二面角的向量求法

空间角-求面面夹角（第3课时）1.求面面夹角⑴定义二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫二面角的两个面。二面角的平面角：从二面角的棱上任一点在它的两个面内各引一条垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角。（2） 求面面夹角的步骤如下：①找出或作出二面角的平面角；②证明其确实是所求的面面夹角；③计算平面角的值，一般均在三角形中进行。（3） 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。利用法向量求二面角的大小的原理:设n设n,n2分别为平面a,P的法向量二面角a-1-P的大小为0，向量的夹角为卬，则有。+的夹角为卬，则有。+中=冗（图1）或0=9（图2）图1基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角.

如何求平面的一个法向量：例题1:如图3,在正方体ABCD-A1B（C1D1中G、E、F分别为AA「AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。TOC\o"1-5"\h\z1略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E（1， ,0）、F（，1,0）、21 1— 1 1G(1,0，L)由此得:GE=(0 --)FE=(-,--0)\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 .. , —4?设平面的法向量为n=（x,y,乙）由n1GE及n1fe可得• 1 1n•GE=y一z=02 2— ■ 11n•FE=x一y=02 2令y=1取平面的一个法向量为n=（1,1,1）评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。法向量的应用举例:AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的例题4.在长方体ABCD—A1B1C1DAB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的解如图2,建立空间直角坐标系.依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）.・.・Q（2，2，0），D（0，4，0），・•・AQ=（2,2,-2）,QD=（-2,20）.面AA1D的法向量7=（1,0,0）.设面A]DQ的法向量n=（a,a,a），

n•AQ=n•AQ=2a+2a—2a=0,- 1 一 一 一n•QD=—2a+2a=0,・・n=(a,a,2a)-・・cos<n,n>=——1-—2nn・・cos<n,n>=——1-—2nn12n-n1.斥—6二面角的平面角为锐角・・・二面角A—A1D—Q的大小为arccos?评析(1)用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找一一证一一求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力，达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。(2)此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令a=—1，则n=(—1,—1,—2)，・cos<n,n>=一^6，・.二面角A—AD—Q1 2 1'2 6 1的大小是<n,n>=n-arccos^6的补角arccos^。所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。评析上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的，所以它们的夹角就等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向，就可以解决直观不能判断二面角的锐或钝的情况。将向量引入中学数学