高等数学(上)总结

.大学课程教学总结课程名称：高等数学（AdvancedMathematics）教学单位：课程代码：微积分学（上）-----概括与总结第一、二章函数的极限与连续一、函数1、理解函数的概念(要求：会求定义域、对应法则、函数值)------函数的定义、分段函数、显函数：yf(x)，隐函数：F(x,y)0参数式函数、反函数（求法）、复合函数、基本初等函数与初等函..页脚.，.数2、掌握函数的几何性质1）．有界性：f(x)M（利用---定义、或闭区间上连续的有界性、或存在极限必有界-----判别）2）．奇偶性：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数（注意：奇偶的结合律）单调增：(),()xxfxfx21123）．单调性：单调减：(),()xxfxfx2121则在上为单调增fxa,b（注意利用-----若fx0fx0加（减少），则称最小正数l为f(x)的周期，f(x)为4）．周期性：若fxlfx周期函数。二、极限（重点-----极限、无穷大量与无穷小量的概念、求极限的方法）..页脚..1、极限的概念与性质1)函数与数列极限的定义（略）2）左右极限、极限存在的充要条件limfxA(存在）limfxlimfxA(存在）xx0xxxx00即--------------极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。3）极限的性质-----有界性、唯一性、保号性。2、无穷大量与无穷小量1)定义：若f(x)0，则称xxx时，f(x)为无穷小lim（或）0xx(x)0量limgx，则称xx0(x)若)，时，g（x）是无穷大xx（或x0量。2)无穷大与无穷小的关系：lim0lim,limlim1013）、极限与无穷小量的关系：limf(x)=Af(x)Alim0无穷小量的性质-----主要的：fx)0lim0,fx有界，lim（..页脚..4）无穷小的阶的比较定义：设,是同一种变化趋势下的无穷小,即lim0,lim0,则：（1）如果（2）如果（3）如果,就说是比高阶的无穷小,记作o；lim0lim,就说是比低阶的无穷小；,就说与是同阶无穷小；limc0（4）如果limc0，k0,就说是关于的k阶无穷小；k（5）如果,就说与是等价无穷小,记作～.lim1常见的等阶无穷小：x0时，sinx~x,ln(1+x)~x,tanx:x，。ex1:x3、求极限的主要方法1）极限运算法则2）左右极限存在且相等3）极限存在的准则（两边夹Th.（准则）、单调有界Th.（准则））4）无穷大与无穷小的关系、无穷小量的性质limsinx1lim(1)15）两个重要极限（、e）xxxx0x00fx6）洛必塔法则（）或型0limxx0gxf'x=limxx0g'x=A(或)。..页脚..三、连续1、函数连续的概念1）函数y=f（x）在x点连续的定义——（设y=f(x)在x点的某个00内有定义）邻域Ux0若limx0lim(f(x)x0fxfx)())（0或lim()则称f(x)在x点0())yxfx000xx0连续，x称为连续点。02）连续函数的定义-----若f(x)在(a,b)上点点都连续，则称f（x）是（a，b）上的连续函数。(a,b)称为f(x)的连续区间。若f(x)在a,b上连续，则还要求：limfxfa,(a点右连续）xalimfxfb,(b点左连续）xb3）间断点的分类第一类间断点（左、右极限存在的间断点）：limf(x)limf(x)有穷跳跃间断点可去间断点：limf(x)limf(x)f(x)(举例）xx0xx00xxxx00..页脚..第二类间断点（左、右极限至少一个不存在的间断点）无穷间断点(左、右极限至少一个是无穷的）振荡间断点2、连续函数的主要性质1）一切初等函数在其定义域对应的区间内连续一定2）连续与极限的关系：连续3）闭区间上连续函数的性质极限存在不一定若f(x)在[a,b]（1）、一定有界：|f(x)|M,x[a,b]（2）、一定存在最大值M和最小值m（最大和最小值Th.）。上连续，则（有界性Th.）。（3）、对于任一个u：muM，存在(a,b)使f()u（介值Th.）。（4）、如果f(a)f(b)0,那么在(a,b)内至少存在一点c，使f(c)（零点Th.）。=0第三章导数与微分一、导数与微分的概念..页脚..1、导数定义f(xx)f(x)1)f'(x)limx0xf(xx)f(x)x2）f'(x)limx0000fxxfxfxlimx000x0fxhfx导数定义的几种等价形式：limh000hlimfxfx0xxxx003）导数存在的充要条件是：左、右导数存在且相等，即f(xx)f(x)limf(x)f(x)f'(x)lim0（左导数）000xxx0x0xx0f(xx)f(x)limf(x)f(x)f'(x)lim0（右导数）000xxx0x0xx0'f'x（存在）f'xfx（存在）0002、导数的几何意义tg=曲线f(x)在点f'(x)limy处的切线的斜率0(x,y)x00x0因此,曲线在点的yf(x)(x,y)00切线方程为：yy0'0()(fxxx)0..页脚..1法线方程为：yy0(xx)0f'(x)03、微分的定义若Axoxyf(xx)f(x)增量微分dy==Axf'xdx4、连续、导数与微分的关系：一定可导不一定连续不一定不可导一定不连续连续不一定可导一定可微一定一定二、导数与微分基本公式）（导数）（微分）dc(c)'00d(x)x.dx1(x)'x1(sinx)'cosxdsinxcosx.dxdcosxsinxdxdtanxsec2xdxdcotxcsc2xdx(cosx)'sinx(tanx)(cotx)secx2''cscx2..页脚..(secx)'secx.tanx(cscx)'cscx.cotx(ax)ax.lnadsecxsec.tanxxdxdcscxcscx.cotxdxdaxax.lnadxdexexdxex(ex)'11(logx)xlnad(logx)xlnadxaa(lnx)1xd(lnx)1dxx11x211x2(arcsinx)d(arcsinx)dx11x211x2(arccosx)d(arccosx)dx11(arctanx)1x2d(arctanx)1x2dx11dx(arccotx)1x2d(arccotx)1x2三、导数与微分法则1、四则运算法则设uu(x),vv(x)均可导、可微，则u也可导、可微uv,cu,vu,(v0)vduvdudv且①(uv)'u'v'dcucdu②(cu)'cu'duvvduudv③(uv)'u'vuv'uu'vuv'vduudvud④()'vvvv22..页脚..ccv'ccdv⑤()'dvvv2v22、复合函数的微分法则（导数）若y=f(u),u=(x)均可导，则yfx也可导，且'y''fxfxx'dydydudxdudx或(微分)微分形式不变性：dfufudu'dfxf'xdxf'xxdx'的求导方法Fx,y03、隐函数方法一：复合求导法----方程两边对x求导，再解出y'方法二：微分法求导法----方程两边微分先出微分，再求导数4、对数求导法------先取对数后求导的方法5、高阶求导法-----一阶、一阶地求导，再找规律..页脚..xt6、参数方程确定的函数y=f(x)求导法12yt'd2y''1tttdydx'2dt'2---------y'2'dxdttdxtdxtt2'1'11t第四章微分中值定理与导数应用一、微分中值定理------费马Th.、罗尔Th.、拉格朗日Th.、柯西Th.、泰勒Th.1、若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则，罗尔fafbf'0(Th).至少存在一点a,b使fbfabafafb,(拉格朗日Th）f'a,b使一点.至少存在f'g'fbfa使,(柯西）Th.gx也满足fx的条件gbga至少存在一点a,b2、2个推论f'(x）0f（x）cf'(x)g'(x)f(x)g(x)c,ab3、泰勒Th.若在含有x的某个区间内存在直到n1阶导fx0数，则对该区间内任意点x都有：a,b..页脚..fxfxnfxfxfxxxxxxxRx00n2!n!00000nfn1其中：xxn10，（在x与x之间的数）称为拉0Rxnn1!格朗日型余项，且oxxn0另外有LL佩亚诺型余项Rxxxn0limxx00当x0时，泰勒公式称为麦克劳林公式：0xxn1fn1n1!fx0fnnxkRxn,Rxn,01k!k0二、洛必塔法则00limfx（）或型gxxx0f'x=limg'xxx0=A(或)。00（其他未定型极限要先化为或型后才用该法则）三、函数单调性\曲线的凹凸性及拐点的判别方法1、（）函数为单调增加的（减少的）f'x0f'x0fx>0(<0)，曲线曲线f(x)xa,b在上为a,b2、f"xf''x凹（凸）的；..页脚..为曲03、若''()=0，且x点左、右边二阶导数变号，则0fx,()xfx00线的拐点。四、函数的极值与最大、最小值及其求法fx001、可微的在点取得极值的必要条件为：yfxxx02、极值的判别方法：0（或x点左边，右边）fx0fx00fx1）若100fx00则fx为极大值00fx2）若（或x点左边,右边）20fx0fx00fx000则fx为极小值03、函数的最大、最小值求法-----------求出驻点，奇异点和区间端点的函数值加以比较，最大（小）者为最大（小）值在a,b内有唯一驻点，且是极大值（极小值），那么fx一若fxx0fx00在[a,b]fx上的最大值（最小值），这时fx在[a,b]上的最小值（最大值）定是一定是fa和fb的最小者（最大者）.五、求渐近线的方法1、若(),则yc为曲线yf(x)的一水平渐近线Limfxcx..页脚..2、若Limf(x),则xx为曲线yf(x)的一垂直渐近线0xx0f(x)3、若Lima,且Limf(x)axb,则yaxb为曲线yf(x)的一斜渐近线xxx作图(略)六导数与微分在经济中的简单应用1、经济学中常用的函数（1）需求函数Qf(p)（单调减函数）（2）供给函数（单调增函数）Qp（3）成本函数总成本函数Cf(x)或CvxC0其中v为单位可变成本（如需用的劳力、原材料等），C为固定成本0总成本函数C除以产量x称为平均成本函数.记为C(x)f(x).x（4）收益函数Rpq.其中p为单价，q为产品销量.（5）利润函数总利润函数为总收入减去总成本，即LRC平均利润函数为..页脚..LRCq2、边际函数与边际分析一个函数的导数在经济上称为边际函数。一般上，函数的导数在经济上称为边际。例如总成本（收益、利润）函数的导数在经济上称为边际成本（收益、利润），利用导数分析解决经济上的问题，称为边际分析。最大利润的原则是：必要条件：充分条件：R'xCx(Lx0)''R''xCx(Lx0)''''3、弹性函数与弹性分析在经济上，把某一个经济变量对另一个经济变量变化的反映程度称为弹性(或弹性系数)。例如，商品的需求量（商品的供给量）对价格变化的反映程度称为需求的价格弹性(供给的价格弹性)，简称需求弹性（供给弹性）。且在经济上，边际函数弹性函数=。平均函数设某商品的需求函数为，则该商品的Qfp(Q为需求量，p为价格）需求弹性定义为EQpdQEpQdp。当价格上升（下降）百分之一时，需求量减少（增加）百分之EQ。Ep..页脚..在经济中，一般上当<1时，说明需求量的变化幅度小于价格的变化幅度（缺乏弹性）EQ>1时，说明需求量的变化幅度大于价格的变化幅度（富有弹性）Ep=1时，说明需求量的变化幅度等于价格的变化幅度（单位弹性）第五章不定积分一、不定积分的概念与性质1、概念：若F‘(x)=f(x),xI，则称F(x)是f(x)（xI）的一个原函数.F（x）+c称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx，即f(x)dxF(x)c，2、不定积分的性质1）积分与微分的关系：(f(x)dx)'f(x)f'(x)dxf(x)cdf(x)f(x)cd(f(x)dx)f(x)dx2)积分的运算性质：..页脚..kf(x)dxkf(x)dx2[f(x)f(x)]dxf(x)dxf(x)dx1213)积分的形式与积分变量选择无关若f(x)dx=F(x)+c则。fuduFuc二、积分基本公式1、0dxc3、xndx2、kdxkxc1n14、1xxn1c(n不为1)dxln|x|c5、axdxa6、exdxxcecxlna7、cosxdxsinxc8、sinxdxcosxcsec2xdx1dxtanxc9、10、cos2xcsc2xdx1dxcotxcsin2x11、12、cscxcotxdxcscxcsecxtanxdxsecxc13、1dxarcsinxc（或arccosxc）1x214、11x2dxarctanxc(或arccotxc)15、tanxdxLncosxc16、cotxdxLnsinxc17、secxdxLnsecxtanxc18、cscxdxLncscxcotxc19、120、1a2x2dx1arctanadxarcsinxcaxcaa2x2..页脚..21、等。LnxdxxLnx1c三、掌握主要的积分方法与技巧1、第一换元积分法（凑微分法）若,可微F'(u)f(u)ux()xdx（对比积分公式-------）fuduFuc则[()]'()fxxfxdx凑微分'xdxd换元fuduxu积分Fuc代回Fxcxu2、第二换元积分法（变量代换法）fxdx（对x难积分）换元（）t单调可微，且t0'fttdtx'xt化简gtdt（变形后对t易积分）Gtc积分反代G1xct1x一般上，若f(x)含有因子：1）．axb或eaxb,则设t求积分2）．3）.a2x2,则设xasint或xacost求积分a2x2,则设xatant或xacott求积分..页脚..4）.x2a2积分,则设xasect或xacsct求3、分部积分法（或部分积分法）1fxfxfxfxdx或dx12给出2LIATE如何udvuvvdu方法4、有理函数、三角函数有理式的积分法tan2x（用综合除法、（设t待定系数法）或tsinx等）第六章定积分一、定积分的概念与性质1、定积分的概念s=n或0fxnlimbfxdxiiai1积分变量选择无关，即bf(x)dxbf(t)dt。aa..页脚..定积分的几何意义-------曲边梯形的面积S2、定积分的性质bkdxk(ba)(k为常数，下同）1）、ak1时bdxbak0时b0dx0aa2）、（规定）af(x)dx0a3）、bf(x)dxaf(x)dxab4）、bkf(x)dxkbf(x)dxaa5）、b[()fxf(x)]dxbf(x)dxbf(x)dx1212aaa6）、bf(x)dx=cf(x)dxbf(x)dxaac7）、若f(x)g(x),x[a,b]，则|()||bf(x)dxbgxdx()特别地，fxdxbf(x)dx|baaaa若最小值mfxM最大值,xa,b8）、（积分估值Th.）则mbabfxdxMbaa9）、（积分中值Th.）若f(x)在[a,b]上连续，则在（a,b）内至少存在一点c，使得bf(x)dxf(c)(ba)a10）、（奇偶性）2afxdx,(fx为偶函数00,(fx为奇函数）afxdx)a二、可变上、下限积分及其求导Th..页脚..1．'xddxxftdtfxag'xddx2．bftdtfxxfxx'3．ddxxftdta=fxx'4．d[dxf（t）dt]b（x）''xfxx5．ddxftdtxfx2x22111三、牛顿---莱布尼兹公式Newton----Leibniz公式：，则Fxfx若在[a,b]上连续.且fxbf(x)dxF(x)|bF(b)F(a)aa四、定积分的换元积分法与分部积分法1、第一换元积分法设F(u)f(u),u(x)可微则有..页脚