函数方程不等式专题

./函数、方程、不等式综合应用专题一、专题介绍函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识,函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的在联系,在初中阶段,应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的在联系,并把这种在联系作为学生学习的基本指导思想,这也是初中阶段数学最为重要的容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此,第二轮中考复习,对这部分容应予以重视。这一专题,往往以计算为主线,侧重决策问题,或综合各种几何知识命题,近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力,要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识,较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的"背景"下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决。三、考点精讲考点一:一次函数,反比例函数,二次函数综合1.已知二次函数的图象如图所示,那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是[]A．B．C．D解析：∵二次函数图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴x=-b/2a＜0,∴b＜0,∵二次函数图象经过坐标原点,∴c=0,∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点,反比例函数y=a x位于第二四象限,纵观各选项,只有C选项符合．故选C．课堂练习：1已知：M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为〔a,b,则二次函数y=﹣abx2+〔a+bx〔A．有最大值,最大值为B．有最大值,最大值为C．有最小值,最小值为D．有最小值,最小值为2.某公司销售一产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y〔万件与销售单价x〔元存在如图所示的关系,每年销售该产品的总开支z〔万元〔不含进价与年销量y〔万件存在函数关系z=10y+42.5．〔1求y关于x的函数关系式；〔2写出该公司销售该产品年获利w〔万元关于销售单价x〔元的函数关系式；〔年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额当销售单价x为何值时,年获利最大？最大值是多少？〔3若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用〔2小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的围．在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元？考点二：函数与方程〔组综合应用例2．某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助,其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元,初中生每生每天5元,已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人,且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生．设该乡镇现有小学生x人．〔1用含x的代数式表示：该乡镇小学生每天共需营养补助费是____元．该乡镇初中生每天共需营养补助费是_____元．〔2设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元,求y与x之间的函数关系式；〔3若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元,问小学生、初中生分别有多少人？解答： 解：〔1小学生每天所需营养费=4×2%x+3〔1﹣2%x=3.02x；中学生所需营养费=5×2%〔1000﹣x+3×〔1﹣2%〔1000﹣x=3040﹣3.04x；〔2根据题意得y=3.02x+3040﹣3.04x=3040﹣0.02x；〔3令y=3029,故3040﹣0.02x=3029解得：x=550,故中学生为1000﹣550=450人．答：小学生有550人,中学生有450人．课堂练习3．某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克．〔1现该商场要保证每天盈利1500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？〔2若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多？4.体育课上,老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地,围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x〔单位：米,矩形ABCD的面积为S〔1求S与x之间的函数关系式〔不要求写出自变量x的取值围；〔2若矩形ABCD的面积为50平方米,且AB＜AD,请求出此时AB的长.考点三：函数与不等式〔组综合应用例3.国家推行"节能减排,低碳经济"政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x〔套与每套的售价y1〔万元之间满足关系式y1=170-2x,月产量x〔套与生产总成本y2〔万元存在如图所示的函数关系.〔1直接写出y2与x之间的函数关系式；〔2求月产量x的围；〔3当月产量x〔套为多少时,这种设备的利润W〔万元最大？最大利润是多少？解：〔1y2=500+30x.〔2依题意得：解得：25≤x≤40〔3∵W=xy1-y2=x<170-2x>-<500+30x>=-2x2+140x-500,∴W=-2<x-35>2+1950.而25<35<40,∴当x=35时,.即月产量为35件时,利润最大,最大利润是1950万元．课堂练习：5.某校为开展好大课间活动,欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．〔1设购买排球数为x〔个,购买两种球的总费用为y〔元,请你写出y与x的函数关系式〔不要求写出自变量的取值围；〔2如果购买两种球的总费用不超过6620元,并且篮球数不少于排球数的3倍,那么有哪几种购买方案？〔3从节约开支的角度来看,你认为采用哪种方案更合算？6.为了扶持农民发展农业生产,国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元,用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求,这些收割机可以全部销售,全部销售后利润不少于15万元．其中,收割机的进价和售价见下表：A型收割机B型收割机进价〔万元/台5.33.6售价〔万元/台64设公司计划购进A型收割机x台,收割机全部销售后公司获得的利润为y万元．〔1试写出y与x的函数关系式；〔2市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？〔3选择哪种购进收割机的方案,农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下,购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？7．去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,"旱灾无情人有情"．某单位给某,乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件．〔1求饮用水和蔬菜各有多少件？〔2现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；〔3在〔2的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？8.某工厂有一种材科,可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天加工完戚．并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息。解答下列问题：〔1设加工甲配件的人数为x,加工乙配件的人数为y,求y与x之间的函数关系式。〔2如果加工每种配件的人数均不少于3人．那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．〔3要使此次加工配件的利润最大,应采用〔2中哪种方案？并求出最大利润值．配件种类甲乙丙每人可加工配件的数量〔个161210每个配件获利〔元685考点四：方程〔组与不等式〔组综合应用9．学校举办"迎奥运"知识竞赛,设一、二、三等奖共12名,奖品发放方案如下表：

小明在购买奥运福娃和奥运徽章前,了解到如下信息：2盒奥运福娃和1枚奥运徽章共315元,1盒奥运福娃和3枚奥运徽章共195元．

〔1求一盒奥运福娃和一枚奥运徽章各多少元？

〔2若本次活动设一等奖2名,用于购买奖品的费用不少于1000元但不超过1100元,则二等奖和三等奖各设多少名?解析：〔1设一盒福娃为x元,1枚徽章为y元。由题意得：解得：答：一盒福娃为150元,一枚徽章为15元；〔2设二等奖有z名,则三等奖为〔10-z名。由题意得1000≤〔150+15×2+150z+15〔10-z≤1100解得,所以z=4答：二等奖有4名,三等奖有6名。课堂练习10.已知关于x的一元二次方程x2+<4m+1>x+2m-1=O．<1>求证：不论m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根；11.老师想为希望小学四年〔3班的同学购买学习用品,了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．〔1每个书包和每本词典的价格各是多少元?〔2老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品<一个书包或一本词典>后．余下不少于lOO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?12.某市在道路改造过程中,需要铺设一条长为1000米的管道,决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米,且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．〔1甲、乙工程队每天各能铺设多少米？〔2如果要求完成该项工程的工期不超过10天,那么为两工程队分配工程量〔以百米为单位的方案有几种？请你帮助设计出来．考点五：函数、方程〔组与不等式〔组综合应用例5．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆。由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装。生产开始后,调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。〔1每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？〔2如果工厂招聘n〔0<n<10名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？〔3在〔2的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资,给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W〔元尽可能的少？[解答]<1>每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车,根据题意可列方程,解得答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车.〔2设需熟练工m名,依题意有：2n×12+4m×12=240,n=10-2m∵0<n<10∴0<m<5故有四种方案：〔n为新工人〔3依题意有W=1200n+〔5-×2000=200n+10000,要使新工人的数量多于熟练工,满足n=4、6、8,故当n=4时,W有最小值=10800元课堂练习：13.如图所示,某地区对某种药品的需求：y1=－x+70,y2=2x－38,需求量为0时,即停止供应.当y1=y2时,该药品的价格称为稳定价格,需求量称为稳定需求量.〔1求该药品的稳定价格与稳定需求量.〔2价格在什么围,该药品的需求量低于供应量？〔3由于该地区突发疫情,政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格,以利提高供应量.根据调查统计,需将稳定需求量增加6万件,政府应对每件药品提供多少元补贴,才能使供应量等于需求量.OxOx<元/件>y<万件>y1=－x+70y2=2x－3814.一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨,准备加工后进行销售,销售后获利的情况如下表所示：销售方式粗加工后销售精加工后销售每吨获利〔元10002000已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨,但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制,公司必须在一定时间将这批蔬菜全部加工后销售完.⑴如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜,则公司应安排几天精加工,几天粗加工？⑵如果先进行精加工,然后进行粗加工.①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间,将140吨蔬菜全部加工完后进行销售,则加工这批蔬菜最多可获得多少利润？此时如何分配加工时间？15.为了更好地治理木兰溪水质,保护环境,市治污公司决定购买10台污水处理设备,现有AB两种设备,AB单价分别为a万元/台b万元/台月处理污水分别为240吨/月200吨/月,经调查买一台A型设备比买一台B型设备多2万元,购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．〔1求a、b的值．〔2经预算,市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元,你认为该公司有哪几种购买方案？〔3在〔2的条件下,若每月处理的污水不低于2040吨,为了节约资金,请你为治污公司设计一种最省钱的方案．解析：〔1由题意,得a-b=2 2a-3b=-6 ,解得：a=12 b=10 ．答：a=12,b=10；〔2设购买A种设备x台,则购买B种设备〔10-x台,由题意,得0≤12x+10〔10-x≤105,解得：0≤x≤2.5,∵x为非负整数,∴x=0,1,2∴有三种购买方案：方案1：购买A种设0台,购买B种设备10台,方案2：购买A种设1台,购买B种设备9台,方案1：购买A种设2台,购买B种设备8台,〔3由题意,得240x+200〔10-x≥2040,解得：x≥1,设购买需要的总费用为W万元,由题意,得W=12x+10〔10-x,=2x+100．∴k=2＞0,∴W随x的增大而增大,∴当x=1时,W最小=102,∴购买A种设1台,购买B种设备9台最省钱．[答案]1.解：〔1根据题意〔2当S=50时整理得解得当AB=5时,AD=10；当AB=10时,AD=5,∴AB=5答：当矩形ABCD的面积为50平方米且时,AB的长为5米2.解：〔1y=<6－5.3>x+<4－3.6><30－x>=0.3x+12．〔2依题意,有即∴10≤x≤12．∵x为整数,∴x=10,11,12．即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：方案1：购A型收割机10台,购B型收割机20台；方案2：购A型收割机11台,购B型收割机19台；方案3：购A型收割机12台,购B型收割机18台．〔3∵0.3＞0,∴一次函数y随x的增大而增大．即当x=12时,y有最大值,y最大=0.3×12+12=15.6〔万元．此时,W=6×13%×12+4×13%×18=18.72〔万元．3.解：设甲工程队每天能铺设x米,则乙工程队每天能铺设〔x﹣20米．根据题意得：．解得x＝70．检验:x＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．〔2解：设分配给甲工程队y米,则分配给乙工程队〔1000﹣y米．由题意,得解得．所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米,分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米,分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米,分配给乙工程队300米．4.解：⑴设应安排x天进行精加工,y天进行粗加工,根据题意得：EQ\B\lc\{<\a\al<x＋y＝12,,5x＋15y＝140.,>>解得EQ\B\lc\{<\a\al<x＝4,,y＝8.,>>答：应安排4天进行精加工,8天进行粗加工．⑵①精加工m吨,则粗加工〔140－m吨,根据题意得：W＝2000m＋1000〔140－m＝1000m＋140000.②∵要求在不超过10天的时间将所有蔬菜加工完,∴EQ\f<m,5>＋EQ\f<140－m,15>≤10解得m≤5.∴0＜m≤5.又∵在一次函数W＝1000m＋140000中,k＝1000＞0,∴W随m的增大而增大,∴当m＝5时,Wmax＝1000×5＋140000＝145000.∴精加工天数为5÷5＝1,粗加工天数为〔140－5÷15＝9.∴安排1天进行精加工,9天进行粗加工,可以获得最多利润为145000元．第二部分练习部分1.〔20XX中考题已知关于x的一元二次方程x2=2〔1－mx－m2的两实数根为x1,x2．〔1求m的取值围；〔2设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值．2.〔201年中考题已知关于x的方程．〔1若这个方程有实数根,求k的取值围；〔2若这个方程有一个根为1,求k的值；〔3若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上,求满足条件的m的最小值．4.〔20XX广西中考题玉柴一分厂计划一个月〔按30天计生产柴油机500台。〔1若只生产一种型号柴油机,并且每天生产量相同,按原先的生产速度,不能完成任务；如果每天比原先多生产1台,就提前完成任务。问原先每天生产多少台？〔2若生产甲、乙两种型号柴油机,并且根据市场供求情况确定；乙型号产量不超过甲型号产量的3倍。已知：甲型号出厂价2万元,乙型号出厂价5万元,求总产值w最大是多少万元。5.〔20XX中考题随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计,20XX底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到20XX底,全市的汽车拥有量已达216万辆．〔1求20XX底至20XX底该市汽车拥有量的年平均增长率；〔2为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到20XX底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计,从20XX初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．7.〔20XX嵊州中考题为支持搞震救灾,某市A、B、C三地现分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨,需全部运往重灾地区D、E两县,根据灾区情况,这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。〔1求这赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？〔2若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨,A地运往D的赈灾物资为吨〔为整数,B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍,其余的赈灾物资全部运往E县,且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨,则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？〔3已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用〔元／吨220200200运往E县的费用〔元／吨250220210为即时将这批赈灾物资运往D、E两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在〔2问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？8.〔20XX中考题如图所示,已知抛物线的图象与轴相交于点,点在该抛物线图象上,且以为的⊙恰好经过顶点．〔1求的值；〔2求点的坐标；〔3若点的纵坐标为,且点在该抛物线的对称轴上运动,试探索：①当时,求的取值围〔其中：为△的面积,为△的面积,为四边形OACB的面积；②当取何值时,点在⊙上．〔写出的值即可[分析]〔1由题意知当y1=y2时,该药品的价格称为稳定价格,需求量称为稳定需求量,即把y1=－x+70,y2=2x－38联立方程组求解.〔2求该药品的需求量低于供应量时的价格围,从图象上看就是求交点右侧部分所对应的自变量x的围.〔3正确理解题意是关键,通过联立方程组求解.稳定需求量增加6万件,即y1=34+6=40万件；供应量等于需求量,即y1=y2.[解答]解：〔1由题可得,当y1=y2时,即－x+70=2x－38∴3x=108,∴x=36当x=36时,y1=y2=34,所以该药品的稳定价格为36元/件,稳定需求量为34万件.〔2令y1=0,得x=70,由图象可知,当药品每件价格在大于36元小于70元时,该药品的需求量低于供应量.〔3设政府对该药品每件价格补贴a元,则有,解得所以政府部门对该药品每件应补贴9元.[评注]应用函数解决实际问题是中考考查的重点．本题以药品供应及需求为背景,综合考查一次函数与一元一次不等式、方程的关系,具有一定的效度.[答案]1.解:〔1将原方程整理为x2+2〔m－1x+m2=0．∵原方程有两个实数根,∴△=[2〔m－12－4m2=－8m+4≥0,得m≤．〔2∵x1,x2为x2+2〔m－1x+m2=0的两根,∴y=x1+x2=－2m+2,且m≤．因而y随m的增大而减小,故当m=时,取得极小值1．2.解:〔1由题意得△＝≥0化简得≥0,解得k≤5．〔2将1代入方程,整理得,解这个方程得,.〔3设方程的两个根为,,根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得,那么,所以,当k＝2时m取得最小值－53.解：<1>,<2>,解得,所以有两种方案：方案一：2台A型设备、8台B型设备,方案二：3台A型设备、7台B型设备,方案一需104万元资金,方案二需106万元资金,所以方案一最省钱,需要104万元资金4.解：〔1解：设原先每于生产x台,故有解得因x是正整数,所以x＝16答：略〔2设甲型号机为m台,则乙型号机为500－m,且有500－m3mm≥125而w＝2m＋3〔500－m＝－m＋1500因为一次函数的一次项系数为负,故w随m的增大而减少,故当m＝125时,w的值最大,最大值是－125＋1500＝1250万元答：略5.解：〔1设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意,得解得,〔不合题意,舍去。答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。〔2设全市每年新增汽车数量为万辆,则20XX底全市的汽车拥有量为万辆,20XX底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得解得答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。6.〔1解法一:设饮用水有x件,则蔬菜有件.依题意,得解这个方程,得,答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．解法二：设饮用水有x件,蔬菜有件.依题意,得解这个方程组,得答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件．〔2设租用甲种货车辆,则租用乙种货车辆.依题意,得解这个不等式组,得为整数,∴m＝2或3或4,安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆,乙车6辆；②甲车3辆,乙车5辆；③甲车4辆,乙车4辆．〔33种方案的运费分别为：①2×400+6×360＝2960元；②3×400+5×360＝3000元；③4×400+4×360＝3040元．∴方案①运费最少,最少运费是2960元．答:运输部门应选择甲车2辆,乙车6辆,可使运费最少,最少运费是2960元7.〔1设这批赈灾物资运往县的数量为吨,运往县的数量为吨．由题意,得解得答：这批赈灾物资运往县的数量为180吨,运往县的数量为100吨．〔2由题意,得解得即．为整数,的取值为41,42,43,44,45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体