多维柯西不等式

如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系, 那么这个定理肯定很重要如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系, 那么这个定理肯定很重要•而柯西不等式与00柯西不等式【柯西不等式的主要内容】柯西主要贡献简介：柯西(Cauchy),法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家 •他奠定了数学分析的理论基础数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等二维形式的柯西不等式:(acbd)2,(acbd)2,当且仅当时，等号成立•若a,b,c,dR，则(ab)(cd)证法1°.(综合法)(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2当且仅当( )2当且仅当( )2(时，等号成立.)2(acbd)2证法20.(构造法)22 22 222222分析：(acbd)2 (a2 b2)(c2 d2) [2(acbd)]2 4(a2 b2)(c2 d2) 022222而[2(acbd)]4(ab)(cd)的结构特征 那么， 证：设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2,•••f(x)(axc)2(bxd)2 0 恒成立.••• . 得证.证法30.(向量法)设向量m(a,b),(c,d)，则imi，|n|，且mn|m||n|cosm,n，有|mn||m||n|.变式10.• . 得证.若a,b,c,d R，贝V a2 b2 c2 d2 |acbd|或 a2 b2 c2 d2acbd；变式2°.若a,b,c,dR，则a2b2 .c2d2(ac)2(bd)2；变式3°.(三角形不等式)设x!,y1,X2,y2.X3.y3为任意实数，则:X1 X2)2 (y1 y2)2 (X2 X3)2(y2y3)2一般形式的柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai,bi R(i1,2,…，n),则：(若a,°时,约定b,°,i1,2,…，n).变式1.设aR,bi°(i佃川,n),则：变式2°.设ab,°(i1,2,n则：ni12a,

bi当且仅当(a,)2b.当且仅当时，等号成立.时，等号成立.色i1b,丄.当且仅当b1 b2alb.bn时,等号成立.我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系所以，它的重要性是不容置疑的!☆柯西不等式的应用:例1.例1.已知实数a,b,c,d满足abcd3,2222a2b3c6d5.试求a的最值R是'R是'ABC外接圆的半径,b22 2 2 9xyz—例2在实数集内解方程 48x6y24y39例3设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离,例4（证明恒等式）已知adb2b・1a2 1,求证：a2b2 1。例5（证明不等式）例5（证明不等式）设a,a211an an1，求证：a,a2 a2 a31anan11an1 a1【同步训练】1.已知ai,a1.已知ai,a2,川，a*R，求证：-(a1na2IIIan)2 ai2 a22川 a*22.已知a,b,c,d是不全相等的正数，求证:abbccdda3.已知x2y3z1, 求x2y2z2的最小值4.设Xi,X2，川Xn4.设Xi,X2，川XnR且XiX2川Xn1,求证:2Xi2X21X2IIIXn1Xn5.已知实数a,b,c,d,e满足abcde8,a2b2c2d2e216,求e的取值范围aa1aa11496.已知x,y,zR,且xyz1,求证： 36x yz2227.已知正数a,b,c7.已知正数a,b,c满足abc1证明abc38.若n是不小于28.若n是不小于2的正整数，试证:III2n12n2参考答案：般形式的柯西不等式:设n为大于1的自然数,a"R(i12…I ■，J， )设n为大于1的自然数,a"R(i12…I ■，J， )n)，则:2ai2bi(aibi)2,i1其中等号当且仅当直鱼a2虫时成立(当aian0时，约定bi1,2,…，n).等号成立当且仅当biai(1n) 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题。地解决一些中学数学中的有关问题。是是a2b2 1。地解决一些中学数学中的有关问题。地解决一些中学数学中的有关问题。是是a2b2 1。例1解:由柯西不等式得,有2b23e26d2即2b23e26d2 b由条件可得,解得,2当且仅当.2b例1解:由柯西不等式得,有2b23e26d2即2b23e26d2 b由条件可得,解得,2当且仅当.2b「12..3e「13豊时等号成立，代入b1,c1,cA3d1时,61时3amaxamin例2解:它与8x6y24y 39联立，可得86132418132x2y2z2228 62 248x6y224y①■+2x2yz2 82622249643641443924又8x6y24y2392.x222yz228622428x6y由柯西不等式，得即不等式①中只有等号成立224z从而由柯西不等式中等号成立的条件,例3证明：由柯西不等式得,记S为jezJ1 ^/ax~by~~ezi的面积，则axby-记S为jezJ1 ^/ax~by~~ezi的面积，则axby-xy-ab•2Rbeca12R、a2 b2 e2故不等式成立。例4 证明：由柯西不等式,得a1b2a2 1例4 证明：由柯西不等式,得a1b2a2 1a2b2 1b2 1当且仅当_b_1a221b时，上式取等号,ab1a2?1b2,a2b2 1a2b2,例5分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:4'-'1X4'-'1Xn4'-'1X4'-'1Xn1.2、ai an1a1a2a2a3 anan1证明：为了运用柯西不等式，我们将 31Bn1写成a1a2a2a3anan12n1.a1即an11?1a〔a2a2 a3111a1a2a2a3anana232 331a2a31anan11,111?'a1a2 a2 a3an an111an1an111a1an1an3n1于是1an1a10.我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习证：(1212 |||12)佝2HIn(a12a22lbd2)(b22a2(1a1 1a2HI1an)2…一(a1a2n证明:(a22c2(abbecdda)：a,b,c,d是不全相等的正数,(a2即a2解:(x2b2

b22y22c2cz2)(122zxy当且仅当-12yx2d2)2d2222丄14丫Z即x2 3:2取最小值证明:(n1)(12X11x2(1X12Xn1 xnlb川•厂&(印a222a1a2d2a2)2an)2c2an2)IIIan2)lblban)22anabccj>(abbccdda)abbccdda32)(x2y3z)21,y141,z7-不成立a—时142X21 x2III)c、1 x1—X1 1 x2—X2-^\j1 X1Xn 2)(X1III2Xn1 Xn))独(产1x-i2X2X2屮x2III Xn)2 11IIIn2III1IIIn2III1 2n 21IIIn2III1IIIn2III1 2n 2解：4(e*(1『1b12爲2唱c2d2)(qbcd) 2 2即4(16e2)(8e)2,即644e26416ee2165e216e0,故0e—5证法一：用柯西不等式(xy当且仅当x2等号成立.14yz)(】x

1x彳-z2,即x99)

z2i3，z236证法二:代入法149 1“(xyxyzx14(-x1446当且仅当y2x,z7•证明：利用柯西不等式z)-(xy(-yxz12 363x,即xjy6z)9(xyz)z岸业)yz!,z 1时，等号成立3 2a2b2c22a2a2b2b2c2c2a2b2c23ab33cab2c1f”a又因为a2b22cabbcca得:abc32ab22c2.2223,33?3.abcabc2.22故a3b33cabc3bc1222在此不等式两边同乘以 2,再加上a