向量自回归和联立方程

向量自回归和联立方程

传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回归模型(vectorautoregression，VAR)和联立方程就是非结构化的多方程模型。1

向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。§1.1向量自回归理论

2

VAR(p)模型的数学表达式是

(1.1.1)其中：yt是k维内生变量列向量，xt是d维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。k

k维矩阵

1，…，

p和k

d维矩阵H是待估计的系数矩阵。

t

是k维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边的变量相关，假设

是

t

的协方差矩阵，是一个(k

k)的正定矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为

1.1.1VAR模型的一般表示

3(1.1.2)

即含有k个时间序列变量的VAR(p)模型由k个方程组成。4其中，ci,

aij,bij是要被估计的参数。也可表示成：例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：5一般称式(1.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestrictedVAR)。冲击向量

t是白噪声向量，因为

t没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。

为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变量的非限制向量自回归模型，用下式表示

或其中:(9.1.5)6

如果行列式det[

(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5)满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均(VMA(∞))形式

(9.1.6)其中

7对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对

矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得

矩阵的估计量为

(9.1.7)

其中：当VAR的参数估计出来之后，由于

(L)A(L)=Ik，所以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。8

由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量

t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不要求非常严格。9例9.1我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影响和短期影响及其贡献度，采用我国1995年1季度～2007年4季度的季度数据，并对变量进行了季节调整。设居民消费价格指数为CPI_90(1990年1季度=1)、居民消费价格指数增长率为CPI、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)为ln(gdp)

、实际M1的对数ln(M1/CPI_90)为ln(m1)

和实际利率rr(一年期存款利率R-CPI）。

10利用VAR(p)模型对

ln(gdp)

，

ln(m1)和rr，3个变量之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。11EViews软件中VAR模型的建立和估计

1．建立VAR模型

为了创建一个VAR对象，应选择Quick/EstimateVAR…或者选择Objects/Newobject/VAR或者在命令窗口中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：12

可以在对话框内添入相应的信息：

(1)选择模型类型（VARType）：无约束向量自回归（UnrestrictedVAR）或者向量误差修正（VectorErrorCorrection）。无约束VAR模型是指VAR模型的简化式。

(2)在EstimationSample编辑框中设置样本区间

13

(3)输入滞后信息在LagIntervalsforEndogenous编辑框中输入滞后信息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对14表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式右端的变量。也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如：24691212即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。14

(4)在EndogenousVariables编辑栏中输入相应的内生变量

(5)在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量EViews允许VAR模型中包含外生变量，其中xt

是d维外生变量向量,k

d维矩阵H是要被估计的系数矩阵。可以在ExogenousVariables编辑栏中输入相应的外生变量。系统通常会自动给出常数c作为外生变量。其余两个菜单（Cointegration和Restrictions）仅与VEC模型有关，将在下面介绍。15

2．VAR估计的输出VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：16

表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号中)。例如，在D(log(M1_SA_P))的方程中RR_SA(-1)的系数是-0.002187。同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输出的底部：17

输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，并显示在对应的列中。

输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。18残差的协方差的行列式值(自由度调整)由下式得出：其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数，不做自由度调整的残差协方差行列式计算中不减m。是k维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值：

AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。

19例9.1结果如下：

尽管有一些系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶数为2。3个方程拟合优度分别为：

可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。20

同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei

表示第i个方程的残差，i

=1，2，3。其结果如表9.1所示。

表9.1残差的同期相关矩阵

e1e2e3e110.36-0.4e20.3610.15e3-0.40.15121

从表中可以看到实际利率rr、实际M1的

ln(m1)方程和实际GDP的

ln(gdp)方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进一步表明实际利率、实际货币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期影响关系。22

无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍关于VAR模型的各种检验。

9.3.1Granger因果检验

VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969)提出，Sims(1972)推广的如何检验变量之间因果关系的方法。9.3VAR模型的检验和过程

23

1.Granger因果关系的定义

Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由xGranger引起的”。

考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：

(9.3.1)24

这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。Granger因果定义：如果关于所有的s>0，基于(yt，yt-1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt，xt-1，…)两者得到的yt+s的均方误差相同，则y不是由xGranger引起的。对于线性函数，若有可以得出结论：x

不能Granger引起y。等价的，如果(9.3.2)式成立，则称x对于y是外生的。这个意思相同的第三种表达方式是x关于未来的y无线性影响信息。

(9.3.2)25注意到“xGranger引起y”这种表达方式并不意味着y是x的效果或结果。Granger因果检验度量对y进行预测时x的前期信息对均方误差MSE的减少是否有贡献，并以此作为因果关系的判断基准。用和不用x的前期信息相比，MSE无变化，称x在Granger意义下对y无因果关系，反之，当x的前期信息对MSE的减少有贡献时，称x在Granger意义下对y有因果关系。

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可以将上述结果推广到k个变量的VAR(p)模型中去，考虑对模型(9.1.5)，利用从(t-1)至(t-p)期的所有信息，得到yt的最优预测如下：

(9.3.3)VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形，可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广，对多个变量的组合给出如下的系数约束条件：在多变量VAR(p)模型中不存在yjt到yit的Granger意义下的因果关系的必要条件是(9.3.4)其中是的第i行第j列的元素。27

2.Granger因果关系检验

Granger因果关系检验实质上是检验一个变量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。一个变量如果受到其他变量的滞后影响，则称它们具有Granger因果关系。28在一个二元p阶的VAR模型中

(9.3.5)

当且仅当系数矩阵中的系数全部为0时，变量x不能Granger引起y，等价于变量x外生于变量y。29这时，判断Granger原因的直接方法是利用F-检验来检验下述联合检验：

H0:

H1:至少存在一个q使得

其统计量为

(9.3.6)如果S1大于F的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起

y。

30其中：RSS1是式(9.3.5)中y方程的残差平方和：(9.3.7)RSS0是不含x的滞后变量，即如下方程的残差平方和：

(9.3.8)则有

(9.3.9)31

在满足高斯分布的假定下，检验统计量式(9.3.6)具有精确的F分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的VAR模型，一个渐近等价检验可由下式给出：(9.3.10)

注意，S2服从自由度为p的

2分布。如果S2大于

2的临界值，则拒绝原假设；否则接受原假设：x不能Granger引起y。

而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后长度p的选择有关。

32在EViews中Granger因果检验的操作

选择View/LagStructure/PairwiseGrangerCausalityTests，即可进行Granger因果检验。

33

输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的

2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验所有滞后内生变量联合显著的

2统计量。对例9.1进行检验，其结果如右表显示：34

同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果检验，但是需要先确定滞后阶数，具体统计量的构造可依据9.3节的介绍，将例9.1的3个时间序列构造成组，在组中进行检验可得如下结果：35

为了使两个结果具有可比性，选择了相同的滞后阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样，在VAR中用的是

2统计量，而在Group中使用的是F统计量。但是含义是一样的。

36

例9.3Granger因果检验早期研究发现，在产出和货币的单方程中，货币对于产出具有显著Granger影响(Granger，1969)，这同Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成分正相关”的结论相符。但是，Sims(1980)对于“货币冲击能够产生实际效果”的观点提出了质疑，他通过使用变量之间的因果关系检验，得到的主要结论是：如果在实际产出和货币的关系方程当中引入利率变量，那么货币供给对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此，动态的利率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力，这样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。37

根据实际情况，利用例9.1的数据，基于VAR(3)模型检验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显著的Granger关系，其结果如表9.2所示。原假设

2统计量自由度P值r