性质所以9=163,b若八{1},贝-eA,a因为非空实数集A具有性质4,故qx」=1£A,这与8={1}矛盾，a故集合3不是单元素集{1},令cwB,且cwl,①若双£儿可得丝eB,即，这与3=矛盾；C②若由于qeA,IcA,所以因此c+」=qc£3,这与qceA矛盾,a a综上可得：不存在具有性质々的非空实数集4使得集合孰A具有性质8.【点睛】集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.所以集合5的子集有0,{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},共8个,故选：B（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）已知1.R,使代数式的值为有理数的x的集合是（）A.RB.Q C.使肝公£Q的集合D.使x+ 的集合A.R【答案】B【分析】根据分母有理化化简后的结果判断可得.【详解】X+VZ+1r-x+a/x+1故选：B.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）设。所示有理数集，集合x=[xx=Q+/?五,4,0£Q,xwo},在下列集合中：①{2x|x£X}｛x2|xe%｝:与x相同的集合有（）A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合｛2x|xeX｝,则2（〃+b五）=p+4血,解得"=2〃应=2"即。=日"=3,是一一对于，所以与X集合相同.对于②：集合｛言|xgX，，则黄萨也是一一对应，所以与X集合相同.对于③：集合｛2臼，悬石=力+（一七］日一对应,，所以与