2021新编课件-新教材苏教版高中数学必修第一册第五章函数概念与性质-教学课件

5.1函数的概念和图象5.2函数的表示方法P515.3.1函数的单调性P1015.3.2函数的最大(小)值P1375.4函数的奇偶性P169第五章函数概念与性质课标阐释思维脉络1.能用集合语言与对应关系刻画出函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)2.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域和值域.(数学运算)3.会画简单函数的图象,并能解决相关问题.(直观想象)情境导入某物体从高度为44.1m的空中自由下落,物体下落的距离s(单位:m)与所用时间t(单位:s)的平方成正比,这个规律用数学式子可以描述为s=gt2,其中g取9.8m/s2.时间t和物体下落的距离s有何限制?时间t(0≤t≤3)确定后,下落的距离s确定吗?下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗?知识点拨一、函数的概念

定义给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值组成的集合{y|y=f(x),x∈A}名师点析

1.特殊性:定义中的集合A,B必须是两个非空的实数集;2.任意性:A中任意一个数都要考虑到;3.唯一性:每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应;4.方向性:A→B.微思考

f(x)与f(a)有何区别与联系?提示

f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.微练习

A.{x|x≤2或x≥3}B.{x|x≤-3或x≥-2}C.{x|2≤x≤3}D.{x|-3≤x≤-2}答案

A解析

由题意可得x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.因此,函数y=f(x)的定义域为{x|x≤2或x≥3}.故选A.二、同一个函数由函数定义可知,虽然两个函数的表达形式不同,但如果其对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数.名师点析

1.定义域不同,两个函数就不同;2.对应关系不同,两个函数也是不同的;3.即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数,因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系,如y=x与y=2x的定义域和值域都为R,但它们的对应关系不同,所以是两个不同的函数;4.因为函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是无关紧要的,如f(t)=3t+4与f(x)=3x+4表示同一个函数.微练习

下列各组函数是同一个函数的是(

)答案

B三、函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f(x0)作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x,f(x))|x∈A},即{(x,y)|y=f(x),x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象.微练习

画出函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象,并根据图象写出函数的值域.解函数y=-2x+1,x∈[0,2]的图象如图所示,由图象可知,y=-2x+1,x∈[0,2]的值域为[-3,1].探究一函数的概念例1(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.①A=N,B=N*,对应关系f:对集合A中的元素取绝对值→B中元素;②A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈A,y∈B;③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应关系f:x→y=x2,x∈A,y∈B;④A={三角形},B={x|x>0},对应关系f:对A中元素求面积→B中元素.(2)下列各组函数是同一个函数的是(

)④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.A.①② B.①③C.③④ D.①④(1)解

①对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.②对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.③对于A中的任一元素,在对应关系f的作用下,B中都有唯一的元素与之对应,如±1对应1,±2对应4,所以是函数.④集合A不是实数集,故不是函数.(2)答案

C④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应关系也相同,故是同一个函数.由上可知是同一个函数的是③④.故选C.反思感悟判断对应关系是否为函数的两个条件(1)A,B必须是非空实数集.(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应,对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.变式训练1(2020江西南康中学月考)下列各组函数表示同一个函数的是(

)答案

C探究二求函数的定义域例2求下列函数的定义域:解

(1)当且仅当x-2≠0,即x≠2时,所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.解得x>-1且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}.延伸探究1在本例(3)条件不变的前提下,求函数y=f(x+1)的定义域.解

由1≤x+1≤3得0≤x≤2.所以函数y=f(x+1)的定义域为[0,2].反思感悟求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.A.[-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.[-1,0)∪(0,+∞) D.R答案

C探究三函数图象的画法及应用例3作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3};(2)y=,x∈[2,+∞);(3)y=x2+2x,x∈[-2,2).解

(1)函数图象只是四个点(0,0),(1,-1),(-2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.描点作出图象,如图所示.(2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,函数图象如图所示,观察图象可知其值域为(0,1].(3)画出图象如图所示,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x<2之间的部分.由图可得函数的值域为[-1,8).反思感悟描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.变式训练3画出下列函数的图象:(1)y=x+1(x≤0);(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).解

(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1).(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线,如图(2).探究四求函数的值域例4已知函数y=x2+2x-3,分别求它在下列区间上的值域.(1)R;(2)[0,+∞);(3)[-2,2];(4)[1,2].解

(1)∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴ymin=-4,∴当x∈R时,函数的值域为[-4,+∞).(2)y=x2+2x-3的图象如图所示.当x=0时,ymin=-3.∴当x∈[0,+∞)时,函数的值域为[-3,+∞).(3)根据图象可得,当x=-1时,ymin=-4;当x=2时,ymax=5.∴当x∈[-2,2]时,函数的值域为[-4,5].(4)根据图象可得,当x=1时,ymin=0;当x=2时,ymax=5.∴当x∈[1,2]时,函数的值域为[0,5].反思感悟求函数的值域是一个比较复杂的问题(因为它和求函数的最大值和最小值紧密相连),无论用什么方法求函数的值域都要考虑函数的定义域.(1)当函数的解析式给出时,函数的值域是由函数的定义域及其对应关系唯一确定的.常用的方法有:①观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.②配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,将解析式配成完全平方的形式,再求函数的值域.③换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,进而利用基本函数的取值范围求函数的值域.⑤判别式法:将函数视为关于自变量的二次函数,利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围,常用于“分式”函数、“无理”函数等,使用此法要特别注意自变量的取值范围.(2)当函数是根据实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义决定.变式训练4求下列函数的值域:素养形成求抽象函数的定义域典例

已知函数f(x-1)的定义域为[-2,3],则函数f(2x+1)的定义域为(

)A.[-1,9] B.[-3,7] C.[-2,1] D.[-2,]解析

∵函数y=f(x-1)的定义域为[-2,3],∴-2≤x≤3,-3≤x-1≤2.答案

D点评注意到f(x),f(φ(x)),f(h(x))中的x,φ(x),h(x)的范围相同,这是求解抽象函数定义域的关键.当堂检测1.下列表示的是y关于x的函数的是(

)A.y=x2 B.y2=xC.|y|=x D.|y|=|x|答案

A解析

结合函数的定义可知A正确,故选A.2.(2020江西贵溪实验中学期中)f(x)定义域A={x|0≤x≤3,x∈Z},则f(x)=-2x2+6x的值域为(

)答案

D解析

因为A={x|0≤x≤3,x∈Z}={0,1,2,3},f(x)=-2x2+6x,所以f(0)=0,f(1)=4,f(2)=4,f(3)=0,故值域为{0,4}.故选D.3.下列函数与函数y=x是同一个函数的是(

)答案

D4.(2020浙江丽水月考)设f(x)=|x-1|-|x|,则f(f())=

.

答案

1答案

[4,5)∪(5,+∞)6.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的值域.解

(1)f(x)的图象如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].5.2函数的表示方法课标阐释思维脉络1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.(数学抽象)2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.(数学运算)情境导入(1)已建成的京沪高速铁路总长约1318千米,设计速度目标值380千米/时,若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫作该函数的解析式.(2)如图是我国人口出生率变化曲线:(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表

污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01根据初中所学知识,请判断问题(1)(2)(3)分别是用什么方法表示函数的.知识点拨一、函数的表示方法1.列表法:用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.2.解析法:用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式.3.图象法:用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.名师点析

三种表示方法的优、缺点比较

表示方法优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系;②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法直观、形象地表示出函数的变化情况,有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值,有时误差较大微思考

任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗?提示

不一定.并不是所有的函数都可以用解析法表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.微练习

二次函数的图象的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,则二次函数的解析式可以为(

)C.y=4x2-16 D.y=-4x2+16答案

B解析

把点(0,-1)代入四个选项可知,只有B正确.二、分段函数1.定义在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式.像这样的函数,通常叫作分段函数.2.分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分段函数的图象.名师点析

1.分段函数是一个函数而不是几个函数.解决分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系.2.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段自变量取值范围的交集为空集.3.分段函数的值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集.4.作分段函数的图象时,应根据不同定义域上的解析式分别作出,再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象.5.分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且指明各段函数自变量的取值范围.微练习

1A.R

B.[0,2]∪{3}C.[0,+∞) D.[0,3]答案

B解析

当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}.故选B.微练习

2答案

0解析

∵f(4)=-4+3=-1,f(-1)=-1+1=0,∴f(f(4))=f(-1)=0.探究一函数表示法的选择例1某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解

①列表法如下:x/台12345y/元3

0006

0009

00012

00015

000x/台678910y/元18

00021

00024

00027

00030

000②图象法:如图所示.③解析法:y=3

000x,x∈{1,2,3,…,10}.反思感悟列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意:①解析法必须注明函数的定义域;②列表法选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;③图象法要注意是否连线.变式训练1下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.测试序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次王某988791928895张某907688758680赵某686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6(1)选择合适的方法表示测试序号x与成绩y的关系;(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.解

(1)不能用解析法表示,用图象法表示为宜.在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下:(2)王某的数学成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张某的数学成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大.赵某的数学成绩低于班级平均水平,但他的成绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩在稳步提高.探究二函数解析式的求法(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=

;

(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=

.

(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,(3)由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,延伸探究1把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x”,求f(x)的解析式.解

设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1得c=1.又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1,所以f(x+1)-f(x)=2ax+a+b.解得a=1,b=-1.所以f(x)=x2-x+1.延伸探究2把本例(3)的题干改为“函数f(x)对于任意的x都有2f()+f(x)=x(x≠0)”,求f(x)的解析式.反思感悟求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.(3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.(4)方程组法:当同一个对应关系中出现两个变量之间互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.答案

f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞)所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞).探究三分段函数的求值问题(2)若f(a)=3,求实数a的值.(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.∴(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3.∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.反思感悟1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知函数值求自变量取值的步骤(1)先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入到不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.答案

8∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8.探究四分段函数的图象及应用(1)用分段函数的形式表示f(x);(2)画出f(x)的图象;(3)写出函数f(x)的值域.(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).延伸探究在本例条件不变的情况下,试讨论直线y=a与函数y=f(x)图象的交点个数.解

①当a≥3或a<1时,y=a与y=f(x)的图象无交点;②当1<a<3时,y=a与y=f(x)的图象有且只有一个交点;③当a=1时,y=a与y=f(x)的图象有无数个交点.反思感悟分段函数图象的画法作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意分段点、连接点处点的虚实,保证不重不漏.变式训练4对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R),求f(x)的最小值.解

在同一平面直角坐标系中分别画出y=|x+1|和y=|x-2|的图象,如图所示.依题意,得函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}该函数的图象为图中的实线部分.∴f(x)的最小值为图中P点的纵坐标.素养形成

解

过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2cm,所以BG=AG=DH=HC=2

cm.又BC=7

cm,所以AD=GH=3

cm.函数图象如图所示.点评当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.当堂检测答案

C解析

因为f(0)=a,代入分段函数中可得0+2=a,得a=2,所以f(a)=f(2)=.故选C.2.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是(

)A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4答案

A解析

令x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1.∴f(x)=3x-1.3.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于(

)x12345y45321A.1 B.2 C.4 D.5答案

B解析

由题表可知f(1)=4,∴f(f(1))=f(4)=2.4.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为

.

解析

当0≤x<1时,f(x)=-1;当1≤x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),5.f(x)的图象如图所示,则f(x)的值域为

.

答案

[-4,3]解析

由函数的图象可知,f(x)的值域为[-2,3]∪[-4,2.7],即[-4,3].(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)的定义域和值域.解

(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].5.3.1函数的单调性课标阐释思维脉络1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(直观想象)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理)3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算)情境导入德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8~9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?知识点拨一、增函数与减函数

条件设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)结论那么称y=f(x)在区间I上是增函数,I称为y=f(x)的增区间那么称y=f(x)在区间I上是减函数,I称为y=f(x)的减区间图示名师点析

增(减)函数定义中的x1,x2的特征(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.这三个条件缺一不可.微练习

1下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(

)A.y=-

B.y=xC.y=x2 D.y=1-x答案

D解析

函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D.微练习

2已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根(

)A.有且只有一个 B.有两个C.至多一个

D.以上均不对答案

D解析

因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),反之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.二、函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间.名师点析

1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义域内的局部性质.2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用“和”连接,不能用“并”或“且”连接.微思考

函数y=在定义域上是减函数吗?提示

不是.y=在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.微练习

函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是(

)A.[-4,4]

B.[-4,-3]和[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]答案

B解析

由图可知,函数y=f(x)的减区间为[-4,-3]和[1,4].故选B.探究一函数单调性的判断与证明例1证明函数f(x)=x+在(0,1)上是减函数.证明

设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2,∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴f(x)=x+在(0,1)上是减函数.反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+∞)上是减函数.因为1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是减函数.探究二求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.(3)f(x)=-x2+2|x|+3.解

(1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[-1,0],[0,1],[1,+∞).f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.反思感悟1.求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解;(2)利用函数的图象,如本例(3).2.若所求出函数的增区间或减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”或“和”连接,如本例(3).变式训练2(1)根据图象说出函数在每一单调区间上,是增函数还是减函数;(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.解

(1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数.(2)先画出则y=|x2-2x-3|的减区间为(-∞,-1],[1,3];增区间为[-1,1],[3,+∞).探究三函数单调性的综合应用例3已知函数f(x)=x2+ax+b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性,求实数a的取值范围.解

(1)∵f(x)=x2+ax+b过点(1,4)和(2,5),(2)由f(x)在区间[1,2]上不具有单调性可知1<-<2,即-4<a<-2.故实数a的取值范围为(-4,-2).延伸探究把本例(2)条件“不具有单调性”改为“具有单调性”,求实数a的取值范围.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上具有单调性,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也具有单调性.变式训练3已知函数g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),求实数x的取值范围.解

∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且g(2x-3)>g(5x+6),∴2x-3>5x+6,即x<-3.故实数x的取值范围为(-∞,-3).素养形成抽象函数的单调性抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.判断抽象函数单调性的方法:1.凑:凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;2.赋值:给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.典例

已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0<x<1时,f(x)>0,判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出理由.解

f(x)在(0,+∞)上是减函数.理由如下,设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个值,且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.点评一般地,若给出的抽象函数的性质为“f(x+y)=…”,则称这类抽象函数为“和型抽象函数”,研究“和型抽象函数”的单调性的基本方法是将x拆成两个数的和“(x-y)+y”,利用所给的性质及条件,即可确定其单调性;类似地,“积型抽象函数”(即“f(xy)=…”)只需将x拆成两个数的积“x=y·(y≠0)”即可.当堂检测1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是(

)A.函数在区间[-5,-3]上是增函数B.函数在区间[1,4]上是增函数C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上是减函数D.函数在区间[-5,5]上没有单调性答案

C解析

由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上是减函数,单调区间不可以用并集“∪”连接,故选C.2.函数f(x)在R上是减函数,则有(

)A.f(3)<f(5)

B.f(3)≤f(5)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)答案

C解析

∵3<5,且f(x)在R上是减函数,∴f(3)>f(5).3.(2020北京北理工附中期中)下列函数在区间(0,+∞)上为增函数的是(

)答案

B对于C,函数y=(x-1)2+1在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故C错误;对于D,函数y=-x2在(0,+∞)上是减函数,故D错误.故选B.4.(2020浙江宁波高二期中)已知函数f(x)在R上是减函数,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是

.

答案

(-∞,3)解析

由f(2)=-1知,若满足f(2x-4)>-1,则f(2x-4)>f(2).又函数f(x)在R上是减函数,则2x-4<2,解得x<3,所以实数x的取值范围为(-∞,3).5.已知函数f(x)=(k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是

.

答案

(-∞,0)解析

结合反比例函数的单调性可知k<0.5.3.2函数的最大(小)值课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学建模)情境导入请同学们认真观察一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图象,在它们的图象上是否存在最高点或最低点?显然,一次函数f(x)=x的图象上不存在最高点,也不存在最低点.二次函数f(x)=x2的图象上不存在最高点,但存在最低点(0,0),即坐标原点.即当一个函数f(x)的图象有最低点时,我们就说函数f(x)有最小值;而一次函数f(x)=x的图象没有最低点,所以函数f(x)=x没有最小值.你能用数学语言描述函数最小值的定义吗?知识点拨函数最大值与最小值

最大值最小值条件设y=f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)结论那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0)那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0)几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标名师点析

函数最大(小)值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最大(小)值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最大(小)值存在,则最大(小)值一定是值域中的元素,例如:函数f(x)=x2对任意的x∈R,都有f(x)≥-1,但是f(x)的最小值不是-1,因为-1不在f(x)的值域内.微思考

若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗?提示

不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.微练习

1已知函数f(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案

C解析

由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.微练习

2函数f(x)=,x∈[1,2],则f(x)的最大值为

,最小值为

.

探究一利用函数的图象求函数的最大(小)值(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象;(2)根据函数的图象写出函数的单调区间、最大值、最小值.解

(1)f(x)的图象如图所示.(2)由图可知f(x)的增区间为[-1,0],[2,5],减区间为[0,2],最大值为3,最小值为-1.反思感悟利用图象求函数最大(小)值的方法(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)观察图象,找出图象的最高点(最低点);(3)写出最大(小)值,最高点的纵坐标是函数的最大值(最低点的纵坐标是函数的最小值).变式训练1函数y=f(x),x∈[-2,2]的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为(

)答案

C探究二利用函数的单调性求最大(小)值(1)判断函数在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.解

(1)f(x)在(-1,+∞)上为增函数,证明如下,任取-1<x1<x2,因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-1,+∞)上为增函数.(2)由(1)知f(x)在[2,4]上为增函数,反思感悟函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.变式训练2求函数f(x)=x+在[1,4]上的最大值和最小值.∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上是减函数.同理f(x)在[2,4]上是增函数.∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5.探究三二次函数的最大(小)值问题例3已知函数f(x)=x2-ax+1,求f(x)在[0,1]上的最大值.综上,当a≤1时,f(x)在[0,1]上的最大值为2-a;当a>1时,f(x)在[0,1]上的最大值为1.延伸探究在本例条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值.综上,当a≤0时,f(x)在[0,1]上的最小值为1;当0<a<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为1-;当a≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为2-a.反思感悟二次函数“轴动区间定”问题的求解策略“轴动区间定”型的问题,对于对称轴的位置变化情况必须进行分类讨论,其分类标准为对称轴与x轴交点横坐标在给定区间内变化;对称轴与x轴交点横坐标在给定区间外变化.若对称轴与x轴交点横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.变式训练3求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值与最小值.解

y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上是增函数,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在[0,2]上是减函数,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.素养形成函数最大(小)值的实际应用解决函数应用题的基本思路典例

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式.(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解

(1)当0<x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.(2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,当x=16时,ymax=156.而当x>20时,160-x<140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润,最大年利润为156万元.点评解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.当堂检测A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不对答案

A解析

当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当-1≤x<1时,6≤x+7<8,∴f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10.故选A.答案

B3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(

)A.[0,3] B.[-1,0]C.[-1,+∞) D.[-1,3]答案

D解析

∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值-1,当x=3时,函数取得最大值3,故函数的值域为[-1,3],故选D.4.函数f(x)=x2-4x+3,x∈[1,4],则f(x)的最大值为

.

答案

3解析

由题意,函数f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=4时,f(x)取最大值f(4)=3.5.函数y=ax+1在区间[1,3]上的最大值为4,则a=

.

答案

1解析

若a<0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上是减函数,并且在区间的左端点处取得最大值,即a+1=4,解得a=3,不满足a<0,舍去;若a>0,则函数y=ax+1在区间[1,3]上是增函数,并且在区间的右端点处取得最大值,即3a+1=4,解得a=1.综上,a=1.6.已知函数f(x)=(x∈[2,6]).(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.解

(1)函数f(x)在[2,6]上是减函数.设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),5.4函数的奇偶性课标阐释思维脉络1.理解奇函数、偶函数的定义.(数学抽象)2.了解奇函数、偶函数图象的特征.(直观想象)3.掌握判断函数奇偶性的方法.(逻辑推理)情境导入在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……上面图片中哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?知识点拨函数的奇偶性

奇偶性偶函数奇函数条件设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有-x∈A结论f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称名师点析

1.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.2.要特别注意定义中的“任意”两个字,“任意”是指对于定义域中的所有互为相反数的自变量,它们的函数值全部互为相反数或相等.3.奇偶性是函数在整个定义域内的性质,仅在定义域的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的.4.若奇函数y=f(x)的定义域内包括0,则f(0)=0.微思考

具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?提示

定义域关于原点对称.微练习

1函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于(

)A.-1

B.0C.1 D.无法确定答案

C解析

∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.微练习

2若f(x)为R上的偶函数,且f(2)=3,则f(-2)=

.

答案

3解析

∵f(x)为R上的偶函数,∴f(-2)=f(2)=3.探究一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:解

(1)函数的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.于是有f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.反思感悟判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:(2)图象法:变式训练1下列函数是偶函数的有

.(填序号)

答案

②③

解析

对于①,f(-x)=-x3=-f(x),则为奇函数;对于②,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),则为偶函数;对于③,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,对于④,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=-x-=-f(x),则为奇函数;对于⑤,定义域为[-1,2],不关于原点对称,不具有奇偶性,则既不是奇函数又不是偶函数.探究二利用函数的奇偶性求值或求参数C.1 D.无法确定(2)已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=

.

答案

(1)B

(2)7解析

(1)由题意可知2b-5+2b-3=0,即b=2.又f(x)是奇函数,故f(-x)+f(x)=0,∴2ax2+2c=0对任意x都成立,则a=c=0,(2)令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,则g(x)是奇函数,∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2,又f(-3)=-3,∴g(3)=5.又f(3)=g(3)+2,∴f(3)=5+2=7.延伸探究1把本例(1)的条件改为“f(x)=ax2+bx+b+1是定义在[a-1,2a]上的偶函数”,求f()的值.延伸探究2把本例(2)的条件“f(-3)=-3”换为“f(d)=10”,求f(-d)的值.解

令g(x)=x7-ax5+bx3+cx,易知g(x)为奇函数,∴f(d)=g(d)+2=10,即g(d)=8.∴f(-d)=g(-d)+2=-g(d)+2=-8+2=-6.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解.变式训练2已知f(x)=是奇函数,则实数a的值为(

)A.1 B.-1 C.0 D.±1答案

A探究三利用奇偶性求解析式例3(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式;(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.解

(1)设x<0,则-