最小二乘配置

最小二乘配置

概述应用背景数学模型公式推导精度估计应用举例授课内容概述

最小二乘配置起源于根据最小二乘推估来内插和外推重力异常的课题。1969年，克拉鲁普把推估重力异常的方法发展为用不同类型的数据，例如重力异常、垂线偏差等，去估计重力异常场中的任一元素，例如扰动位、大地水准面差距等，提出了最小二乘配置法。莫里兹对最小二乘配置进行了系统深入的研究，提出了带系统参数的最小二乘配置，并概述了这种方法在大地测量其它方面的应用。最小二乘配置还在航空摄影测量、坐标系统变换、GPS水准拟合、形变测量等方面得到应用。

最小二乘配置，在两方面扩展了最小二乘平差的数学模型：第一，参数分为非随机参数和随机参数两种。非随机参数不具有验前统计特性，随机参数具有验前统计特性。习惯上，将随机参数称为信号。第二，信号分为观测点信号和未测点信号。所谓未测点信号，是指在观测方程中不出现的信号。概述背景0 2.0831 3.5482 4.4893 5.3184 7.2905 10.1626 8.7997 12.2848 15.1259 16.18610 16.78211 18.88412 19.83813 21.93614 21.05015 25.03616 26.21817 28.02318 30.55519 32.083x f(x)背景0 2.0831 3.5482 4.4893 5.3184 7.2905 10.1626 8.7997 12.2848 15.1259 16.18610 16.78211 18.88412 19.83813 21.93614 21.05015 25.03616 26.21817 28.02318 30.55519 32.083x f(x)应用背景直线方程：应用背景直线方程：应用背景应用背景应用背景应用背景真实模型：采用的平差模型：改进的平差模型：一般情况：误差方程应用背景说明：一般情况：误差方程数学模型1、最小二乘配置的函数模型（1）

第一类：非随机或者先验性质未知的，或已知而不考虑其随机性质的，称为参数（倾向参数）第二类：已知其先验统计性质，且求其估值时需要顾及的，称之为信号。信号又分为已测点信号和未

测点信号。数学模型1、最小二乘配置的函数模型（2）（3）（1）数学模型1、最小二乘配置的函数模型（1）最小二乘配置模型转化为最小二乘参数平差模型。这种仅有随机参数的模型称为最小二乘参数滤波与推估模型。滤波：根据上式求已测点信号S推估：根据上式求未测点信号S′数学模型1、最小二乘配置的函数模型（1）

最小二乘平差和最小二乘滤波和推估都可以作为最小二乘配置的特例。数学模型1、最小二乘配置的函数模型（1）2、最小二乘配置的随机模型观测误差仅含偶然误差，信号验前值为0权矩阵满秩,对称正定信号方差协方差，信号之间是相关的观测值与信号独立观测值的方差-协方差阵特别强调：观测值的方差-协方差矩阵与经典平差不同。数学模型3、解析意义公式推导（1）（2）式中因Y是随机量，估值准则：（按这个估值准则，得到的信号实际上是信号改正数）公式推导（1）（2）式中因Y是随机量，估值准则：极值函数：求导，令其为零：公式推导（1）（2）（3）（4）（5）（3）、（4）代入（2）公式推导（1）（2）（3）（4）（5）（3）、（4）代入（2）（7）（6）由（6）式，得（8）代入（3）、（4），得（8）（9）（10）公式推导（7）（6）由（6）式，（8）代入（3）、（4），得（8）（9）（10）顾及得信号的估值公式推导公式汇集：分析：公式推导公式汇集：分析：精度估计公式汇集：精度估计：精度估计公式汇集：精度估计：精度估计公式汇集：精度估计：精度估计公式汇集：最小二乘配置的主要目的是估计未测点的完全信号信号的协方差函数

合理的协方差函数确定一直是最小二乘配置中的关键问题。在确定协方差函数时，一定要关注所研究对象的几何和物理特性，因为这种特性决定了我们所研究对象内部的相关性，而如何正确反映这种相关性正是协方差函数一直追求的目标，因此一定要具体情况具体分析，根据其特性选择合适的方法。

信号可以看做是平稳随机过程的一个实现（观测值），可以用随机过程的协方差函数来描述。信号的协方差函数1.平稳随机过程(1)随机过程X（t）中各随机变量的期望相等，不随时间或者位置变化；(2)随机过程中不同时刻（位置）的两个量的协方差仅与时间间隔（距离）有关，而与起点无关。信号的协方差函数2.协方差函数估值无法严密求得，只能根据有限次抽样估计。如果已知X（t）的若干实现及其期望：信号的协方差函数3.协方差函数选择经验函数:计算步骤1.选择趋势面函数2.选择并计算已测点的方差-协方差3.计算确定性参数4.推估未测点的信号及完全信号估值5.精度评定应用举例5.坐标转换1.确定未测点的重力异常2.确定局部大地水准面(类似于重力异常)3.GPS水准4.地壳形变应用应用举例已知点（N个）未知点1.确定未测点的重力异常应用举例4.地壳形变应用网络工程基准站运动图像应用举例4.地壳形变应用中国大陆最小二乘配置计算结果运动图象应用举例已知点（N个）未知点5.坐标转换最小二乘配置程序设计算例算例

非随机参数估值:10.325220.9891

非随机参数估值的权逆阵:10.11362-0.02340.0081

已测点信号估值:10.23032-0.58783-0.29814-0.004850.2061

未测点信号估值:1-0.22212-0.55903-0.105240.1081

未测点的完全信号:10.817721.910233.793245.4358

未测点信号估值的权逆阵:10.103420.05320.056430.03430.03690.056440.00250.03430.05320.1034

未测点完全信号的权逆阵:10.01312-0.00240.012130.0015-0.00190.01214-0.00090.0015-0.00240.0131

观测值残差(V):1-0.055320.08043-0.017840.01575-0.0230算例半参数估计简介semi-parametricmodel

在测量数据的处理过程中，通常假定观测值中不含系统误差，或者所建立的数学模型不存在模型误差。但是，在实际问题中，这种与实际情况完全符合的模型几乎是不存在的。通常为了处理的方便，建立模型时只能考虑最主要的影响因素，以简单的线性函数关系来代替。因此，平差时建立的模型只能是实际问题的近似表达。为了更好地消除测量数据中存在系统误差，上个世纪八十年代提出了一种重要的统计模型，即偏线性回归模型（partiallinearmodel），又称半参数回归模型。

半参数估计简介semi-parametricmodel半参数函数模型误差方程α为平滑因子，R为正则矩阵估值准则与最小二乘配置比较半参数估计简介semi-parametricmodel半参数函数模型误差方程α为平滑因子，R为正则矩阵估值准则与最小二乘配置比较小结1、最小二乘配置的应用背景函数模型可以反映观测值与未知参数的大致规律但又不能精确描述二者的关系重力场数据推估，GPS水准，坐标转换，电离层预报，…..当模型不能确知时，想一想还有最小二乘配置。2、数学模型小结3、估值公式小结4、计算步骤小