信号与系统 第十章

Lecture#12:ZDomainAnalysisof

DTSystemMotivation：1)在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。2)从变换的基本性质和基本作用来看，z变换和拉氏变换是相似的，讨论的思路也和拉氏变换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，z变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。

1Outline1、z变换的定义2、z变换的收敛域3、常用序列的z变换4、z变换的性质5、逆z变换6、系统函数及零极点分析7、离散时间系统的频率响应8、单边z变换及其应用2Motivation类似于连续时间系统的Laplace变换3z变换的基本定义

对于一个给定的离散时间序列

，其z变换的基本定义为

为方便起见，序列的Z变换一般用符号

表示。Observation：序列的Z变换是复变量z

的幂级数，当

时，它是z

的正幂级数；而当

时，它是z

的负幂级数。例如，对一些简单的序列，可以直接写出其变换

可见，

Z变换是由各个样点序列值的Z变换之和组成，每个样点的序列值都对应一个

Z变换。41、由抽样信号的拉氏变换引出z变换定义6.1Z变换从拉氏变换到z变换5通常记为或6observation1、设定，在变换域中将连续信号和离散序列联系起来了，即在拉氏变换中的s平面与z变换中的z平面之间建立了一种映射关系。通过这种映射关系，可以解释离散时间信号与系统中许多与连续时间信号与系统相同的特性。2、从抽样信号的拉氏变换引导出z变换，意味着拉氏变换与z变换之间存在许多内在的联系，而且沟通了连续系统与离散系统之间的联系，使人们可以借助离散系统对连续系统进行近似的数值分析、计算和模拟。7s平面与z平面之间的映射关系8收敛域Z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛时，其z变换才存在。

收敛域的定义：对于序列，满足下式的所有z值组成的集合称为z变换的收敛域。9收敛域收敛域只跟有关当收敛域包含单位圆，其离散时间傅立叶变换存在与Laplace变换类比10Exmaple111121314有理z变换若x[n]是实指数或复指数的线性组合，其z变换X[z]就一定是有理的。根据X[z]的零极点可以大致确定其z变换15Z变换收敛域的性质X[z]的ROC是在z平面内以原点为中心的圆环（等价于s平面的垂线）ROC内不包含任何极点16如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能除去z=0或z=∞17单位阶跃序列

单位阶跃序列在各个样点的序列值都等于1，因此，可求得其Z变换为

和拉氏变换一样，序列的Z变换也可以用零极点来表述。18矩形序列

矩形序列是一个有限长序列，利用定义不难求得其Z变换为

1920如果x[n]是一个右边序列，并且的圆位于ROC内，那么的全部有限z值都一定在这个ROC内。21如果x[n]是一个左边序列，并且的圆位于ROC内，那么的全部有限z值都一定在这个ROC内。如果x[n]是一个双边序列，并且的圆位于ROC内，那么该ROC一定是由包含的圆环所组成。下面的ROC分别对应什么样的原信号？22232425如果是有理的，那么它的ROC就是被极点所界定，或者延伸至无限远若是有理的，若是右边序列，那么ROC就位于z平面内最外层极点的外边若是左边序列，那么ROC就位于z平面内最里层极点的里边26

ifthenZ变换的性质27看下页例题282930(Z域微分性质)31看下页例题32解：故又3334Example已知序列x[n]的

z

变换为X(z)，求x[n]之初值和终值。

35逆z变换36373839观察长除结果可以得到由于收敛域|z|＞|a|，x[n]是右边序列，把分子、分母按z

的降幂排列相除

解

求下述X(z)的逆变换x[n]由此求得X(z)之逆变换为：

Example40Example41X(z)必须为真分式，才能展开为部分分式的形式。424344Quiz45解：Example已知，求

X(z)有两个单极点，分别为，于是

从而求得逆变换为：

求各分式的系数如下可展开为46

所求逆变换为：因此：

将

按其极点展开成部分分式之和

X(z)有一个一阶极点z=3，一个二阶极点z=5，由于收敛域|Z|＞5包括∞点，故x[n]是一个因果序列。解：已知

，求逆变换x[n]。分别确定系数，可得：474849Discussion上述方法各有千秋，但是都有一个共同点，即都和X(z)的收敛域密切相关，这和前面所说的在给出X(z)时必须同时给出其收敛域是相一致的。在求逆z

变换时，如果没有给定收敛域，则将得不到唯一确定的解。50系统函数1.系统函数的定义与求解

系统是初始松弛的51Discussion系统函数与系统差分方程之间有着密切的联系系统函数的收敛域系统函数和系统冲激响应之间是一对z变换系统函数的求解5253系统函数与系统框图

Observation：从这个简单的例子可以看到，在系统函数和系统框图之间也是存在着唯一的对应关系，我们既可以通过系统函数画出系统框图，也可以通过系统框图写出系统函数。如果系统的起始状态为0，则可求得该系统的系统函数为：541、全零点结构所谓全零点结构，即系统函数中只有零点，而除了在原点的极点外，没有其它的极点。其系统函数式为如果系统函数只有一个零点，则可得：从这个表达式可知，只有一个零点的系统将由一个相加器、一个倍乘器和一个延迟器组成。其对应的差分方程为：55全零点结构系统框图的基本特点：没有反馈环路，只有前向通路562、全极点结构

由此差分方程可知，系统的输出

y[n]由两项组成：一项是系统输入x[n]，另一项是将系统输出进行单位延迟后再乘以一个常数-a1，即

。因此，该系统框图中应有一个延迟器、一个相加器和一个倍乘器。如果只有一个极点，则式中，我们假设a

0=1，其对应的差分方程为全极点的系统函数可表示为全极点结构，即在系统函数中只有极点，而除了在原点z=0有零点外，没有其它的零点。57全极点结构系统框图的基本特点：有反馈环路，环路的个数与极点的个数相同，一个环路表示一个极点583、零极点混合结构对应的差分方程为：零极点混合结构，即系统函数中既含有零点，又含有极点，其系统函数的一般形式为：

此时，该系统可看作是一个只有一个零点的子系统H

1(z)和一个只有一个极点的子系统H2

的级联，即

例如，如果系统函数只有一个零点和一个极点，则相应的系统函数为596061Quiz1、请画出系统函数的最少延迟器实现框图2、请写出系统框图所对应的系统函数62Result63差分方程

系统函数

Observation：系统函数、系统框图、差分方程之间可以相互转换，并完全由其在z

平面上的零极点确定64H(z)的零极点分布对系统特性的影响65由此而可求得系统的冲激响应

对此式进行部分分式展开，并假设H(z)的所有极点都是一阶极点，则有

一个离散时间系统的系统函数可以表示为单位样值序列