中国股票指数期货市场发展前景

中国股票指数期货市场发展前景

套期长寿（又名长寿），是指将期货市场的价格风险与套内货市的价格进行比较，从而实现资产估值的目的。对商品期货而言,套期保值者一般在期货市场建立一个与现货价值相等、交易方向相反的头寸。但对于股指期货来说,套期保值则相对复杂,不仅价值不一定相等,交易方向也不一定是相反的。毋庸置疑,套期保值的目的是风险最小化,是在市场价格产生不利的变化时使现货资产的价值最大限度地不受损失。在极端理想的状态下,如果我们持有的投资组合与股指期货的运行保持完全一致,则套期保值过程可以简单设计如下:设P为投资组合的当前价值;设A为一个股指期货合约的当前价值。则理想状态的套期保值期货合约数量N为:Ν=ΡA(1)按照上式,我们用投资组合的当前价值除以一个股指期货合约的当前价值,得出套期保值的期货合约数量,随后进行一个与需要保值的现货头寸方向相反的操作,卖出或者买入期货合约即可。但是这种极端理想的情况在现实中几乎是不存在的,投资组合不同,价格涨跌幅度也不一样,套期保值的数量也必然需要变化,因此在理想状态的套期保值数量基础上,我们需要引入一个适当的比率,以最贴切地反映投资组合价格变化量的不同差异,使证券资产风险最小化。因此,如何设定套期保值比率成为套期保值研究的核心问题。下面我们详细研究风险最小化的套期保值比率1。一、分散法1.st+d#t+k+xfft+k的设套期保值比率CharlesSutcliffe在《股指期货(StockIndexFutures)》(1997)一书中对风险最小化的套期保值比率进行了推导,概述如下。令Xs和Xf为投资者持有的现货资产和期货资产的数量(指数单位)。令St和Ft为时点t的现货和期货价格,相应地,D*t+k是在t到(t+k)期间收到的股利价值(以时点(t+k)计算)。时点(t+k)是套期保值计划的结束时点,但可以不是股指期货的交割期。考虑一个组合投资,即做多Xs单位的股票同时做多Xf单位的股指期货,通过持有从t到(t+k)的时间,其在时点(t+k)的利润(Pt+k)为:Pt+k=Xs(St+k-St+D*t+k)+Xf(Ft+k-Ft)设套期保值比率为b,则b=-Xf/Xs2。注意,这个比例并非限定于0～1之间,它可以大于1,或小于0。由b=-Xf/Xs,得Xf=-bXs。替代Xf,则其在时点t+k的利润(Pt+k)变为:Pt+k=Xs(St+k-St+D*t+k)-bXs(Ft+k-Ft)=Xs{(St+k-St+D*t+k)-b(Ft+k-Ft)}=Xs{(Δs+D*t+k)-bΔf}其中,Δs=St+k-St,表示股票价格变化值;Δf=Ft+k-Ft,表示期货价格变化值。我们用时点t+k的利润的方差来衡量风险,记为Var(Pt+k),则Var(Pt+k)=X2s{(σ2Δs+σ2d+2σΔsd)+b2σ2Δf-2b(σΔsΔf-σΔsd)}即Var(Pt+k)=X2s{σ2Δs+b2σ2Δf-2bσΔsΔf+σ2d+2σΔsd-2bσΔsd}这里σ2Δs是Δs的方差,σ2Δf是Δf的方差,σΔsd是Δs和D*t+k的协方差,σ2d是D*t+k的方差,σΔsd是Δs和D*t+k的协方差,σΔsΔf是Δs和Δf的协方差。如果假定在t到(t+k)期间收到的股利是确定的,即D*t+k是确定的,则有关D*t+k的方差、协方差均为零,上述表达式则为:Var(Pt+k)=X2s{σ2Δs+b2σ2Δf-2bσΔsΔf}因为St和Ft是已经确定的,这个表达式可以用时点(t+k)的价格水平重写为:Var(Pt+k)=X2s{σ2s+b2σ2f-2bσfs}因此,风险最小化套期比率可以通过上式求一阶微分得到。令Var(Pt+k)对b求一阶微分,并令微分为0,则求解δVar(Pt+k)/δb=2bX2sσ2f-2σfsX2s=0得出风险最小化套期保值比率为:b*=σfs/σ2f(2)因为σfs=ρfsσsσf,风险性最小化套期保值比率为:b*=ρfs(σs/σf)(3)其中,ρfs为现货价格St+k与期货价格Ft+k之间的相关系数,σs为现货价格的标准差,σf为期货价格的标准差。2.风险最小套期保值比率上述CharlesSutcliffe的推导方式略显复杂。JohnC.Hull在被誉为“华尔街的圣经”的经典教科书《期货、期权与其他衍生品》中给出了另外一种推导方式,它省略了股利问题,使公式推导非常简捷3。设:ΔS为在套期保值期间现货价格S的变化;ΔF为在套期保值期间期货价格F的变化;σs为ΔS的标准差;σf为ΔF的标准差;ρfs为ΔS与ΔF之间的相关系数;h为套期保值比率;h*为风险最小化套期保值比率。当套期者采取现货做多同时期货做空的策略时,在套期保值期间(每单位)资产价值的变化为:ΔS-hΔF若期货做多同时现货做空,则在套期保值期间(每单位)资产价值的变化为:hΔF-ΔS在上述两种情况下,资产价值变化量的平方,也即方差v均为:v=σ2s+h2σ2f-2hρfsσsσf对h求导,得:∂v/∂h=2hσ2f-2ρfsσsσf令上式为0,可得出方差v最小化的套期比率为:h*=ρfs(σs/σf)(4)这即是风险最小化的套期保值比率。可以发现,式(4)与式(3)完全一致。可见,无论是哪种推导方式,他们的结论是完全一样的。因此,根据式(1),风险最小化的套期保值期货合约数量N*为:Ν*=b*ΡA=h*ΡA(5)此外,可以看出,如果ρfs=1(即ΔS与ΔF之间的相关系数为1),σs=σf(即ΔS与ΔF的波动幅度相等),则套期保值比率h*=1。这种情况就是我们开始提到的那种“极端理想的状态”,即我们持有的投资组合与股指期货的运行保持完全一致的情况。在这种情况下,两者同步波动,且幅度相等。通过图1,我们可以更直观地观察风险最小化的套期保值比率的意义。随着套期保值比率逐渐远离风险最小化的套期保值比率h*,价格风险逐渐增大。3.套期保值测算下面我们举例说明,在实践中如何确定套期保值比率。假设我们持有股票组合的市场价值为3000万元,现在要做套期保值,使1个月后的投资组合风险最小化。假设1个月后到期的沪深300股指期货合约目前为2000点,按每点300元计算,则一个期货合约的市值相当于2000×300=600000元。假设根据以往的模拟统计数字,该股票组合的价格变化量与沪深300指数期货1个月合约的市场价格变化量存在如表1所示的对应关系。(续)根据标准差及相关系数公式:σX=√(X-ˉX)2(n-1)ρXY=∑(X-ˉX)(Y-ˉY)√∑(X-ˉX)2∑(Y-ˉY)2得标准差σf=15.99,σs=13.47;相关系数ρfs=0.93。因为投资组合价值30000000(元),期货合约价值600000(元),根据式(3),可得风险最小化套期保值比率为:b*=ρfs(σs/σf)=0.93(13.47%/15.99%)=0.78根据式(5),则套期保值合约数量为:Ν*=b*ΡA=0.78×30000000/600000=39.11,取N=39。因此,需卖空39个股指期货合约。二、oel投资工具在发达资本市场,随着资本资产定价模型(CAPM,CapitalAssetPricingModel)的应用日益广泛,β系数成为最常用的投资工具之一。在美国,投资者可以在Bloomber、Yahoo等网站中很容易地查到某个股票的β系数,进而计算出投资组合的β系数。由于使用β系数同样可以构筑风险最小化的套期保值比率,因此,β系数法在股指期货的套期保值中获得了更为广泛的应用。1.资本市场表现结构的系数ro我们首先对资本资产定价模型(CAPM)及β系数的概念进行一个简单回顾。资本资产定价模型(CAPM)是1964年威廉·夏普(WilliamSharpe)在他的著名论文《资本资产定价:市场平衡理论》中首先提出的,并经约翰·林特纳(JohnLintner)与简·莫辛(JanMossin)等人发展、完善,最终得以确立。经过多年的实践检验,资本资产定价模型的科学性被市场普遍认可,并被公认为现代金融理论的基石之一,威廉·夏普由此获得1990年的诺贝尔经济学奖。资本资产定价模型(CAPM)的最普通形式可以表述为:E(ra)=rf+βα(E(rm)-rf)其中,E(ra)是资产(投资组合)a的预期收益率;rf是市场无风险利率;E(rm)是整个市场的预期收益率;而βa就是资产(投资组合)a的β系数。我们从公式中可以看出,因为在一定时期内市场无风险利率rf是个常数,因此投资组合a的预期收益率E(ra)与整个市场的预期收益率E(rm)存在一种线性关系,而β系数正是这个线性方程的斜率。资本资产定价模型是一种理想化状态下的高度概括,这个等式的成立依赖于若干基本假定。不难想象,因为真实的市场不存在那些近乎理想化的假设条件,因此,真实的投资收益率也并非完全符合资本资产定价模型等式。假如我们以投资组合a的实际收益率ra与整个市场的实际收益率rm为坐标做出散点分布图,我们将发现这些点并非存在于一条直线上,而是坐落于一个近似线性关系的带状区域内。因此,为了求出最恰当的概括这些带状散点分布图的线性关系,我们可以通过建立一元线性回归模型进行求解,其总体回归线将居于散点分布图的中央,各个散点以不同的距离坐落于总体回归线两侧,而总体回归线的斜率正是β系数。因此,我们可以得出β系数的准确概念。所谓β系数,其实是一个投资组合的预期收益率与整个市场预期收益率的线性回归函数的斜率,它反映了投资组合对整个市场波动性的敏感程度,即投资组合的系统性风险大小。根据CAPM公式E(ra)=rf+βa(E(rm)-rf),我们可以很容易推导出:ΔE(ra)=βa(ΔE(rm))其中,ΔE(ra)表示是资产(投资组合)a的预期收益率的变化量,ΔE(rm)表示整个市场预期收益率的变化量。也就是说,任一投资组合的预期收益率的变化与整个市场预期收益率的变化都成一定比例,而这个比例就是β系数。β系数并不限于0～1之间,它可以大于1,也可以小于0。举例来说,当β=2时,意味着该投资组合的收益率变化是整个市场收益率变化的2倍,也即当市场综合指数上升10%时,股票组合的收益率上升20%;当市场综合指数下降10%时,股票组合的收益率下降20%。当β=-0.5时,意味着该投资组合的收益率与整个市场的收益率变化方向相反,其变化值是后者的一半,也即当市场综合指数上升10%时,股票组合的收益率下降5%;当市场综合指数下降10%时,股票组合的收益率上升5%。在中国A股市场ST类的股票上,我们经常可以见到这种β系数为负的情况。市场收益率除了可以用股票市场的综合指数(例如NYSE,上证综指等等)代表之外,它也可以用一个包含大多数股票市值的主要股票指数(例如S&P500,沪深300指数)来代替。根据统计,NYSE与S&P500的相关系数达到99.7%。我们不难验证,上证综指与沪深300指数的相关系数也应该在99%以上。计算出一个投资组合的β系数之后,我们就可以对它的套期保值比率进行计算了。2.系数的测算JohnC.Hull在《期货、期权与其他衍生品》中给出了一种股指期货套期保值比率的计算方法,具体公式为:设P为投资组合的现值;A为一个股指期货合约所对应的股票资产现值(Currentvalueofthestocksunderlyingonefuturescontract);β为投资组合的β系数。则用于套期保值的股指期货合约数量N*为:Ν*=βΡA(6)在此我们以一个实例进行运算。仍然假设我们持有股票组合的市场价值为3000万元,现在要做套期保值,使1个月后的风险最小化。假设目前沪深300股票指数(现货)为2000点,且根据以往的统计数字,该股票投资组合的收益率变化量与沪深300指数的收益率变化量存在如表2所示的对应关系。我们建立这样的回归模型:Yi=α+βXi+εi其中,Yi为投资组合的收益率变化量;Xi为沪深300指数(现货)的收益率变化量;β为投资组合的β系数,也即Yi随Xi变化的敏感程度;εi为误差项。对上述两组数据进行回归分析,得α=0.45,β=0.78。将以上两组数据画在坐标轴上,其中投资组合变化量为纵轴,整个市场指数变化量为横轴,可得总体回归线,如图2所示。图中斜线即为总体回归线(populationregressionline)。它的斜率是β,与纵轴的截距是α。按股指期货合约的乘数规定,每点300元,沪深300指数相当于2000×300=600000元的价值。当β系数为0.78时,根据式(6),可得套期保值合约数量为:Ν*=βΡA=0.78×30000000/600000=39.11Ν=39因此,需卖空39个股指期货合约。在此,我们发现了一个令人惊讶的事情:无论是采用方差法或β系数法,两个方法计算出来的结果一样。是巧合吗?事实上,我们参考滋维·博迪(ZviBodie)等人在《投资学》中的定义,β系数正式的计算公式如下:βa=Cov(ra‚rm)σ2m其中,Cov(ra,rm)表示资产(投资组合)的收益率ra和市场收益率rm的协方差,σm2表示市场收益率的方差。我们对比方差法计算式(2):b*=σfs/σf2可以看出,二者的计算方法完全一样。在这里,β系数实际上和风险最小化的套期保值比率是一个概念。因此,方差法和β系数法的计算结果相同是必然的,绝对不是巧合。3.期货市场的价格变化量与市场基差的关系JohnC.Hull的β系数法存在着一个严重的缺陷,甚至可以说是重大的错误。因为在他的计算公式Ν*=βΡA中,所使用的β系数是投资组合对股票市场的敏感系数,而A也是与股票指数(现货)相关的一个股票资产现值。换句话说,他在计算中全部采用了现货市场的价格。这意味着这个公式隐含着一个假定的前提,即股票指数的期货价格变化量与现货价格变化量是完全相等的。很明显,这个假定的前提是错误的。首先,在短期内,股指期货市场和现货市场是两个相对独立的市场,两者的价格变化量未必是完全相等的。虽然因为无风险套利的存在,两个市场的价格变化总是保持同步运行,具有很高的相关性,但是因为交易成本的存在,期货市场的无套利均衡价格并非是一个点,而是一个价格区间,在此价格区间内,两个市场的价格同样可以保持均衡状态下的稳定。随着时间的延续,无套利均衡价格区间延伸为一个无套利均衡区域,见图3中两条虚线之间的区域。其次,在长期内,因为期货价格和现货价格之间的基差的变化,两者的价格变化量必然是不相等的。因为期货价格与现货价格之间存在一个很强的收敛特性,随着交割日的日益临近,基差必然趋近为零。在不同的时期,两个市场的价格变化量取决于不同时期基差的大小,其价格变化量的差额为不同时期基差的差额,如图4所示。根据图4,股票指数的期货价格和现货价格在时刻T1的基差为B1,在时刻T2的基差为B2,在时刻Tk(交割日)的基差为零。假设以时刻T1为基点,在时刻T2,现货价格的变化量为ls,期货价格的变化量为lf,其变化量的差额为:lf-ls=(B1+Δ)-(B2+Δ)=B1-B2可见,在不同的时期,由于基差不尽相同,其价格变化量也是不尽相同的,其价格变化量的差额等于不同时期基差的差额。在极限的情况下,即在时刻Tk(交割日),基差为零,其变化量之差为:l′f-l′s=B1-Bk=B1综上所述,JohnC.Hull的β系数法采用了一个错误的前提条件,因而计算方法是错误的,或者至少存在着重大的缺陷。4.修正的yfi上文已经提到,根据资本资产定价模型公式E(ra)=rf+βa(E(rm)-rf),我们可以很容易推导出ΔE(ra)=βa(ΔE(rm)),并据此建立了一个投资组合的收益率变化量Yi与整个市场指数的收益率变化量Xi的回归模型:Yi=α+βXi+εi同样,我们也可以建立一个期货价格的收益率变化量与整个市场指数的收益率变化量的回归模型:Yfi=αf+βfXi+εfi其中,Yfi为期货价格的收益率变化量;Xi为股票指数的收益率变化量;βf为股指期货的β系数,即Yfi随Xi变化的敏感程度;εfi为期货价格的误差项。通过求解上述回归模型的系数βf,即可以对JohnC.Hull的β系数法进行修正。因为Yi对Xi的敏感系数是β,Xi对Yfi的敏感系数是1/βf,因此修正后的β系数(β′)为:β′=β/βf4相应地,我们对JohnC.Hull的式(6)作如下修改:设P为投资组合的现值;A′为一个股指期货合约的现值,则风险最小化的套期保值期货合约数量N*为:Ν*=β′ΡA′(7)下面让我们用模拟数据进行验证。仍然假设我们持有股票组合的市场价值为3000万元,现在要做套期保值,使1个月后的风险最小化。假设1个月后到期的沪深300股指期货合约目前为2000点(注意,不是现货价格),且根据以往的统计数字,该股票组合的收益率变化量、沪深300指数(现货)的收益率变化量与沪深300指数期货合约的收益率变化量存在如表3所示的对应关系。建立两个一元线性回归方程:Yi=α+βXi+εiYfi=αf+βfXi+εfi分别求解,得β=0.848,βf=1.082。因此,修正后的β系数为β′=β/βf=0.848/1.082=0.78。可见,修正后的套期保值比率与方差法的计算结果完全一致。根据公式(7),可得风险最小化的套期保值合约数量为:Ν*=β′ΡA′=0.78×30000000/600000=3