第5章VAR模型分析

第5章VAR模型分析5.1引论考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈矢系。假设w的时间路径受zt的现期值与过去值影响，zt的时间路径受yt的现期值与过去值影响：yt=bi0一bi2zt 1iVl 12Zt_1 ；yt(5.1.1)Zt=b20―-b21yt2iyt-122zt_1；zt(5.1.2)这里假设：(1)yt,w是平稳的；(2)；yt，\t是白噪声扰动，标准差分别为s；(3){yt},{zt}是不相矢的。方程(5.1.1)，(5.1.2)构成了一阶向量自回归(VAR)。方程(5.1.1)，(5.1.2)称为结构式VAR，简记为SVAR,。这个系统反映了 之间的相互反馈。如， 力池是&变化一个单位对yt的当期影响，12是4一•!变化一个单位对yt的影响。注意：；yt和；zt分别是对儿和召的更新(或冲击)。当然，若b2i不为零对zt有间接的当期影响，如，th2不为零，；衣对yt有间接当期影响。这样的系统可以捕捉反馈影响。方程(5.1.1)，(5.1.2)不是导出型(约化型)方程，因为'yt对zt有当期影响'且zt对yt有当期影响。但可以将这方程系统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面形式1bi2ytbwb21 11bi2ytbwb21 1「乙-11c12P202122yt-iI「乙ztBXt=oxt=AoA/t1etXt严b10「PnAl.I~k■I~k■々Pz?20_J21 :22?ztA(5.1.3)iX2t这是byb12二A21[前乘B1可得到标准形式的VAR这里AA=B-1o5AA=B」i5定义ao是向量A。的第i个元素，印是矩阵几中的i行j列元素，®是向量e中的第i个元素，则(5.1.3)可写为yt=aioanyt-iai2Zt-i©t (5.1.4)a20aa20a2iyt.1a22Zt-1S2t (5.1.5)方程(5.1.4)，(5.1.5)称为标准型的VAR。这时误差项仓(I和e“是如下：(5.1.6)(5.1.7)两个冲击、；n的组合。由U二叫如下：(5.1.6)(5.1.7)®1t= (yt-b12zt^1-b12b21)咕二〈zt b21yt) ―-b12b21)由于；儿zt是白噪声过程，所以，Ee［厂0Ees十:曉：；)/(1-皿”)2Fe1telt-i二E[(朮一bi2zt)(yt・i一b12zt-i)]心一b12b21Fe1telt-i因此，是序列无尖的，％也是序列无尖的，且分别有零均值，常量方差。冲击的协方差矩阵为VarG)covGo)iCovG®)VarGJ由于Eqte"二ER； -bl2z?(zt b2iyt)]^1-b12b21yt 八(di二2 02二；”(1-bi2b2i)2(5.1.7)一般来说(5.1.7)不为零，所以eit,e2t是序列相矣的，即两个冲击是相尖的。当2二b2i=o时(即yt对乙没有当期影响、zt对w也没有当期影响)，eit,e2t是序列不相矢的。由于二中所有元素都与时间t无矢，所以可写成如下fa2b、=I1 12f215.2估计和识别考虑下面多维自回归过程XAA0A1X-1A2X-2 APX-pet (5.2.1)这里Xt是n1向量，A。是n1截距向量，A是nn系数矩阵，口是n1误差向量。矩阵a°含有n个参数，每个a都含有¥个参数，所以、有np*个参数需要估计。通常，这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化。然而，由于目标是找出这些变量之间的相矢矢系，并不是作短期预测。加入一些不适当的零限制会损失重要的信息。而且，解释变量之间也可能有共线性'对单个系数的卜检验对于简化模型不一定非常可靠。由于方程(5D)的右边只包含滞后变量，且误差项是序列无矢的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的。识别为了说明识别程序，我们回到二变量一阶VAR的例子°由于VAR过程中的反馈，方程(5.1.1)，(5.1.2)不能直接估计，原因在于乙与；w相矢，%与$相矢。标准估计方法要求解释变量与误差项无矢° 注意，在估计标准型VAR，(5.1.5)中，不存在这样问题。OLS能提供A。中两元素的估计，八中4个元素的估计。而且、从两个回归中获得残差，可以得到e!t,e2t的方差5协方差的估计。问题在于是否能重新得到由方程(5.1.1)，(5.1.2)所提供的信息。换句话说，对于，(5.1.5)构成的VAR模型的OLS估计，原来的方程组(5.1.1)，(5.1.2)是否是可识别的？如果我们比较方程组(5.1.1)，(5.1.2)中参数的个数与方程组(5.1.4),(5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程(5.1.1)，(5.1.2)施加一些必要的限制，否则就是不可识别的。方程(5.1.4),(5.1.5)有9个参数需要估计，6个系数的估计(ai。，a2。，an,a!2£2i,a22)和3个参数Var(et),Var(e(),Covg,et)的值。而结构方程(5.1.1),(5.1.2)中包含10个参数。和b20，11>1221>22,b12b21，匚y,总之，结构方程(5.1.1), (5.1.2)中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程， 方程＜5.1.1)，(5.1.2)是不足识别(underidentified)的。识别模型的一种方法是 Sims(1980)提出的在结构模型中施加“识别限制”的估计策略，即采用递归方程组型式。在Sims的方法中，根据有矢的经济模型来选取 VAR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数 b/0，这时结构方程变为吐二b10―'»12召11^_1 12zt_1 ；ytZt二b20 21人—122召―1;zt (5.2.2)同样(5.1.6)，(5.1.7)变为e1t= ；yt・b12；zte2t= ；zt限制b2A0意味着，zt对yt有当期影响，但yt的一步滞后影响zt°加入这个限制(也许是由于特殊的经济模型)，得到了一个恰好识别系统。限制b"0也意味着，B4可由下式给出B-1j1七12用B4前乘结构方程组，给出『『1『『1£血-b12b20应一bYY-by\V」••(+11A122112 9222+Z•yt-b12$zt<zt丿L、 b20“y戸」丿£zt-bi2j1-bi2°」<01J<b-bi2j1-bi2°」<01J<b20<01-11112721 J22J-t12]<0 1J\IN丿(523)利用OLS估计这个方程组，就会得到Zt这里ai0aZt这里ai0aiiyt_1ai2zt-1a20a2ivt_1*22召_1a10巧0・—、b12b20a11Y・V *1121b12a12▲Y-y1222eitb12a20b20a21・Ya22a22由于b?i=0，则eit=；yt'bi2；zt和e?t=；zt，因此，VarG)n：+bd：2Var(e2；=^zcovgM—k-bi2；因此，我们把得到的9因此，我们把得到的9个估计出来的参数a。,ai2,比。，比“比2，Var(ei),Var(e2)3cov(ei,e2)，代入上方 9个方程中，并解出bbYYbYY2巧0，巧2，11,12，匕？。， 21， 22， '「”"这时可以利用e2t、2的估计和矢系式內二；yt-%;zt，求出；yt,；zt的估计。限制b2i=o意味着，屮对乙没有当期影响，在(5.2.3)中yt,；zt都影响yt的当期值，而只有；zt影响乙的当期值。e2t只是对z(的冲击。按照这种三角形式分解残差的方法称为Choleski分解。在n个变量的VAR中，B是nxn矩阵(有n个回归残差，n个结构冲击)，要有X-n)/2个限制加入到回归残差和结构冲击中。因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有 /2个值等于零。VAR模型的假设检验1'变量个数的选择一般来说，VAR模型中可以包含很多变量，但每加入一个变量，就要增加np个需要估计的参数，从而减少了假设检验的自由度，所以模型中变量不应包含太多变量。模型变量的选择方法根据相矢的经济理论选择一组相矢变量。2、模型滞后长度的检验首先，用自由度允许的最大滞后长度估计 VAR模型，提出最后几个滞后项的系数为0的零假设；其次，根据零假设的约束,用同样观测序列样本估计带约束的VAR模型；再次，分别计算无约束VAR和带约束VAR模型的残差的协方差矩阵艺u和艺r,构造出检验上述零假设的似然比统计量：(T-c)(log*r-log|=|)~2(q)式中：T—估计模型所用观测值的个数；c—无约束VAR模型中每个方程的参数个数；q—带约束VAR模型中约束的个数。最后，根据似然比统计量的值和 2g)分布的临界值,判断是否拒绝零假设。3、VAR模型选择的AIC和SBC准则将单变量模型选择的AIC和SBC准则推广到多变量，则有：AIC=Tlog|X|+2NSBC=Tlog|X|+Nlog仃)式中：I艺I—模型残差的协方差矩阵的行列式；N—模型全部方程的参数总个数。5.3 脉冲反应函数自回归有运动平均表示，向量自回归也有向量运动平均表示(VMA)°向量运动平均表示是 Sims(1980)方法的一((532)((532)个主要特征，我们可以分析VAR中变量受冲击的时间路径为了说yt aio aiiai2yt_i®lt■乙t丿ia20丿1比1a22丿IW_1<®2t丿通过迭代'可得下面表不明，仍然采用二变量一阶VAR为例(531)COa11a12i=0la21 a22rle2t|(532)Pt*1『1・b〔2「y「<e2tI1—匕2»211b211丿Zt><Zt(5.3.3)结合(532)和(533)可有ZQuy丿1乙丿1-l^2b21i=0la21a*?]丫^22.*一^21-bi2为了简化上式，我们可以定义22矩阵1，其中的元素为ik(i):&1i1-bi2b2i b2i%(i) 12(i)V21(I) 22(i)因此，运动平均表示可写成；yt，；zt的形b：『门(i)y丿Xtji=01*21°)*(i)v®、12(Drl,【、\4°22⑴八汕丿(5.3.2)为了考察％和乙之间的矢系，运动平均表示是非常有用的。)中元素给出了5,F对％,召的冲击效果的时间路径。四个元素jk(0)是影响乘数。如，系数12(0)是zt的一个单位变化对yt的即时影响。同样，元素门(1)和!2(1)是；yt-1,；zt-1的一个单位变化对yt的影响。11(1)和12(1)也表示；yt，；zt的一个单位变化对*的影响。；yt,；Zt的单位脉冲的累积效果可通过对脉冲反应函数系数的求和来获得。女口，n期之后，&对ytn的效应是12(n)。因此，n期之后，巳对yt的效应的累积之和是n'12(i)i=0令n>得到长期乘数。因为我们假设 yt,Zt是平稳的，所以，对所有j,k有QO元孤⑴收敛(有限)i=0系数n(i),12(i),21(i),22(i)都被称为脉冲反应函数，画出脉

冲反应函数的图形(横轴为 i，纵轴为％⑴)直观上给出了yt,乙对各种冲击的反应程度。原则上，如果知道结构方程(5.1.1),(5.1.2)中所有系数，就能找出；yt，；zt冲击的时间路径，做脉冲反应分析。然而，由于被估计的VAR是不可识别的。系数州和方差协方差矩阵z不足以识别这个结构方程因此，为了识别脉冲反应，对这个VAR系统必须加入一些限制。一种识别限制是利用Choleski分解，使乂对乙没有当期影响，即令。误差项可被分解成eitAyt—bi2& (534)e2i-zt (5.3.5)对给定et，e2t和bi2，可利用(5.3.4)，(5.3.5)计算J，社戏°在按Choleski分解限制的系统中，对zt没有直接影响，但冲击zt对yt、召有当期影响，所以这种分解对这系统产生了非对称T生。由于这个原因， (5.3.4)，(5.3.5)被称为变量的一个次序(ordering)。冲击J直接影响e和％，但冲击亠并不影响eat。这时通常说zt是“在因果矢系上先于”yt°在Choleski分解中，如果限制少。，而不是=o，情况会怎样？在实际中，研究者如何决定哪种分解时最适合的？一些情况下，要有理论支持一个变量对其它变量没有当期影响。但通常没有这种先验知识，而是由于识别的需要，对系统加上一些限制结构。次序(Ordering)的重要性取决于"和％的相矣系数=2，这里*12*12/1_.2°现在假设由估计的模型得到 三的一个值，使"2=0。在这种情况下，Ordering是不重要的。如果EeAdt=0，贝v由贝贝［JXt.n—■r rt.nj，向前n步预测误差是(5.17)式，血和込都为零。这时(534) ，(535)变成e2AEzt°如果：?12=1，有一个冲击对两变量有当期影响。在b2i=0的假设下，(5.3.4) (5.3.5)变为SAzt£tAzt。若假设吃二。有ct二;yt9dt=:zt°通常研究者需要检验匚的显著性。如在单变量模型中，1可以使用正态分布N(0,T「2)检验零假设讣二0°若有100个观测值且|Pi2»0.2，则认为显著。如果％显著，通常的程序是使用特殊的Ordering来获得脉冲反应函数。 这个结果与通过选取相反的Oedering获得的脉冲反应函数相比较。如果得出的结果存在很大差异，则需要对变量之间矣系做进一步检验。5.5 方差分解下面我们用结构VAR模型的向量运动平均形式(VMA)来考虑预测误差，这可以将预测误差的方差分解成不同的部分。虽然，VMA和VAR模型包含同样信息，但通常用序列打来描述预测误差。我们考虑(5.3.2)，'y「Won(i)<Zt/丿日』2』)it-ixt—1it-ii=0nJxt门~i=0nJxt门~Etxt•n 'i"tn」i=0ytn-uytn 2ii(i)12(i)|二XI召厂巳厶“GO2l(l)只考虑其中的一个序列｛%｝，则有ytn_i122(i)Jzt-nj11(n-1)；yti12(nr1);zt1ytn—Etytn= 11(O)!ytn11(1)；ytnJ12(0)zt「12(1)ztn_1ytn的向前n步预测误差的方差w(n)：代(n)二咗[昭(0严1⑴+“e(n-1)]二；[；(0)；⑴ 7(n-1)]随着n的增加，预测误差的方差也增加。把向前n步预测误差的方差蔦(n)分解成不同的部分，按照不同的冲击J｝和｛zt｝占二；(n)的不同比例是牡」打(0)+哗(1)+门-1)]二订；(0) ；(1厂；(n-1)]时(n)如果冲击；zt不能解释Yt的预测误差方差，在这种情况下，｛yt｝与zt,｛乙｝无矣，这时称(yt)是外生的。如果冲击zt能解释全部yt的预测误差的方差，这时＜yt｝完全是内生的。为了识别｛孑｝和｛zt｝，必须对矩阵进行限制。在Choleski分解e2t=；zt中,&解释了乙的所有一步预测误差方差。 如果采用另一种次序(Ordering),^解释了y的所有一步预测误差方差。 这种由于次序不同带来完全不同的效果，但在长期预测水平上，这种不同效果逐渐减弱。在实际中，分析各种预测水平下的方差分解是重要的。当 n增加时，方差分解应当收敛。如果相矣系数匚显著不为零，通常的做法是在各种不同的次序(Ordering)下求出方差分解。脉冲反应分析和方差分解都是分析经济变量之间相互矢系的有用工具。如果各扰动项之间相矢性很小，在各种次序(Ordering)下会得到基本相同的脉冲反应和方差分解。当然，许多当期的经济变量有时是高度相矢的，所以还需要作进一步的分析°5.6Granger因果矢系Granger原因与外生性是两个不同的概念。对于两变量｛yj和｛zj来说»｛z(｝的外生性，是指yt当期值不影响乙当期值。而Granger原因是指(y,｝的过去值对乙的影响，因此，Granger原因实际上测量的是(yt)的过去值是否有助于预测 乙的未来值。Zt,yt)如果Zt,yt)则y没能改进zt的预测性能，所以y不是zt的Granger原因。虽然｛yJ不是｛乙｝的Granger原因，但是｛乙｝可以不是外生的°A(L)AYL)AWXuA21(L) A22(L)■A2n(L)X2t/+<Am(L)代,L)A /I\kxnAAJGt丿n个变量的VAR由于n个变量的VAR収X2t収X2tA20+1...11lAnoj这里A厂截距项的参数，Aj(L)=滞后算子多项式，Aj(L)中的系数由aw)耳(2)，…表不，e,t是白噪声扰动，可以是相矢的，方差'协方差矩阵用(nn)矩阵三表示。因为Aj(L)表示变量j尖于变量i的滞后值的系数，所以如果多项式Aj(L)项式Aj(L)的所有系数等于零，则变量j不是变量i的Granger原因。在具有P个滞后项的两变量模型中' y不是zt的Granger原因当且仅当A2i(L)的系数均为零。或者说，如果刃没有改进乙的预测效果时，那么yt不是乙的Granger原因。如一个二维p阶VAR，yt二a®・••二.an(i)• 『」・・・二.a2(i)・Z4■予Z=a2° 'a2i(i)*yt4va22(i)检验Granger检验Granger原因的直接方法是使用标准的F检验来检验限制条件检验一个变量是否可以加到 VAR模型中，可以用“分块外生性检验”。Granger原因检验的多维扩展称之为“分块原因检验”。如，在三个变量wt，y「zt的VAR模型中，要确定一个变量（如wj是否是系统中其它变量yt和乙的Granger原因，需要检验Wt的滞后值是否是出现在yt或乙的方程中。实质上，分块外生性限制了在 w和乙的方程中照的所有滞后值为零。这种跨方程的限制，通常使用似然比检验。禾IJ用y.»zt，wt的滞后值来估计矢于yt和zt的方程，并计算二。去掉wt的滞后值后再估计尖于yt和乙的方程，并计算z,。然后，求出似然比统计量：（T-c）（log|X」Tog|工J）这个统计量有2（2p）（自由度是限制方程中限制参数的个数因为在两个方程中，分别都去掉了 血的p个滞后值）分布。由于无限制的W的方程或无限制的 w的方程包含了（y.｝，｛乙｝, ｛w.｝的p阶滞后和一个常量，所以c=3pT°5.7Granger原因和货币供给变化70年代后期，人们通常认为“货币的波动反映了未来的价格水平和实际产出的相尖信息” 。事实上，主张实施积极的货币政策的理由是“货币供给的现期值与未来的价格水平和实际产出之间有着系统尖系。”但是,有大量文献说明：这个尖系在70年代后期不成立。Friedman和Kuttner(1992)分析了货币的波动能否有助于预测产出的波动。考虑VAR方程：4 4 4纟、:rm_L Jg」~—':ti―. 7 i4名义产出对数的变化依赖于本身的过去值、名义货币供给和政府支出的对数变化的过去值。当存在｛・『｝,｛・§｝的过去值时，货币供给能否解释名义产出未来值？Friedman和Kuttner(1992)使用了货币供给的几种度量(基础货币，Mi,M2和各种短期利率)，对不同的样本期估计了三个变量的VAR。对于1960:2—1979：2，检验零假设H。：“基础货币不是■■:yt的Granger原因”的F统计量值是3.68。在1%的显著水平上，货币是切的Granger原因。但是在1979:3-1990:4期间F-统计量值仅为0.82°因此，在通常显著水平下，货币不是产出的 Granger原因。直到1979:2,在1%的显著水平上，货币是名义产出的 Granger原因，以后这种原因不存在了。为了更好的理解这三个变量之间的相互矢系， Friedman和Kuttner也报告了方差分解的结果。在1960:2-1979:2期间，Ml解释了27%的勺t的预报误差方差。在1979:3-1990:4期间，Mi解释了10%的「y的预报误差方差。无疑，货币供给变化在预测名义产出的将来值上，其作用在减少°5.8Bianchard-QuahBlanchard和Quah(1989)提出一个获得结构 VAR的方法。他们的目的是重新考虑 Beveridge和Nelson(1987)矣于把实际GNP分解成暂时的和永久的部分的分解方法。他们给出了一个宏观经济模型，使实际 GNP受需求一供给冲击影响。按照自然率假说，需求冲击对实际 GNP没有长期影响。在供给方面，生产冲击对产出有长期影响。利用二维VAR模型，Blanchard和Quah说明了如何分解实际GNP并识别出需求一供给冲击。看一个一般的例子。假设我们想要分解一个 1(1)序列，比如(%)分解成暂时和持久部分。假设有第二个变量｛乙｝也受同样两个冲击的影响，现在假设｛乙｝是平稳的。如果省略截距项，｛yJ和｛乙｝的二维运动平均表示(BMA)有下面形式>t二5(k)5_k c12(k)E2t_k (5.12.1)k=0 k=0ztC21(k)1t_kc22(k)2t-k (5.12.2)k=0 k=0或MfCn(L)G2(L)WJIN丿lC21(L)c22(L)丿丿这里；牡和;以是不相尖的白噪声扰动，方差为常数。C(L)是滞后算子多项式，5L)的系数是q(k)。为了方便，方差、协方差下面的角标被省略/并且冲击被标准化为 角标被省略/并且冲击被标准化为 VarsF,Var；2=1°QOQO角标被省略/并且冲击被标准化为 角标被省略/并且冲击被标准化为 VarsF,Var；2=1°QOQO如果令■为扰动的方差、协方差矩阵'有VarCOV（a2）X“仃、•COV（A.A）Var名2<°b为了利用Blanchard和Quah方法，至少有一个变量是非平稳的(因为1(0)变量没有持久部分)°但使用这种方法，两个变量必须用平稳形式。Blanchard和Quah方法并没有把冲击⑴，；2t与｛%｝，｛乙｝直接联系起来，而是把｛yt｝和｛Z｝看作是内生的，而“，。代表外生变量。在他们的例子中，｛yJ是实际GNP的对

数，｛乙｝是失业，雀是总需求冲击， 公是总供给冲击。 5(L)的系数代表总需求冲击对实际GNP对数的变化的时间路径的脉冲反应。把｛yJ分解成持久部分与平稳部分的矢键是假设其中一个冲击对｛yJ序列有暂时影响。正是这种短期和长期效应，可以由估计的 var模型中识别出结构扰动项。例如：Blanchard和Quah假设了总需求冲击对GNP没有长期影响。如果GNP不受需求冲击的长期影响，则冲击；牡对yt的累积效应一定等于零。因此，(5.12.1)中的c"(k)一定满足：QO"1仆)1t_k=°k=0由于这对任何可能的；it都成立，则一定有(5.12.3)，cii(k)Z2o(5.12.3)k=0因为无法观测需求冲击和供给冲击，要从估计的 VAR模型中识别出来。假定变量是平稳的，则存在VAR表示：广叽“+广叽“+IZt/丿(5.12.4)%1(L)A2IA21(L)A22或 Xt二A(L)Xtjet这时VAR的残差e是扰动；it和；2t的组合。由于e是y的向前一步预测误差， 创二屮一e_y,并且e2t是乙的向前一步预测误差，e-Zt-E/t，而厶％和召的二维运动平均表示(BMA)(5.12.1)中厶％的向前一步预测误差是G(0臥扌c1EQ，乙的向前一步预测误差是e2t二C21(Q)itC22(Q)2t这两种表示的预测误差应是等价的，所以，©t=cii<Q，itC12(Q)2t (5.12.5)e?厂C21(Q)it C22(Q)2t(5.12.6)我们得到6 _© C12(Q)(Q)如果Cl1(Q)Cl2(°C,21(朗22是已知那末由回归残差的，et,ezt可识别出st,jt0Blanchard和Quah利用(5.12.4)、二维运动平均表示BMA和长期限制(5.12.3)，给出了四个限制条件，可识别出四个系数Cn(Q),C!2(Q),C2i(Q)Q22(Q)。由VAR的残差可求出Var(e,),Var(q),cov(e,艮)的估计值。四个限制条件如下:限制1：由(5.12.5)和Er：=Q,Var(；J=Var(；2)=1意味着ct的方差是Var(eJ=c；(0)c；(0)限制2：同样由(5.12.6)有Var@)=c；(0)c；2(0)限制3: E(qe2)=5(0心i(0)G2(0)C22(0)限制4:为了使冲击；牡对yt和厶yt没有长期影响(仅有暂时影响)，可以推出限制条件F QO Ml Q0|1—瓦a22(k)5(0)+迟a!