因式分解经典题及解析(同名13182)

学习文档仅供参考学习文档仅供参考2013组卷1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法〔平方差公式和完全平方公式〕，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比方配方法．例如，如果要因式分解x2+2x-3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的方法：x2+2x-3=x2+2xxx1+12-1-3------(^=〔x+1〕2-22 ②—■■■解决以下问题：〔1〕填空：在上述材料中，运用了的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；〔2〕显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x-3；〔3〕请用上述方法因式分解x2-4x-5..请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和〔x2〕2+〔22〕2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4—x4+4x2+4-4x2-〔x2+2〕2-4x2—〔x2+2〕2-〔2x〕2—〔x2+2x+2〕〔x2-2x+2〕人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将以下各式因式分解．〔1〕x4+4y4；〔2〕x2-2ax-b2-2ab．.下面是某同学对多项式〔x2-4x+2〕〔x2-4x+6〕+4进行因式分解的过程.解：设x2-4x—y原式-〔y+2〕〔y+6〕+4〔第一步〕y2+8y+16〔第二步〕〔y+4〕2〔第三步〕[x2-4x+4〕2〔第四步〕答复以下问题：〔1〕该同学第二步到第三步运用了因式分解的.A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式〔2〕该同学因式分解的结果是否彻底.〔填“彻底”或“不彻底”〕假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.〔3〕请你模仿以上方法尝试对多项式〔x2-2x〕〔x2-2x+2〕+1进行因式分解..找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解〔在整数范围内〕的整数值a,并且将其进行因式分解．.利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数..已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为〔3x-2〕，试求m的值并将多项式因式分解．.已知多项式［a2+ka+25〕-b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程．.先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2〔x2+4x+5〕〔提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式〕=2〔x2+4x+22-22+5〕=2［〔x+2〕2+1］〔将二次多项式配方〕=2〔x+2〕2+2 〔去掉中括号〕因为当x取任意实数时，代数式2〔x+2〕2的值一定是非负数，那么2〔x+2〕2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x=-2时，原式有最小值2.请仿照上例，说明代数式-2x2-8x-10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么..老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；假设已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式..在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2〔x-1〕〔x-9〕，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2〔x-2〕〔x-4〕，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解..观察李强同学把多项式〔x2+6x+10〕〔x2+6x+8〕+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y,则原式=〔y+10〕〔y+8〕+1=y2+18y+81=〔y+9〕2=〔x2+6x+9〕2〔1〕答复以下问题：这位同学的因式分解是否彻底？假设不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果：.〔2〕仿照上题解法，分解因式：［x2+4x+1〕〔x2+4x-3〕+4..〔1〕写一个多项式，再把它分解因式〔要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解〕.〔2〕阅读以下分解因式的过程,再答复所提出的问题：1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2=〔1+x〕［1+x+x〔x+1〕】①=〔1+x〕2〔1+x〕②=〔1+x〕3③①上述分解因式的方法是，由②到③这一步的根据是;②假设分解1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2+...+x〔x+1〕2006,结果是；③分解因式：1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2+...+x〔x+1〕n〔n为正整数〕.13．阅读下面的材料并完成填空：因为〔x+a〕〔x+b〕=x2+〔a+b〕x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a-b=a+b=p,则有x2+px+q=〔x+a〕〔x+b〕．如分解因式x2+5x+6.解：因为2x3=6,2+3=5,所以x2+5x+6=〔x+2〕〔x+3〕.再如分解因式x2-5x-6.解：因为-6x1=-6,-6+1=-5,所以x2-5x-6=〔x-6〕〔x+1〕.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：〔1〕x2+7x+12；〔2〕x2-7x+12；〔3〕x2+4x-12；〔4〕x2-x-12.答案1.请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和〔x2〕2+〔22〕2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2〔x2+2〕2-4x2=〔x2+2〕2-〔2x〕2=〔x2+2x+2〕〔x2-2x+2〕人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理〃，请你依照苏菲•热门的做法，将以下各式因式分解.〔1〕x4+4y4；〔2〕x2-2ax-b2-2ab.考 因式分解-运用公式法.点：：专阅读型.题：分 这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.析：解解：〔1〕x4+4y4=x4+4x2y2+4y2-4x2y2,答：=〔x2+2y2〕2-4x2y2，=〔x2+2y2+2xy〕〔x2+2y2-2xy〕；〔2〕x2-2ax-b2-2ab，=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab，=〔x-a〕2-〔a+b〕2，=〔x-a+a+b〕〔x-a-a-b〕，=〔x+b〕〔x-2a-b〕.点此题考查了添项法因式分解，难度比较大．评：2.下面是某同学对多项式〔x2-4x+2〕〔x2-4x+6〕+4进行因式分解的过程.解：设x2-4x=y原式=〔y+2〕〔y+6〕+4〔第一步〕=y2+8y+16〔第二步〕=〔y+4〕2〔第三步〕=〔x2-4x+4〕2〔第四步〕答复以下问题：〔1〕该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式〔2〕该同学因式分解的结果是否彻底不彻底.〔填“彻底”或“不彻底”〕假设不彻底，请直接写出因式分解的最后结果〔x-2〕4.〔3〕请你模仿以上方法尝试对多项式〔x2-2x〕〔x2-2x+2〕+1进行因式分解.考提公因式法与公式法的综合运用．点：：专阅读型．题：分〔1〕完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；析：〔2〕x2-4x+4还可以分解，所以是不彻底.〔3〕按照例题的分解方法进行分解即可．解解：〔1〕运用了C,两数和的完全平方公式；答：〔2〕x2-4x+4还可以分解，分解不彻底；〔3〕设x2-2x=y.〔x2-2x〕〔x2-2x+2〕+1，=y〔y+2〕+1，=y2+2y+1，=〔y+1〕2，=〔x2-2x+1〕2，=〔x-1〕4．点此题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解评：答即可，难度中等．3.找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解〔在整数范围内〕的整数值a,并且将其进行因式分解．考 因式分解-十字相乘法等．点：：点此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式评：准确配方．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；假设已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．考提公因式法与公式法的综合运用．点：：专开放型．题：分能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项析：是两底数积的2倍．解解：由题意知，可以理解为：答：甲：这是一个关于x三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为X3;丙：这个多项式的各项有公因式X；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．故多项式可以为x〔x-1〕2=x〔x2-2x+1〕=x3-2x2+x.点此题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这评：个多项式．答案不唯一．.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2〔x-1〕〔x-9〕，而乙同学看错了常数项，而将其分解为2〔x-2〕〔x-4〕，请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.考因式分解的应用.点：：分 此题可以先将两个分解过的式子复原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项析：式，最后进行因式分解即可.解解：2〔x-1〕〔x-9〕=2x2-20x+18,2〔x-2〕〔x-4〕=2x2-12x+16；答：由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2-12x+18；再对其进行因式分解：2x2-12x+18=2〔x-3〕2.点 此题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待.评：.观察李强同学把多项式〔x2+6x+10〕〔x2+6x+8〕+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y,则原式=〔y+10〕〔y+8〕+1=y2+18y+81=〔y+9〕2=〔x2+6x+9〕2〔1〕答复以下问题：这位同学的因式分解是否彻底？假设不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：〔x+3〕4.〔2〕仿照上题解法，分解因式：［x2+4x+1〕〔x2+4x-3〕+4.考 因式分解-十字相乘法等．点：：专换元法.题：分 〔1〕根据x2+6x+9=〔x+3〕2,进而分解因式得出答案即可；析： 〔2〕仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.解解：〔1〕这位同学的因式分解不彻底，答： 原式=〔y+10〕〔y+8〕+1=y2+18y+81=〔y+9〕2=〔x2+6x+9〕2=〔x+3〕4.故答案为：〔x+3〕4；〔2〕设x2+4x=y,贝U原式二〔y+1〕〔y-3〕+4=y2-2y+1=〔y-1〕2=〔x2+4x-1〕2.点此题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题评：关键.11.〔1〕写一个多项式，再把它分解因式〔要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解〕.〔2〕阅读以下分解因式的过程,再答复所提出的问题：1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2=〔1+x〕［1+x+x〔x+1〕】①=〔1+x〕2〔1+x〕②=〔1+x〕3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数式的乘法法则；②假设分解1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2+...+x〔x+1〕2006,结果是 〔1+x〕2007；③分解因式：1+x+x〔x+1〕+x〔x+1〕2+...+x〔x+1〕n〔n为正整数〕.考 因式分解-提公因式法.点：：分 〔1〕根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子,答案不唯一；析：〔2〕首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案.解解：〔1〕m3-mn2=m[m2-n2〕=m〔m-n〕〔m+n〕，答：〔2〕①提公因式法，同底数幂的乘法法则；②根据①中可发现结论：〔1+x〕2007；③〔1+x〕n+1.点此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因评：式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．12．阅读下面的材料并完成填空：因为〔x+a〕〔