多变量时间序列模型

#第7章多变量时间序列模型§Granger因果检验判断一个变量的变化是否是另一个变量变化的原因，是经济计量学中的常见问题。Granger提出一个判断因果关系的一个检验，这就是 Granger因果检验。Granger因果检验的思想如果x影响y,或者x是y的原因，此时x的变化必然先于y的变化，此时就须满足两个条件：1）x可以预测y,即根据y的过去值对y进行回归时，如果加上x的过去值，能显著增强回归的解释能力。2） 不能根据y预测x，因为如果根据x预测y,又能根据y预测x，很可能x和y都是由第三个或其他变量决定。检验步骤1）首先检验零假设"x不影响y”即x不是y的granger原因。首先根据x和y的滞后值对y回归（无限制回归），然后用y的滞后值对y进行回归（有限制回归）。即：m m无限制回归：yt二：飞亠—二j%」亠二亠％i』 \=1m有限制回归：yt二＞0亠二’：：iyt」亠5iT用F检验来判断x是否显著了了无限制回归的解释能力。此时统计量RSS*-RSSrF= -Fr,n-k-1RSS；（n-k-1）RSS*是有限制回归的残差平方和， RSS使无限制回归的残差平方和。 n是样本容量，k使无限制回归变量的个数。 r是限制回归模型中的变量个数。2）检验y不影响x,即x不是y的granger原因。此时调换模型中的变量 x和y的位置，利用F统计量来检验。如果一对时间序列是协整的，则至少在某一方面存在 granger原因。§2伪回归现在考虑非平稳序列回归出现的问题

设 ：xt［是两个无关的随机游走过程，2% ；t ；t：IID0,c.2Xt=Xt丄Ut Ut:IID0,6且EUsi=0，任意的t,s。此时xt既不影响yt，也不受y的影响。建立模型yt=c亠.■■■Xt-Qp对于这种情况，-=0,R2—.0。Banerjee利用蒙特卡罗模拟得出结论：对于相互独立的单整序列 lyl ，且5=1^.=1,x^=0,y^0，进行回归时，t统计量显示了比正常检验临界值水平还高。也就是在相互独立的序列进行的实际回归中,种现象就称为为回归现象。二.伪回归的产生原因也就是在相互独立的序列进行的实际回归中,种现象就称为为回归现象。二.伪回归的产生原因经常伴随着高的R2，并且1系数显著。这伪回归现象产生的根本原因就是序列的非平稳性。 设f 〈人？是两个无关的随机游走过程，并假设模型为yt二：X，e,Vt：IN0,；汀，此时建立统计推断:TOC\o"1-5"\h\z原假设H0： 2-0XV J d此时根据OLS估计，.t2t。因为是两个无关的随机游走，贝U 一？的分二xt子，分母均为一种维纳过程泛函。 （参见hendry和秦朵的《动态经济计量学》第三章） 。2.Wr和Vr表示定义在r■1.0,11上的两个相互独立的维纳过程，则于是可以证明:5二Vr于是可以证明:5二VrT2〒2T2〒2Tyt=t彳_2WrdrT—2T X2=；0||VrdrT—2T X2=；0||Vrdrt4 -10WrVrdr1于是—"：WrV2rJ

%2fWr)]dr1二；0WrVrdr但在零假设］=0条件下,t=厂1T“汹ILt4tTt42Xt此时有两个特点：1）发散。2）分布不是常规的分布。从而利用 t统计量不能得到正确的检验。直观地看一下:yt=：xtet，如果：=0,则e也是11过程非平稳。从而最小二乘估计不可用。二.伪回归检验我们利用残差的平稳性检验来判断是否存在伪回归。如果残差非平稳，则是伪回归。伪回归的纠正方法：1）在回归模型中包含自变量和因变量的一阶滞后变量，即yt=：片 yt」 xtJL ut此时能够消除伪回归。即当 y和x不相关，则?和J?依概率收敛于零。2）对yt和Xt先做一阶差分，从而使得 和变成平稳过程，建立模型yt二：：片ut此时能够消除伪回归。即当 y和x不相关，则?依概率收敛于零。3） Cochrane-Orcutt方法（自相关问题）如果yt=「':片ut，这里ut二:?ut4 ；t则根据广义差分法，建立模型小一:y^=--1^rXxt 1进行迭代估计，可以证明?依概率收敛于零。总结1）伪回归现象：对于任何两个（或两个以上）不相关的单位根过程，只要样本量足够大,检验他们相关性的统计量一定呈显著性，这就是伪回归现象。2） 回归分析将平稳过程当作非平稳过程来处理是十分危险的。因此回归中必须分清平稳过程和非平稳过程。3） 伪回归的本质问题是变量的非平稳性。§3协整.定义TOC\o"1-5"\h\z□0 Q01•零阶整10:对于n维线性过程 Xt八.Ci ；t_i，如果7 Ci =0,Ci为系数,i=0 i=02；t：IID0,二，则称Xt为零阶整的。2.1阶整I1:如果心焉为I（0）过程，则n维随机过程Xt称为1阶整的。1（1）过程都t ::是非平稳的，但非平稳性可以通过差分消除。这里任何形式为 xt二g；t」,7 i=0当C=0时，都是I1过程，3•协整：如果Xt为1阶整的，但对于某些线性组合，只要恰当的选择 「X。，1=0,:Xt变为平稳的，则Xt称为协整，1称为协整向量，线性不相关的协整向量数目称为协整的秩。协整向量张成的空间称为协整空间。即表示为 -XtI0。说明1） 协整向量1至少有两个非零元素。2） 对于常数C,C:都是协整向量。3） 对于k个线性无关的Xt, —九…，4满秩，则-Xt平稳。协整的意义1•协整可以用来描述某些经济变量水平值间存在稳定的长期关系，也就是某些经济变量之间不能相互分离太远。也就是如果变量不存在协整性，他们可以任意分离。 协整向量

可以认为是经济系统中对变量长期行为的限制条件。协整响亮多好还是少好协整向量多，经济系统就越稳定，即在尽可能多的方向上存在稳定的关系。协整向量少，经济模型存在唯一的稳定状态均衡，这样能够获得协整向量的精确估计。四•协整于长期均衡的联系如果yt-以=4,ut：I0,yt,xtI1,则此时yt和xt协整。这里ut可以测量“系统”的失衡程度，可以称为均衡误差。如果是协整的,u统”的失衡程度，可以称为均衡误差。如果是协整的,ut：I0，均衡误差具有均值回返特性。如果不是协整的，则 ut：I1,则均衡误差将会出现剧烈波动，不具有均值回返特性。五•协整和伪回归的关系2」yt=y」+q§：iid（°甩）对于 ，2非奇异。当Xt班」U Ut:IID0,汛非奇异。当yt二：Xtvt,Philips证明伪回归的长期协方差矩阵时，此时系统残差非平稳，为伪回归。而对于协整方程，长期协方差矩阵2奇异。此时％ ◎鸟CT” CT2农 Z-0,从而代名-—J-1。残差矩阵奇异是系统为协整过程的必要条件。六.协整检验1•对于回归模型yt= +ut我们检查Ut的生成过程：U^=;?Ut4 t是否是单位根过程。此种方法就是 E-G两步法。2.Machinnon检验方法：小样本方法是一种从一般到特殊的检验方法：对于k个I1序列冷旳，凶，k-1,t=1,2,•…,T可以建立三种协整回归方程k_（1） X1t八：jXjt」tj丘k（2） Xit»o亠二.'■■jXj^—tj=2k（3）Xit»o•〉it亠二訂Xjt」t27为扰动项。协整检验的基本方法就是检验其扰动项的平稳性，利用ADF检验：l二u?-『-1u?」、i二1?丄；ti二l△u?Y°+（P-1）岛+送％?丄+务i壬l△U? +§t+（P—1）U?4吃签垃丄+可i3原假设：T=1，备则假设T：：：1o具体检验步骤参见单位根检验步骤。§3误差修正模型ECM（E-G两步法）作用：模型取决于解释变量与因变量长期关系得偏离以及对这些因变量的调整。一•设两个经济序列yt和Xt是I1过程，并且是协整的，协整向量为 1,-1，则设yt=fXt=一：x，于是yt=:」:焉•二yt4-7xtvut，则这种模型称为误差修正模型ECMo这个模型需要yt对厶％,yt/,xtj进行回归。因此误差修正项yt4-：Xt/的系数可作为前期的y对lx之间偏离程度的测定及偏离的短期调整。从而ECM不再是使用变量的水平值或变量的差分变量来建模，而是把两者有机的结合起来。短期看，.勺是由较稳定的长期趋势和短期波动所决定， 短期内系统对于均衡状态的偏离程度的大小直接导致波动振幅的大小。长期看，协整关系式起到吸引力的作用，将非均衡状态拉回到均衡状态。ECM能清楚地显示出于长期均衡偏离的程度，所以立刻显示出关于这种偏离的调整信息。二.E-G两步法的估计步骤方法1•建立静态模型：y^ xtUt，进行最小二乘估计并进行协整检验。利用误差修正项C?=yt八--人，建立模型yt二a^Xt71?」•；t。利用ols估计参数，得到误差修正模型。方法2•直接估计yt=cyt」'QXt-QXt二亠“。§4VAR模型一. 多元动态线性回归模型1•多元线性回归模型形式为yt=jXti-2Xt2'…；t可以写成、*；t2.动态多元线性回归模型TOC\o"1-5"\h\zm mytVp ryt_L•7:iXt_Luti』 i=03.如果y=yi,,yni是一组向量，X=Xi,...,Xki,贝Um myt=C、A%丄'BjXt丄Uti=1 i=0这个模型就称为动态多变量回归模型或动态结构模型。 这里C为n1向量，A,...,Am是nn系数矩阵，B1,...,Bk是kn系数矩阵。ut为n1误差向量。满足Eg)=E(wYt*4,X；)=0EWtuSFE^uSY^X；鬥0yt4二％*...,y1*Xt=(Xt,,X1)对于动态结构模型，如果能够写成如下形式

Xt二'GXt丄 Ut模型称为VAR模型(向量自回归模型)。向量自回归模型是用模型中所有当期变量对所有变量的若干滞后变量进行回归。VAR模型的扩展VARMA模型p qXt「7Mt」—「帚Uti4 j：4或者写为■-Byt-vBut。对于k阶VAR模型，可以写为VAR(k)kXt CiXt丄Ut二GY」。2丫七…CkYt上Uti吕这里Ut：IID0,"，其中Ci,...,Ck都是nn阶系数矩阵，Ut为n1阶随机误差项向量。门是NN阶方差协方差矩阵。或者写成6.VAR(2)模型为或者写成C111C1122C211C212ryj巾1「—++0」lC121 C122JlC221 C222/lxtd丿yt -C111yt 4'C112Xt1 'C211 yt-2 'C212Xt-2 '4tXt -C121yt 1C122Xt1C221 yt-2C222Xt-2 U2t根据误差项的假设，可以用 OLS进行估计。二.滞后阶数k的确定：k过大，自由度降低。k过小，误差项自相关较严重。LR统计量(似然比统计量)LR=-2logLk-logLk1 ：匚这里k表示模型中滞后变量的最大滞后期， logLk和logLk1分别为VARk和VARk1模型的极大似然估计值。极大似然估计的最大值为logL(C1,...,CkX1,...,Xt)=C0—2log良

其中3=丄瓦u其中3=丄瓦u；?rTt丄ctnIcTNCo logi.2：TNlog2二12此时LR统计量渐进服从n2分布。当LRLR临界值时，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值。AIC赤池信息准则AICdog丄、AICdog丄、Tt4I?表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。3.SC舒瓦茨准则(BIC)厂‘『1丄\klogTBIC=log U2IT心丿TVAR模型的特点:VAR不宜严格的经济理论为依据，在建模过程中仅需要确定两件事： 1)共有那些变量相互之间有关系。2)确定滞后期。VAR模型没有参数的零约束。VAR模型中有相当多的参数需要估计。§5 VAR模型的协整一.对于VAR模型Y-TTiY^匸2Y,•…匸kY「Ut (1)这里utIID0/1。如果Y；:I1非平稳，则变换参数厶Y _2代忍—k,Y_匸(2)其中厶为一阶差分算子， Y；表示对向量Y；中全部变量取一阶差分后的N1阶列向量。■i—I二…二,i=1,…，k二二Fk=T•二1•…••二k称为影响矩阵或压缩矩阵。从（1）到（2）的变换称为协整变换。因为 Y：I1，所以Yt:I0于是，如果二Y上非平稳，则Yt的分量不存在协整关系。 如果二Ytj.平稳，则Y的分量存在协整关系。二•二Y上的特征两种极端情形：1）Y所包含的变量不存在任何协整关系，如果 二Y上平稳，则必然二=O,rk二=0。2）Y所包含的变量不存在任何协整关系， rk二二N，如果二Y丄平稳，则必然Yt所包含的变量都是平稳的。第三种情形：如果Yt非平稳，则二平稳意味着Yt中的变量一定存在协整关系。此时rk二二r,0:::r::N，则此时二可以分解为二八「，其中〉「都是Nr矩阵，一：称作协整参数矩阵， 1的每一列都是一个协整向量，卩：."，…，二共有r个协整向量化：I0。结论：协整向量的最大可能个数是 r二N-1。邙JP2此时口¥乂=口0 =（円，^2,…，□「）- 具有误差修正形式。三.协整参数矩阵的估计（JOHANSEN估计）：要正确的估计r其估计是在二二：上•成立条件下，通过选择不同的 r值，对极大似然法对VAR模型飞-「WJ…「甘Jdu进行估计。估计过程如下：1•用样本数据确定协整参数矩阵 1的秩r，对于任何r<N，模型的零假设是：H°:r二-r,或者说二「上I其中:-都是Nr矩阵。2.构造LR统计量，得到极大似然函数：

logL［「1logL［「1-ki,__丫1，…,齐=Co-§log'?3=丄迟uu其中Tt-c tn, cTNTN, c dCo