《数字信号处理导论-第6章》

第6章无限冲激响应(IIR） 数字滤波器设计6.1滤波器的基本概念；6.2模拟低通滤波器设计；6.3模拟高通、带通及带阻滤波器设计；6.4冲激响应不变法；6.5双线性Z变换法；6.6数字高通、带通及带阻滤波器设计；1.滤波原理6.1滤波器的基本概念

分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)2.滤波器的分类加法性噪声若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将有效去除.经典滤波器现代滤波器维纳滤波器是这类滤波器的典型代表种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,转移函数分别为:FIRDF:IIRDF:直接设计利用模拟滤波器设计3.滤波器的技术要求低通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减单位(dB)若幅度下降到0.707,则幅平方下降0.5（半功率点）：若幅度下降到0.01：高通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减带通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减带阻：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减1.给定所设计的滤波器的技术指标：LP,HPBP,BS2.设计出一个，使满足给定的技术要求没有考虑相位？如何设计IIR、FIR数字滤波器设计的一般步骤:给定数字滤波器的技术指标（更多）得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器？得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器？转换成模拟低通滤波器的技术指标？设计模拟低通滤波器？转换成模拟滤波器的技术指标（更多）？数字IIR滤波器设计的具体步骤：1、由幅度平方函数确定模拟滤波器的系统函数h(t)是实函数将左半平面的的极点归将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为的零点，虚轴上的零点一半归6.2模拟低通滤波器的设计由幅度平方函数得象限对称的s平面函数将因式分解，得到各零极点对比和，确定增益常数由零极点及增益常数，得例：解：极点：零点：（二阶）零点：的极点：设增益常数为K02、Butterworth低通逼近幅度平方函数：当称为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率1）幅度函数特点：

3dB不变性

通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小

过渡带及阻带内快速单调减小当（阻带截止频率）时，衰减为阻带最小衰减Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：2）幅度平方特性的极点分布：

极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点

极点间的角度间隔为

极点不落在虚轴上

N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点3）滤波器的系统函数：为归一化系统的系统函数去归一化，得4）滤波器的设计步骤：根据技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：求出归一化系统函数：

或者由N，直接查表得其中技术指标给出或由下式求出：

其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕例：给定如下技术指标，设计模拟低通 Butterworth滤波器Step1.

Step2.

Step3.

Step4.

Step5.

3、Chebyshev低通逼近

巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富余量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。所以，更有效的办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀分布在通带与阻带内，这样在同样通带、阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。

切比雪夫滤波器的幅度特性就在一个频带中（通带或阻带）具有这种等波纹特性。一种是在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切比雪夫I型；一种是在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫II型。在通带及阻带中都呈均匀分布（等波纹特性）的滤波器称为椭圆函数滤波器，或称考尔滤波器。切比雪夫I型滤波器的幅度特性切比雪夫II型滤波器的幅度特性N：滤波器的阶数幅度平方函数：

：截止频率，不一定为3dB带宽

，表示通带波纹大小，越大，波纹越大

：N阶Chebyshev多项式的确是的多项式首项系数是

1）幅度函数特点：

通带外：迅速单调下降趋向0N为偶数N为奇数

通带内：在1和间等波纹起伏

2）Chebyshev滤波器的三个参量：

：通带截止频率，给定

：表征通带内波纹大小N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数由通带衰减决定阻带衰减越大所需阶数越高为阻带截止频率3）幅度平方特性的极点分布：4）滤波器的系统函数：其中：5）滤波器的设计步骤:确定技术指标：根据技术指标求出滤波器阶数N及：或者由N和，直接查表得其中极点由下式求出：求出归一化系统函数：去归一化 模拟高通,带通,带阻滤波器设计流程6.3模拟高通、带通及带阻滤波器的设计设计模拟低通滤波器G(p)给定高通、带通或带阻的技术指标频率转换低通滤波器技术指标得到高通、带通或带阻滤波器H(s)频率转换想办法实现高通到低通的转换：

低通幅频高通幅频给定高通滤波器的技术指标：先作频率归一化：一、模拟高通滤波器的设计或由：如何：？（HP）实现：设计出（LP）归一化高通滤波器的复变量归一化低通滤波器的复变量得：于是可得到模拟高通滤波器的转移函数

后面带通、带阻滤波器和低通滤 波器的转换过程大体相同。对带通滤波器，如何实现频率的归一化？定义：有：用带宽归一化二、模拟带通滤波器的设计然后要实现带通滤波器技术指标到低通的转换。关键问题是找到对应关系：定义中心频率：由于所以有N阶低通滤波器转换到带通后,阶次变为2N.带阻滤波器频率归一化方法同带通滤波器定义：有：？三、模拟带阻滤波器的设计得到：及带阻滤波器的转移函数：

以上讨论的是模拟低通、高通、带通及带阻滤波器的设计，然而这并不是我们的目的。我们的目的是设计数字滤波器。首要的问题是如何将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标，最后再实现模拟滤波器到数字滤波器的转换。6.4用冲激响应不变法设计IIRDF给定数字滤波器的技术指标（更多）转换成模拟滤波器的技术指标（更多）转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器得到模拟高通、带通、带阻滤波器得到数字高通、带通、带阻滤波器？？利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器最直接的方法，将：利用：？但这样做，将不再是的有理多项式，给极－零分析带来困难。但对进行时域抽样时可能会发生混迭失真仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：步骤:缺点:？线性转换关系试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：优缺点优点：缺点：保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好给定数字滤波器的技术指标（更多）转换成模拟滤波器的技术指标（更多）转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器得到模拟高通、带通、带阻滤波器得到数字高通、带通、带阻滤波器？？6.5用双线性Z变换法设计IIRDF1、变换原理使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c2、变换常数c的选择2）某一特定频率严格相对应：1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置3、优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换缺点：

除了零频率附近，与之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变预畸变

给定数字滤波器的截止频率，则按设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到为截止频率的数字滤波器4、模拟滤波器的数字化方法低频处某一特定频率例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率到之间的阻带内，衰减大于15dB。1）由数字滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：a）确定参数3）设计Chebyshev模拟低通滤波器b)求左半平面极点c)构造系统函数