排队论视角下的单馆员排队模型研究

排队论视角下的单馆员排队模型研究

1排他性和服务特征队列理论也称为随机服务系统理论。随机服务系统是指对随机发生的需求提供服务的系统。现实世界中排队现象比比皆是,如商店购物、轮船进港、病人候诊、银行存取款、机器等待维修、电话等待转接、计算机数据等待处理等。排队论的内容包罗万象,但都具有3个共同特征:(1)有请求服务的人和物,如候诊的病人,称之为“顾客”。(2)有为顾客提供服务的人和物,如医生,称之为“服务员”。(3)顾客到来的时刻及需要服务的时间均是随机的。排队论的主要任务是,建立数学模型描述排队系统的概率规律性,研究诸如顾客平均的排队时间,排队顾客的平均数、服务员平均接待的顾客等数量规律,为系统的最优设计和最优控制提供决策依据。2顾客到达和停留时间的计算M/M/1模型是指适合以下3个条件的排队系统:(1)输入过程:顾客源是无限的,顾客单个到来,相互独立,一定时间的到达数服从普阿松分布(Poisson分布)。(2)排队规则:单队且对队长没有限制,先到先服务。(3)服务机构:单服务台,各顾客的服务时间是相互独立的,服从相同的负指数分布。此外,还假定到达间隔时间和服务时间是相互独立的。设单位时间内顾客到达数服从参数为λ的Poisson分布。每位顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布。于是在[t,t+Δt]时间区间内分为:(1)顾客到达数服从参数为λΔt的Poisson分布,故在该区间内有一个顾客到达的概率为λΔtexp{-λΔt}=λΔt+O(Δt);没有顾客到达的概率是1-λΔt-O(Δt);(2)设顾客接受服务时间为T,则在该区间内有一个顾客接受完服务离去的概率为:Ρ(Τ≤τ+ΔΤ|Τ>τ)=1-Ρ(Τ>τ+ΔΤ|Τ>τ)=1-Ρ(Τ>Δt)=1-exp{-μΔt}=μΔt+Ο(Δt)没有顾客离去的概率为1-μΔt-O(Δt)。(3)多于一个顾客到达或离去的概率为O(Δt),可以忽略。因此,在t+Δt时刻,系统中有n个顾客的概率Pn(t+Δt)满足:Ρn(t+Δt)=Ρn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)+Ρn(t)λΔt⋅μΔt+Ρn+1(t)(1-λΔt)μΔt+Ρn-1(t)λΔt(1-μΔt)=Ρn(t)(1-λΔt-μΔt)+Ρn+1(t)μΔt+Ρn-1(t)λΔt+Ο(Δt)于是有:Ρn(t+Δt)-Ρn(t)Δt=λΡn-1(t)+μΡn+1(t)-(λ+μ)Ρn(t)+Ο(Δt)Δt令Δt→0,得到方程:dΡn(t)dt=λΡn-1(t)+μΡn+1(t)-(λ+μ)Ρn(t)其中n=1,2,…;当n=0时可以得到:dΡ0(t)dt=-λΡ0(t)+μΡ1(t)对于稳态情形,Pn(t)与t无关,其导数为0。因此可得差分方程如下:{λΡn-1+μΡn+1-(λ+μ)Ρn=0n≥1-λΡ0+μΡ1=0解此方程得到:Ρn=(λμ)n⋅Ρ0,今设ρ=λμ<1,由于∞∑n=0Ρn=1,故Ρ0=1-λμ=1-ρ,从而得到:{Ρ0=1-ρΡn=(1-ρ)⋅ρnn=1,2,⋯(1)式(1)中ρ有其实际意义,称为服务强度。他表示平均到达率λ与平均服务率μ之比;他也是一个顾客的平均服务时间1/μ和平均到达间隔1/λ之比。以式(1)为基础计算系统运行的指标如下:(1)在系统中的平均顾客数(队长的期望值):LS=∑n=0∞nΡn=λμ-λ(2)在队列中等待的平均顾客数(队列长的期望值):LQ=∑n=0∞(n-1)Ρn=λρμ-λ可以证明,在M/M/1系统条件下,顾客在系统中的逗留时间服从参数为μ-λ的负指数分布。(3)在系统中顾客逗留时间的期望值:WS=1μ-λ(4)在队列中顾客等待时间的期望值:WS=ρμ-λ3顾客平均等待时间举例在某商店有一个售货员,顾客陆续到来,当顾客到来的较多时,一部分顾客便需排队等待,被接待后的顾客便离开商店。设:(1)顾客到来时间间隔θ服从均值为0.1的负指数分布;(2)对顾客的服务时间T服从上的均匀分布;(3)排队按先到先服务规则,队长无限制。假定时间1min为单位,一个工作日为8h。问题一,模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平均等待时间;问题二,模拟100个工作日,求出每日完成服务的个数及每日顾客的平均等待时间。蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法是一种应用随机数来进行模拟试验的方法。对于所求问题,模拟过程见图1流程图:在Matlab6.5软件包中提供了用于生成服从一定分布规律的随机数的函数。采用Matlab6.5软件包编程求解此问题。用Matlab6.5编程如下(对于问题一):cleari=2;w=0;e(i-1)=0;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);whileb(i)<=480y(i)=unifrnd(4,15);e(i)=b(i)+y(i);w=w+b(i)-c(i);i=i+1;x(i)=exprnd(10);c(i)=c(i-1)+x(i);b(i)=max(c(i),e(i-1));endi=i-2;t=w/i;m=i;对于问题二,将此程序略加修改即可。经过计算可得模拟结果:一个工作日内完成服务的个数为45人,顾客平均等待时间为33min;100个工作日,平均每日完成服务的个数为44人,每日顾客的平均等待时间为28min。4对3种服务规则的对比在M/M/1模型中,服务规则是先到先服务。实际上对于不同的服务规则(先到先服务、后到先服务、随机服务)他们的不同点主要反映