2012年全国高中数学联赛预赛试题

注：此文件由清北学堂收集整理，更多资料请登录清北学堂网站下载 答案：201222（或4048142解:n2+(n2)(n-1)(n+1)(n2)n2+(n24)(n2-=n2+(n4-5n2+4)=(n2-函数f(x)=sin(x+p)+sin(x-p)-cosx+3的最小值等 f(x)=sinxcosp+cosxsinp+sinxcosp-cosxsinp-cosx+ =3sinx-cosx+6已知f(x)=bx+1，其中a,b为常数，且ab„2. 1=k为常数，则k值 4

2x+

b+ bx2+(b2+1)x+

f

f(xk=f f(x)=2x+a2+ax=2ax2+(a2+4)x+是常数，故2akb，且(a24)kb2+1.b2ak代入(a24)kb2+1整理得(4k2k)a2+(14k0，分解因式得(4k-1)(ka2-10.若4k-10，则ka2-10ab2ka22，与条件相矛盾.故4k-10，即k14已知方程32x-3x+1=p有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围 4解法一：令t3x，则原方程化为t23tp0 f(t

3tp

f(1)

-3·1-p>0,

-<<3 3 yy，且满足3x1y3x2yxxxx 及y„3-y.因此y的取值范围为3 .因此p=-yy=-y(3-y)的取值范围(1, (, (-9,-2)4

1 25已知第一行a11,a12,a13,a14,a15成等差数列，而每一列a1j，a2j，a3j，a4j5j1£j£5）都成等比数列，且五个公比全相等.若a24=4,a41=-2,a43=10,则a11·a55的值 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等由 =10知 =4且公差为6，故 =16, =22 由a244a44=16知公比q2若q=2，则

=22·2=4·11，故 · 若q=-2，则 =-2=1, =22·(-2)=4·(-11)，故 · 设点P在曲线y=1ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则PQ的最小值 2解：21ln2y1exyln(2xyx对称2y2

ex

ex)到直线y=x的距离为d 2g(x1exxg¢x1ex-1

=1-ln2dmin yxPQ最小值为2dmin=2(1ln2将2个a和2个b共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多 442个a既不同行也不同列的填法有C2A2722个b既不同行也不同列的填法有C2A272种，故由乘法原理，这样的填法共有7244其中不合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b72种；2个a161个方格填有b的情况有C1A2=16·7216所以，符合条件的填法共有72272-16·723960种112p，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80p，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156p，则该梯形的周长为 答案：16+ 为ph2b1ph2ab1ph2a2b1ph2a2b=112p，即h2a2b336. h22ab240a2b3367，去分母化简得b3a，代入h2a2b2a+ 得ah2481h(a2abb2=156.将b3a代入化简得a2h36.结合ah248可解得a3,h4342+(9-b=942+(9- >圆上且异于A,B两点，O为坐标原点.若|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k| 解法一：设P(acosq,bsinq)(0£q<2p),A(-a,0).>由|AP|=|OA|， =a即a2cos2q+2a2cosq+b2sin2q=0 从而 -1--1-

> 则线段OP的中点Qacosq

AQ^ kAQ·k=-

=bsinq

2ak

(b2+b2k2)(b2+b2k2)(sin2q+cos2a2+a2k13．（20分）abc满足abc3S=(a2-ab+b2)(b2-bc+c2)(c2-ca+a2解：不妨设abc.显然有b2bcc2£b2c2caa2£a2S£a2b2(a2-ab+b2)=4 3ab(a2-ab+b2

…5 ++(a2-ab+b2

4(a+

4(a+b+£

= £

=59

…15…20．（20分）求出所有的函数fN*f(x))2yfyx2

N*使得对于所有x， ˛N*xy1，则f(1))2+1f(1)1因此f(1))2f(1f(1)1f(1f(1)-1)f(1)1f(1)f(1)1互素，所以f(1)-1f(1)+1整除，且