第四章向量的内积与二次型华农线代

章向量的内积与二次型向量的内积向量的内积与模概念设有n维向虽«7b2,p=称t/jb}+a2b2+...+an“为a与0的内积,记为[S0],即n[S0]=5勺+勺站+・・・+(♦b广工5®.内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示，当a与0都是列向量时，有[50]二厂0・向量的内枳知足下列运算规律（其中&,0,厂都为n维向量，几为实数）:(1)[S0]=[0，a]：(2)[兄a,0]=几(1)[S0]=[0，a]：(2)[兄a,0]=几[S0]；(3)[a+0,/]=[«,/]+[«,/].概念数、莎刁称为向＞«=（⑷宀,…"）丫的模（或长度），记为制即同二+〃22+・・・+4「・Vg当问I刃时,&称为单位向量.当向+时,±=oH=1注意：式a给岀了求向量a的单位向量的方式.关于内积和模的关系，有如下重要的泄理:定理对任意n维向量a和B,恒有|0,0]|W制卜胡向量的模具有下述性质：非负性：当&工0时，|创>0；当a=0,||a||=0.齐次性：“a卜园阀.三角不等式：||a+0卜制田|0||.两个向量的夹角和距离概念当h*||^|*o时，称为n维向量a与0的夹角，英中0<0<7t.这时有R,p\=制卜制|cos&.概念规定n维向Ma=( ,a2，…,a„)T1j/3=(Z>|,Z?2bn)T的距离为-创=J(di—勺)-+(“2—“2)~+…+@”一b)依照概念，n维向量a的模||a||确实是a与零向量的距离。依照n维向量的三角不等式，恒有加・潮匀同+卜外于是0恥阀啊正交向量组与正交矩阵正交向量组概念融r「丿“的；•||a-0||=o, .丿0正交若一个向呈组中每一个向呈均不为零，且任意两个向虽:都正交，则该向量组称为正交向量组.定理首n维向心is，—，…，a「是匸交向:的I,0T，—，•••，—线件尤龙在…个正交向量组中，若是每一个向量都是单位向虽:，则称那个向量组为标准正交向量组.定理设n维向量组a1，02,•••,am线性无关，令：P\=a\»02=Ct2也01]\Pv0jQ [a叩0」a[%，02】々 Qz_莎刀肉「区右「反页評，则01，02，•“，0m是正交向量组，且与Q】，02，...，Qm等价.若是令 =|7^-|7Pi(i=l,2,...,m),Il0fII则了1，了2，...，尸m是与&1，a2，...，am等价的标准正交向量组上述定理从线性无关组a1，&2,•••，导出正交向量组01，02,•••，0m的进程称为施密特正交化进程,此方式称为施密特正交化方式•它不仅知足0],02，“0m与a-a2,・・・，am等价•还知足:对任何k(l<k</?7),向呈组禹，02,・・・，久与a—ct2,•・・■ak等价•通常将A，卩…、0皿转化为到7V丫”…畀枷的进程称为向呈的单位化.正交矩阵与正交变换 概念若是n阶方阵A知足|tA=I,U初;A为正交矩陣由概念可得：正交矩阵A可逆，且A-^ALc\lC|2…1/1V15C22£y2c=•■■■,X=■■，y=••■■%■■■儿.定理方阵A是正交矩阵的充分必要条件是概念设则y=Cx等价于y\=5內+切孔+…+5儿儿=c2IxI+c22x2+...+c2wxll1儿=5州+—2勺+・・・+5儿上述y=Cx称为线性变换：若C为可逆矩阵，则y=Cx为可逆线性变换；若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。定理正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。实对称矩阵概念若n阶方阵A二(5)知足:

=A,则A称为对称矩阵：若竹为实数，则A称为实对称矩阵.定理实对称矩阵的特点值为实数.定理设入，心是实对称矩阵A的两个特点值，门，必是对应的特点向虽，若心工心，则与內正交.定理若人是实对称矩阵A的k重特点值，则存在k个对应于人的线性无关特点向量.定理设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使P~'AP=PrAP=A=•••血_其中右，22,血是A的特点值.PS:（1） 在实对称矩阵中，不同特点值根对应的特点向量正交，故■■（2） 任意实对称矩阵都能够用正交变换方式化为对角矩阵二次型二次型及其矩阵表示平而二次函数ax2+2bxy+cy2=1中，其左端函数f（xyy）=ax2+2bxy+cy2知足f（tx,ty）=t2f（x,刃，如此函数称为二次齐次函数.概念含有n个自变xrj的二次齐次函数/(x1,x2,...^)=«11x|2+a21X2+…+2厲2西兀2+加13州勺+…+2d〃T/兀L1兀称为二次型•当5为复数时，/称为复二次型：当细为实数时，/称为实二次型.2a{ixixi^alixlxi+ajixjxi,山(6內+ax2x2+・・・+q后)+x2(a2[x{+a22x2山(6內+ax2x2+・・・+q后)a\\ an ・・•a\nCl2\ a22 …Ct2n•••■•••■•••■—1 Ctn2・••ann_A-=(xpx2V..,xn)记A=(af))nXn/x=(x},x2....xn)7则上而的二次型能够记作:f(x)=xrAx由于知=◎，因此A是实对称矩阵.容易看出，A的对角元素心是/⑴中才项的系数，而非对角元素勺是交叉项册勺系数的一半•实二次型/(x)=x7Ar实对称矩阵A—一对应(即相互唯一确信)•那个地址，对称矩阵A称为二次型/(a)=x7Av的矩阵，也把/(x)=Ar称为对称矩阵A的二次型：矩阵A的秩槪念为二次型f(x)=x1Ax的秩.D1R1Tips：设b为「门，则二次型f(x)=xlBx的炬阵q=—.2二次型的标准型概念二次型/(x)=x7Ar通过线性变换X==Py后所取得的平方和f(x)=d[y[2+d2y^+...+dnyn2称为那个二次型的一个标准型.其对应的矩阵是对角矩阵：d2•••关于样的二次型/(x)=x7Aa-,要紧问题是：寻求可逆的线性变换x=Cy或正交变换x=Py,使二次型变成标准型。设可逆的线性变换x^Cy,则/W=f(Cy)=(Cy)TACy=『(CTAC)y=yTBy其中B=(C0C)概念设A,B为n阶方阵，若是存在n阶可逆矩阵C,使得B=(C?AC),则称矩阵A与B合同，称矩阵C为合同变换矩阵.概念表明，若A*7B合同，则A与B等价，反之不然。

定理对应任意可逆矩阵C,令B=(CTAC),若是A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)刑B).二次型/(x)=x7Ar通过不同的可逆线性变换后所取得的标准形是不同的，但能够证明英正平方项与负平方项的项数是不变的.标准形中平方项的项数称为二次型f的惯性指标：正平方项的项数称为二次型f的正惯性指标，记为P；负平方项的项数称为二次型f的负惯性指标，记为q・显然，R(A)=p+q.定理任给二次型/(x)=x7Ar，总有正交变换尤=Py使f变成标准形= +^yi24-...+A,y„2其中人,备...,血为A的全数特点值.正定二次型概念设有实二次型fW=A-7Ar,若是对任何xKO,都有/(a)>0,则/(A-)称为对称矩阵A称为正定矩阵：若是对任何xHO,都有/(力<0,则/⑴称为对称矩阵A称为负定矩阵.若是对任何x,都有/(x)M0,则/(x)称为半正上二次型，对称矩阵A称为半正定矩阵.定理实二次型/⑴」山正立的充分必要条件是：定理若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：JAx是正定二次型(或A是正定矩阵)；A的正惯性指标为n；存在可逆阵P,使得A=p7p：A的n个特点值人,人,...，血