医科高等数学第一章

生物医学工程学院

数学物理系

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tan-xiaodan@

Tel患者，男，50岁劳累后出现心前区疼痛，疼痛主要位于胸骨上段，向左上肢放射，疼痛时呈绞榨样或紧缩样剧痛，持续3min~5min后缓解。入院诊断为心绞痛急性发作给予硝酸甘油治疗，每次0.5mg，发作时舌下含服。问硝酸甘油治疗心绞痛为何要舌下含服？口服是否也能取得较好疗效？药物动力学模型第五章微分方程基础生物种群增殖P．F．Verhulst(1838)种群个体总数

种群增长率

环境容纳量

生物种群增殖(cont’d)环境容纳量

种群增长率

自然生长方程种群个体总数

第五章微分方程基础t=0时种群个体总数

肿瘤生长肿瘤的生长速率由当前肿瘤的体积来决定V是肿瘤体积

b是一个表征肿瘤的生长速率的参数

肿瘤化疗Vt0λ2λ1V0>λ2λ2>V0>λ1V0<λ1肿瘤的体积肿瘤化疗(cont’d)Bayesianapproachtocancer-trendanalysisusingage-stratifiedPoissonregressionmodels.StatMed.2010Sep14.GhoshP,GhoshK,TiwariRC.DepartmentofQuantitativeMethodsandInformationSystems,IndianInstituteofManagement,BannerghattaRoad,Bangalore560076,India.AbstractAnnualPercentageChange(APC)summarizestrendsinage-adjustedcancerratesovershorttime-intervals.Thismeasureimplicitlyassumeslinearityofthelog-ratesovertheintervalsinquestion,whichmaynotbevalid,especiallyforrelativelylongertime-intervals.AnalternativeistheAverageAnnualPercentageChange(AAPC),whichcomputesaweightedaverageofAPCvaluesoverintervalswherelog-ratesarepiece-wiselinear.Inthisarticle,weproposeaBayesianapproachtocalculatingAPCandAAPCvaluesfromage-adjustedcancerratedata.Theprocedureinvolvesmodelingthecorrespondingcountsusingage-specificPoissonregressionmodelswithalog-linkfunctionthatcontainsunknownjoinpoints.Theslope-changesatthejoinpointsareassumedtohaveamixturedistributionwithpointmassatzeroandthejoinpointsareassumedtobeuniformlydistributedsubjecttoorder-restrictions.Additionally,theage-specificinterceptparametersaremodelednonparametricallyusingaDirichletprocessprior.TheproposedmethodcanbeusedtoconstructBayesiancredibleintervalsforAAPCusingage-adjustedmortalityrates.Thisprovidesasignificantimprovementoverthecurrentlyavailablefrequentistmethod,wherevariancecalculationsaredoneconditionalonthejoinpointlocations.Simulationstudiesareusedtodemonstratethesuccessofthemethodincapturingtrend-changes.Finally,theproposedmethodisillustratedusingdataonprostatecancerincidence.Copyright©2010JohnWiley&Sons,Ltd.PMID:20839366[PubMed-assuppliedbypublisher]贝叶斯：英国数学家(1702-1761)物理学物理现象的观测数学的描述F=ma物理学的描述生命科学生命现象的观测数学描述？生物学的描述生命科学成熟需要数学的思维和方法理性阶段理性阶段经验阶段经验阶段意义W.Gilber因发明了一种DNA快速测序方法同F.Sanger分享1980年诺贝尔化学奖1991年在英国《自然》指出：“……今后生物学研究项目的起点将是理论的。一位科学家将从理论猜测开始，然后才转向实验室去继续或检验该假设”这一观点正在被越来越多的生命科学工作者所认同。医科高等数学

MedicalAdvancedMathematics

内容：第一章函数、极限和连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章多元函数微积分第五章微分方程基础微积分学——高等数学的核心极限微分连续积分逆问题极限定积分导数连续学好数学充分认识学习数学于医学乃至整个生命科学的重要意义。认真理解、牢固掌握基本理论，基本概念，基本公式。（注意定理的前提条件）多练习、多思考(准备草稿本)第一章函数、极限和连续函数，初等函数，复合函数Function,elementaryfunction,compoundfunction极限，数列的极限Limit,limitofasequence函数的连续性Continuityoffunction第一节函数一、函数的概念（要点）二、函数的性质:（要点）有界性单调性奇偶性周期性三、函数的分类初等函数：基本初等函数、复合函数（要点、难点）、初等函数分段函数一、函数的概念圆周率π：3.1415926535897932384626常量(constant):始终保持不变的量变量(variable):可以变化的量Yong’srule

d是常量,a和c变量,c随a的改变而改变

某药物的成人剂量该药物的未成年人剂量未成年人的年龄中学阶段研究得比较深入的函数三角函数对数函数幂函数…映射设X和Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作：定义1-1函数设数集,则称映射f：为定义在D上的函数(function).记为:变量x称为自变量(independentvariable);变量y称为因变量(dependentvariable);因变量与自变量间的依赖关系称为函数关系;定义1-1函数(cont’d)D称为函数的定义域(domain);y所有对应值的集合称为函数的值域(range),记为R.当自变量取某一定值时,函数f(x)的对应值称为函数当时的函数值,记为.例求函数在的函数值,并求它的定义域及值域.

例(cont’d)所以函数的定义域为值域为关于定义域的说明如果函数本身没指明范围,那么函数定义域就是指使表达式有意义的一切自变量取值的集合,即“自然定义域”.一般考虑以下方面:1)当函数含有偶次根式时,根号内的式子必须大于或等于零;关于定义域的说明(cont’d)2)当函数为分式时,分母不能等于零;3)当函数含有对数式时,真数必须大于零,关于定义域的说明(cont’d)3)如果含有三角函数,反三角函数时,要根据函数的定义来决定其自变量的范围;关于定义域的说明(cont’d)关于定义域的说明(cont’d)4)在实际问题中,函数的定义域则要由问题的实际意义来决定.Yong’srule二、函数的性质函数的有界性函数的单调性函数的奇偶性函数的周期性函数的有界性oM-Mxy=f(x)有界ab无界M-Mxoab函数的有界性(cont’d)(bounded)(unbounded)函数的有界性(cont’d)函数有界性判断：需要一些技巧把f(x)与某个熟知其有界的基本初等函数相比较进行判断；如果函数连续，则在闭区间上有界。函数的单调性ABCxyoxyo函数的单调性(cont’d)x1x2x1x2函数的单调性(cont’d)函数单调性判断：用函数的导数判断函数的单调性函数的奇偶性xyox-xf(-x)=f(x),偶函数，图形关于y轴对称函数的奇偶性(cont’d)x-xoyxf(-x)=-f(x),奇函数，图形关于原点对称函数的奇偶性(cont’d)函数的奇偶性(cont’d)函数的奇偶性四则运算小结：偶函数×偶函数=偶函数f(－x)×g(－x)=f(x)×g(x)偶函数±偶函数=偶函数

f(－x)±

g(－x)=f(x)±

g(x)偶函数×奇函数=奇函数f(－x)×g(－x)=f(x)×[－g(x)]=－f(x)×g(x)函数的奇偶性(cont’d)偶函数±奇函数=非奇非偶函数f(－x)±

g(－x)=f(x)±[－g(x)]奇函数×奇函数=偶函数f(－x)×g(－x)=[－f(x)]×[－g(x)]=f(x)×g(x)奇函数±奇函数=奇函数f(－x)±

g(－x)=[－f(x)]±[－g(x)]=－[f(x)±

g(x)]函数的周期性函数的周期性(cont’d)常数函数：y=c（c是常数）是周期函数吗？周期是多少？解：是周期函数。周期为任何数。三、函数的分类初等函数：1、基本初等函数2、复合函数3、初等函数分段函数1、基本初等函数(basicelementaryfunction)正割余割基本初等函数(cont’d)幂函数指数函数基本初等函数(cont’d)对数函数基本初等函数(cont’d)三角函数正弦函数基本初等函数(cont’d)基本初等函数(cont’d)正切函数基本初等函数(cont’d)余切函数基本初等函数(cont’d)正割函数基本初等函数(cont’d)余割函数基本初等函数(cont’d)反三角函数基本初等函数(cont’d)基本初等函数(cont’d)基本初等函数(cont’d)基本初等函数(cont’d)2、复合函数例：一种阔叶乔木成材后的侧枝数目B是树高度h的函数：

B(h)=4h-8平均每一树枝树叶数量Ｌ又是树枝数目Ｂ的函数：那么整棵树的树叶总量S是多少？S既是B的函数，同时也是h的函数定义1-2复合函数设y是变量u的函数:

u是变量x的函数：如果对变量x的某些值，变量u的对应值恰在U中，因而能够确定y的值，则称y是x的复合函数（compoundfunction),记为：变量u称为复合函数的中间变量。

复合函数(cont’d)例设：求y关于x的复合函数复合函数(cont’d)例设：求：f[g(x)]、f[f(x)]、g[f(x)]、g[g(x)]注意:复合顺序是关键复合函数(cont’d)复合函数定义：如果对变量x的某些值，变量u的对应值恰在U中，因而能够确定y的值，则称y是x的复合函数若经过变量代入后,复合函数的定义域为空集,则此复合函数无意义,不能复合.例：求y关于x的复合函数?复合函数的分解(求导中需要用到)例：把下面复合函数分解为若干个基本初等函数或由它们通过四则运算而得到的简单函数.与相应的基本初等函数比较,看自变量的位置是“x”还是函数；若是x，则不用分解；若是函数,令其为中间变量u；与相应的基本初等函数比较,看自变量的位置是“x”还是函数；若是x

，则不用分解；若是函数,令其为中间变量u；再把函数u与相应的基本初等函数比较，看自变量的位置是“x”还是函数；若是x

，则分解结束；若是函数,令其为中间变量v；对v重复以上做法，以此类推，直到自变量的位置是“x”为止．复合函数分解(cont’d)复合函数的分解(cont’d)例：把下面复合函数分解为简单函数.复合函数的分解(cont’d)复合函数的分解(cont’d)复合函数——两种抽象形式已知例设复合函数——两种抽象形式已知例已知弄清几个问题2.并非任何两个函数都可以复合成复合函数;1.复合函数的定义域小于(等于)子函数的定义域;3.复合函数允许有有限个中间变量;4.复合函数分解时分解到简单函数即可.3、初等函数(elementaryfunction)4、分段函数(piecewisefunction)未成年人服药剂量的Cowling公式为请问多大年龄时,该剂量达到成人剂量?这是一个分段函数.分段函数(cont’d)成人剂量未成年人年龄第一节小结一、函数概念（要点）二、函数的性质:（要点）有界性单调性奇偶性周期性三、函数的分类初等函数：基本初等函数、复合函数（要点、难点）、初等函数分段函数第一节小结定义1-1函数设数集,则称映射f：为定义在D上的函数(function).记为:变量x称为自变量(independentvariable);变量y称为因变量(dependentvariable);因变量与自变量间的依赖关系称为函数关系;关于定义域的说明一般考虑以下方面:1)当函数含有偶次根式时,根号内的式子必须大于或等于零;2)当函数为分式时,分母不能等于零;3)当函数含有对数式时,真数必须大于零,4)如果含有三角函数,反三角函数时,要根据函数的定义来决定其自变量的范围;5)复合函数的定义域是其内层函数定义域的子集5)在实际问题中,函数的定义域则要由问题的实际意义来决定.第一节小结——函数的性质:（要点）二、函数的性质:（要点）第一节小结——函数的性质:（要点）第一节小结——函数的分类三、函数的分类初等函数：基本初等函数复合函数（要点、难点）

初等函数分段函数1、基本初等函数(basicelementaryfunction)复合函数的定义设y是变量u的函数:

u是变量x的函数：如果对变量x的某些值，变量u的对应值恰在U中，因而能够确定y的值，则称y是x的复合函数（compoundfunction),记为：变量u称为复合函数的中间变量。

复合函数的分解与相应的基本初等函数比较,看自变量的位置是“x”(其他字母)还是函数；若是x，则不用分解；若是函数,令其为中间变量u；仿照上述办法，再把函数u与相应的基本初等函数比较，看自变量的位置是“x”(其他字母)还是函数；若是x，则分解结束；若是函数,令其为中间变量v；对v重复以上做法，以此类推，直到自变量的位置是“x”为止．弄清几个问题2.并非任何两个函数都可以复合成复合函数;1.复合函数的定义域小于(等于)子函数的定义域;3.复合函数允许有有限个中间变量;4.复合函数分解时分解到简单函数即可.

习题1:1~7相关习题复习一、函数概念（要点）二、函数的性质:（要点）有界性单调性奇偶性周期性三、函数的分类初等函数：基本初等函数、复合函数（要点、难点）、初等函数分段函数第二节极限

(Limits)第二节极限一、极限的概念（要点、难点）1、函数的极限2、函数的极限3、左极限与右极限4、数列的极限二、无穷小量及其性质（要点）1、无穷小量和无穷大量的定义2、无穷小阶的比较三、极限的判断准则（要点）四、极限的运算法则（要点）

五、两个重要极限（要点、难点）

播放1、函数的极限描述性定义:当自变量x的绝对值无限增大时,若函数f(x)无限地趋近于一个常数A,则称:当x趋于无穷大时,函数f(x)以A为极限.记为:例反正切函数xy0π/2-π/2AxyoA+

A

XX1、函数的极限其分析性定义:例证明.例证明.注意|x|>Xx>Xx<-X注意2、函数的极限考虑函数x024y2、函数的极限描述性定义:当自变量x以任意方式无限地趋近于时,若函数f(x)无限地趋近于一个常数A,则称:当时,函数f(x)以A为极限.记为:极限的分析性定义AxyoA+

A

x0

y=f(x)x0x0+xy013、左极限与右极限当自变量x从小于的方向趋近于时,记为:当自变量x从大于的方向趋近于时,记为:若在这样的极限过程中,函数f(x)的极限存在,就称为单侧极限,即左极限或右极限,分别记为:

左、右极限分析性定义极限存在的充要条件对数函数例题例题例题4、数列的极限若函数f(n)的定义域是正整数集，当n从小到大取值，全体对应函数值的排列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…称为数列(sequencesofnumbers).通常用an表示f(n)，且称an为数列的第n项，亦称为通项(generalterm)，并用{an}记此数列。4、数列的极限当n→∞时，数列{an}的极限可类比函数f(x)当自变