河南省许昌市2024-2025学年八年级上学期数学期末测评卷（含答案与解析）

机密★启用前

2024~2025学年第一学期期末教学质量检测

八年级数学

本试卷满分120分，考试时间为100分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是

（）

2.我国古代数学家祖冲之推算出万的近似值为——，它与乃的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学

113

记数法可以表示为（）

A.3x107B.0.3X10-6C.3x10-6D.3xl07

A

3.根据分式的基本性质，分式一可变形为（）

B

A-AA-A

A—B.一C.----D.------

B-B-B-B

4.李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为2。cm和5。cm,则第三边长度可能是（)

A.30cmB.50cmC.70cmD.80cm

5.已知图中的两个三角形全等，则/a等于（）

D.50°

56a+33a

A.aB.aC.aD.a

7.如图，BE=CF,AE±BC,DF±BC,要根据“HL”证明则还需要添

加一个条件是（）

A.AB=DCB.ZA=ZDC.ZB=NCD.AE=DF

8.如图，在VABC中，NACB=90。，C£>是高，ZA=30°,BD=2,则AB的长为（

C.8D.10

9.在边长为。的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形

（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）

图甲图乙

A.(^a+b^2=a2+2ab+b2B.(Q-b)2-Q2-2"+/

Ca?―/72=(〃+/?)(〃―/7)D.(Q+Z?)(Q-2Z?)=a?-cib-2/

10.如图，在平面直角坐标系中，以。为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M,交y轴负半轴

于点N,再分别以点M,N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点尸.若点尸的坐

2

标为（a,。），则。与6的数量关系为（）

C.a—b—0D.a-b>0

二、填空题（每小题4分，共20分）

Q—3

11.若分式——的值为0,则。的值为

2a

12.图形中尤值为.

13.一个长、宽分别为机、〃的长方形的周长为16,面积为8,则加2〃+m的值为.

14.如图，在平面直角坐标系中，ABO为等边三角形，。为坐标原点，点A关于y轴的对称点为。，连

接.AD.,BD，OD,若点B在x轴的负半轴上，则/BDO的度数为；

15.如图，在等腰RtZXABC中，ZC=90，AC=4,厂是A3边的中点，点。、E分别在AC、BC

边上运动，且保持AO=CE.连接DE、DF、EF.下列结论：①NCDF=NBEF；②」死?是等腰直

角三角形；③四边形CDFE的面积随。，E的运动而变化；④口口面积的最小值为2,其中正确的是（填

序号)_____

三、解答题(本题共7个小题，满分70分)

16.计算：

(1)(6ab+5ci)^a

⑵(-x+3y)(-x-3y)

17.以下是小明同学化简分式-士，士的部分运算过程:

x13

______________________________：__________第一步

(%+3)(九一3)x+33—x

xx-33-x

第二步

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)3

x—x—33—x

第三步

(x+3)(x-3)3

(1)上面的运算过程中第步出现了错误；

(2)请你写出正确的解答过程.

18.VA5C在平面直角坐标系中的位置如图所示.A,B,C三点在格点上.

(1)在图中作出VA3C关于〉轴对称的图形△A与C］；

(2)写出点G的坐标；

(3)在X轴上求作一点尸，使PB+PC最短.(不写作法，保留画图痕迹)

19.列方程解应用题.

2

许昌与郑州两地相距约100km,乘坐某高速列车从许昌到郑州比乘坐普通火车约少用一h,已知高速列车

3

速度是普通火车速度的2.5倍，求此高速列车的速度.

20.如图，AB=AC,NA=40°,AB的垂直平分线脑V交AC于点。，交于点E.

(1)求—DBC的度数；

(2)若AE=6,△BCD的周长为19,求3C的长.

21.请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务.

教科书中这样写道：“我们把多项式/+2。匕+方及4-2。匕+尸叫做完全平方式”.如果一个多项式

不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个

项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以

将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值

等问题.

例如：x2+2x-3=(x2+2x+l)-4=(x+l)2-22=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-l)；

2X2+4X-6=2(X2+2X+1)-8=2(X+1)2-8,则当x=—1时，2必+4x—6有最小值，最小值是一

8.

任务：

(1)若多项式犬-4%+左是一个完全平方式，则常数左=;

2

(2)用配方法分解因式：X-6X-7;

(3)当x为何值时，多项式-2/-4x+3有最大值？并求出这个最大值.

22.(1)观察发现

如图1,已知：在VABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有=

NAEC=Na4C=90°.则图中的一对全等三角形为,线段DE、3D和CE之间的数量关系为.

(2)类比探究

将(1)中的条件改为：在VABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=ZAEC=NBACw90。.则(1)中线段DE，BD,CE之间的关系是否仍然成立？若成立，请仅

就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,点A的坐标为(0,2),点8的坐标为(3,0).在平面直角坐标系中，以点A为直角顶点作等腰直角三

角形ABC,请直接写出点C的坐标.

23.我们通常用作差法比较代数式大小.例如：已知M=2x+3,N=2x+1,比较M和N的大小.先求

M-N,若M—N>0,则M〉N；若M—N<b,则"<N；若M—N=U,则加=".反之亦成

立.本题中因为2W—N=2x+3—(2x+1)=2>0,所以1f>N.

(1)如图1是边长为。的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4,得到如图2所示的新长方形，此长

方形的面积为，；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为$2.

①用含。代数式分别表示

S]=,s2=；

②比较SS2(填“>”、或"=").

⑵已知两个等腰直角三角形（△ACfi和.跳D）边长分别为。和6（。＜与如图4放置在一起，连结

AD.如果尸点是线段CE的中点，连结AP、OP.请比较△”£）与△A3。的面积大小.

（3）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作.甲队有一半时间每天维修公路》千米，另一半

时间每天维修公路y千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修X千米；维修后1千米公路时，每天维修

y千米（xwy）.问甲、乙两队哪队先完成任务？

24.已知，平面内线段A3,点C,M,N,满足：NC4M+/CBN=180，AC=AM,BC=BN,

连接脑V,D为MN的中点，连接AD、BD.

（1）如图1,当点C在线段上时，AD与3D的位置关系如何？请说明理由.

小明仔细思考后得出结论：.思路是：延长3D交40延长线于点H，易证△DMHg/kDVB，

可得DH=BD，MH=BN,即。为却/中点，于是……，请你帮小明写出完整的推理过程.

（2）如图2,当点C在线段AB上方时，若AB=2BD，求NM4C的度数.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.

1.下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

2.我国古代数学家祖冲之推算出万近似值为——，它与万的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学

113

记数法可以表示为（）

A.3x10，B.0.3X10-6C.3X10YD.3xlO7

【答案】A

【解析】

【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：aXlO",在本题中a应为3,10的指数为-7.

【详解】解：0.0000003=3?10-7

故选A

【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为aXIO”,其中lW|a|<10,w由原

数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定.

A

3.根据分式的基本性质，分式一可变形为（）

B

A-AA-A

A.——B.——C.——D.-------

B-B-B-B

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的性质，依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的

数或式子，分式的值不变，判定即可，熟练掌握分式的性质是解决此题的关键.

A_Ax(-l)_-A

【详解】解:

B~Bx(-l)--B

故选：B.

4.李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为20cm和50cm,则第三边长度可能是（)

A.30cmB.50cmC.70cmD.80cm

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了三角形三边的关系，任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边；根据三角形

三边关系逐项判断即可.

【详解】解：设第三边长度为xcm,

则50—20<x<50+20,即30<x<70,

第三边长度可能是5。cm,

故选：B.

5.已知图中两个三角形全等，则/a等于（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质.

直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案.

【详解】解：由全等三角形的性质得：Na是边。和c的夹角，

/.N"50。，

故选：D.

6.计算］鲜锹;第名］的结果是（）

563a

A.aB.aC.产D.a

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查的是乘方的含义，幕的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幕的乘方运算法则

可得答案.

(a-a-=(aa\=aia

【详解】解：'.7V'

a个

故选D

7.如图，BE=CF,AE±BC,DF±BC,要根据“HL”证明MABEZRjOGP,则还需要添

加一个条件是（）

B.ZA=ZDC.ZB=NCD.AE=DF

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查三角形的判定，根据的判定方法，结合题干条件判断，即可解题.

【详解】解：BE=CF,AE±BC,DF±BC,

要根据证明RfABE^RtDCF,

需添加条件为斜边相等，即AB=OC,

故选：A.

8.如图，在VA5C中，NACB=90°,CD是高，ZA=30°,80=2,则AB的长为（）

C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了直角三角形的性质.首先在Rt_CBD中根据直角三角形中30。的锐角所对的直角边等

于斜边的一半可知CB=4,在Rt^ABC中再次利用直角三角形中30。的锐角所对的直角边等于斜边的一

半得到AB=8.

【详解】解：CD是高,

:.ZCDA=90°,

又・ZA=30°,

..ZACD=60。，

ZACB=90%

ZBCD=ZACB-ZACD=90°-60°=30°,

在Rt_CB。中，CB=2BD=2x2=4,

在Rt_ABC中，AB=2CB=2x4=8.

故选：C.

9.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞外(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形

(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式()

B.(^a-b^=a2—2ab+b~

C.cT一厅=(a+6)(aD.—2b)=a?—ab-2麻

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再

根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案.

【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为〃-片；

图乙中阴影部分面积为一个长为a+3,宽为a—6的长方形面积，即为(a+Z?)(a—6)；

..•图甲和图乙中阴影部分面积相等，

=(〃+/?)(〃—/?),

故选：C.

10.如图，在平面直角坐标系中，以。为圆心，适当长为半径画弧，交X轴负半轴于点M，交y轴负半轴

于点N,再分别以点M,N为圆心，大于工MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P.若点尸的坐

2

标为（a,b），则a与b的数量关系为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符

号可得答案.

【详解】解：根据作图方法可得点尸在第三象限角平分线上；点P到X轴、y轴的距离相等；

a-b=O.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出尸点位置是解题关键.

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.若分式g的值为0,则。的值为.

2a

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查分式值为零的条件，由题意直接根据分式的值为零的条件即分子等于零且分母不等于零

进行分析即可.

【详解】解：•••分式的值为0,

2a

a—3=0且2aw0,

解得a=3,

故答案为：3.

12.图形中％的值为.

【答案】50

【解析】

【分析】此题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和定理解题即可.

360-130-130s

【详解】解:x=-----------------=50,

2

故答案为：50.

13.一个长、宽分别为机、〃的长方形的周长为16,面积为8,则加2〃+m的值为.

【答案】64

【解析】

【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键.根据长方形周长与面积公

式求出加"与m+〃的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值.

【详解】解：•一个长、宽分别为〃7、〃的长方形的周长为16,面积为8,

2(m+n)=16»mn=8,

即加+〃=8,mn=8,

则原式=mnim+ri)=64,

故答案为:64.

14.如图，在平面直角坐标系中，A3O为等边三角形，。为坐标原点，点A关于V轴的对称点为。，连

接.AD.,BD,OD,若点B在x轴的负半轴上，则N3DO的度数为；

【答案】30°

【解析】

【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的

关键.

点A关于了轴的对称点为求出NDOE=NECH=90。-N4OB=30。，OA=OD,从而求得

ZBOD=ZAOB+ZAOE+ZDOE=120°,06=OD,即可由NBDO=ZDBO=g(180°—N30D)求

解.

【详解】解：设AD交y轴于E，如图，

1/ABO为等边三角形，

AZAOB=6Q°,OA=OB,

：.ZAOE=900-ZAOB=30°,

/.ZBOD=ZAOB+ZAOE+ZDOE=120°,

点A关于y轴的对称点为D,

ZDOE=ZAOE=30°,OA=OD,

OB-OD,

ZBDO=ZDBO=1(180°-ZBOD)=30°,

故答案为：30°.

15.如图，在等腰RtZkABC中，ZC=90，AC=4,厂是AB边的中点，点。、E分别在AC、BC

边上运动，且保持A£>=CE.连接。石、DF、EF.下列结论：①NCDF=NBEF；②/5m是等腰直

角三角形；③四边形CDEE的面积随。，E的运动而变化；④」）砂面积的最小值为2,其中正确的是（填

序号）.

【答案】①②④

【解析】

【分析】连接CF,作FH±AC于点修，由等腰直角三角形的性质得

BC=AC=4,ZA=ZB=45°,CF=BF=AF,CF±AB,ZDCF=ZBCF=45°则

ZBFC=ZAFC=90°,ZDCF=ZB,可证明DCFgEBF,得

ZCDF=ZBEF,ZCFD=ZBFE,DF=DE,可判断①正确；可求得/DEE=N5FC=90°,可判

断②正确；因为S,C=SBFC=gsABC=4,所以S四边形CDF石=SBFC~4,可判断③错误；因为

111,1,

HF=HC=HA=—AC=2,所以一52=2,由DFNHF得一DF2N—HF2,则S近尸2,所以

2222

S4»EF的最小值是2,可判断④正确，从而确定答案.

详解】解：连接CF,作FHLAC于点修，如图所示：

：VABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.BC=AC=4,ZA=ZB=45°,

；I是AB边的中点,

ACF=BF=AF=-AB,CFLAB,ZDCF=ZBCF=-ZACB=45°,

22

ZBFC=ZAFC=90°,ZDCF=ZB,

;AD=CE,

/.CD=AC—AD=BC—CE=BE,

在.TJCb和△项E中，

CD=BE

<ZDCF=ZB,

CF=BF

：._DCF均EBF（SAS）,

：.ZCDF=NBEF,ZCFD=NBFE,DF=EF,SLnfrLF.rStFLRDFr,7

故①正确；

/.ZDFE=ZCFD+ZCFE=NBFE+ZCFE=ZBFC=90°,

；•一。£尸是等腰直角三角形，

故②正确；

'/S——AC-BC=—x4x4=8,

ARBC22

,"SAFC=SBFC=gS"c=4,

•v-v-v4.v=q-4

,•-四边形CDFE一°DCFTO.ECF~°EBF丁0,ECF~°BFC——，

四边形CDEE的面积不随D,石的运动而变化，

故③错误；

VCF=AF,ZAFC=90°,切，AC于点H,

HF=HC=HA=-AC=2,

2

11

：.-HF92=-x292=2,

22

1,

■：DF>HF,SDEF.DF?,

1,1,

：.-DF2>-HF2,

22

,,UDEF—乙'

S^DEF的最小值是2,

故④正确；

综上所述，正确的结论是①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积、四边形面积、垂线段

最短、不等式性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

三、解答题(本题共7个小题，满分70分)

16.计算：

(1)(6«Z?+5a)+a

(2)(-x+3y)(-x-3y)

【答案】(1)6b+5

(2)X2-9J2

【解析】

【分析】本题考查整式的乘除运算，熟练掌握多项式除以单项式、平方差公式是解题的关键.

(1)直接用多项式除以单项式法则计算即可；

(2)运用平方差公式计算即可.

【小问1详解】

解：原式=66+5.

【小问2详解】

解:原式=(—"_(3»

=x2-9y2.

17-以下是小明同学化简分式〔告一占卜£的部分运算过程:

解：原式=-(——八；——-----o——

+—3)x+33—x

xx-33-x

第二步

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)3

x—x—33—x

(x+3)(x-3)……第二步

(1)上面的运算过程中第步出现了错误；

(2)请你写出正确的解答过程.

【答案】(1)三(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，逐一判断即可解答；

(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

【小问1详解】

解：上面的运算过程中第三步出现了错误，同分母分式相减时，分子应看成一个整理体，加上括号.

故答案为：三；

【小问2详解】

(x1、3

斛：AT-i一

_________x_________________1____：_______3___

(%+3)(九-3)x+33-x

x-(x-3)3—x

(x+3)(x-3)

33—x

(x+3)(x-3)3

x+3

18.VABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.A,B,C三点在格点上.

->

X

（1）在图中作出VA3C关于V轴对称的图形△A耳G；

（2）写出点G的坐标；

（3）在X轴上求作一点P,使PB+PC最短.（不写作法，保留画图痕迹）

【答案】（1）见解析（2）（-3,2）

（3）见解析

【解析】

【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短径问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键.

（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案；

（2）根据点a在坐标系中的位置，写出点G的坐标即可；

（3）取点8关于X轴的对称点"，连接5'。交无轴于点尸，则点尸即为所求.

【小问1详解】

解：如图，△A4C即为所求.

解：由图可得，点G的坐标为(-3,2).

【小问3详解】

解：如图，点尸即为所求.

2

许昌与郑州两地相距约100km,乘坐某高速列车从许昌到郑州比乘坐普通火车约少用一h,己知高速列车

3

速度是普通火车速度的2.5倍，求此高速列车的速度.

【答案】每小时225公里

【解析】

【分析】本题考查分式方程解实际应用题，设普通火车每小时行驶xkm,则高速列车每小时行驶2.5xkm,

由等量关系列出分式方程求解即可得到答案.对于分式方程一定要注意验根，读懂题意，找准等量关系列方

程是解决问题的关键.

【详解】解：设普通火车每小时行驶xkm,则高速列车每小时行驶2.5xkm.

由题意得®2100

+—=

2.5x3x

解得x=90,

经检验，x=90是分式方程的解，

当x=90时，2.5x=90x2.5=225.

答：此高速列车的速度为每小时225公里.

20.如图，AB=AC,NA=40°,A3的垂直平分线MV交AC于点。，交A3于点E.

（1）求ND3C的度数；

（2）若AE=6,△BCD的周长为19,求5c的长.

【答案】（1）30°

（2）7

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，掌握这些知识点的

应用是解题的关键.

（1）由在VA3C中，AB=AC,ZA=40°,利用等腰三角形的性质，即可求得NA5C的度数，然后

由A3的垂直平分线可得AD=6D,继而求得/ABD的度数，则可求得ND3C的度数；

（2）由是的垂直平分线，AE=6,则A3=AC=12,DA=DB，△CBZ）的周长为19,从

而得=+=从而求解.

【小问1详解】

解：AB=AC,

:.ZABC=ZC,

ZABC+ZC+ZA=180°,ZA=40°,

-.ZABC=1Q°,

MV垂直平分AB,

AD=BD，

:.ZABD=ZA=40°,

ZDBC=ZABC-ZABD=30°.

【小问2详解】

解：MN垂直平分AB，

:.AB=2AE,AD=BD.

AE=6,

：.AC=AB=2AE=12,

BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=19,

.-.BC=19-12=7.

21.请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务.

教科书中这样写道：“我们把多项式片+2°。+〃及叫做完全平方式”.如果一个多项式

不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个

项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以

将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值

等问题.

例如：x2+2x-3=(x2+2x+l)-4=(x+l)2-22=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-l)；

2x?+4x—6=2(d+2x+l)—8=2(x+l)2—8,则当x=—1时，2丁+4x—6有最小值，最小值是一

8.

任务：

(1)若多项式幺-4元+人是一个完全平方式，则常数左=;

(2)用配方法分解因式：X2-6X-7；

(3)当无为何值时，多项式-2尤2一4*+3有最大值？并求出这个最大值.

【答案】⑴4⑵(x+l)(x-7)

(3)当x=-l时，一2尤2-4*+3有最大值，最大值是5

【解析】

【分析】本题考查完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方

是求解本题的关键.

(1)先将v-4x+左配方得(x-2y+%-4,然后根据V-4X+左是一个完全平方式得左—4=0,由此即可得

出左的值；

(2)先配成完全平方，再用平方差公式分解；

(3)先配方，再求最值.

【小问1详解】

解：X2—4x+k

二X2-4x+4+4一4

=(无一2了+左一4,

…尤2-4%+%是一个完全平方式，

.,"—4=0,

.,.左=4,

故答案为：4；

【小问2详解】

解：x2-6%-7

=x2-6x+9-9-l

=(尤-3)2-16

=(x-3+4)(x-3-4)

【小问3详解】

解：-2x2-4x+3=-2(尤2+2x+1-1)+3=-2(尤+l)2+5.

-2(X+1)2<0.

,当x=—1时，一2x?-4x+3有最大值，最大值是5.

22.(1)观察发现

如图1,已知：在VA3C中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有=

NA£C=4AC=90°.则图中的一对全等三角形为,线段。£、3D和CE之间的数量关系为.

(2)类比探究

将(1)中的条件改为：在NABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线机上，并且有

ZBDA=ZAEC^ZBAC^90°.则(1)中线段。E，BD,CE之间的关系是否仍然成立？若成立，请仅

就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,点A的坐标为(0,2),点5的坐标为(3,0).在平面直角坐标系中，以点A为直角顶点作等腰直角三

角形ABC,请直接写出点C的坐标.

图I图2图3

【答案】(1)AABD^XCAE,DE=BD+CE；(2)成立，理由见解析；(3)(2,5)或(—2,—1)

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有

“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.

(1)证明RtCAE^RiABD(AAS)即可得解；

(2)结合NBDA=NA£C=4AC,先证明NZM3=NACE,NA5D=NC4E,再证明

一C4EZ；ABD(AAS),,问题即可得解；

(3)根据坐标可得04=2,05=3,满足要求的C点有两个：G、。2,当点C点在点G处时，作

。1加*》轴于从点，证明,043之，"GA,即有

41/=03=3,。4=M£=2,0河=4河+。4=3+2=5,即有。点坐标为(2,5)；当点C点在点C?

处时，作轴于N点，同理可证明：OAB^NC2A,即有AN=OB=3,OA=MC2=2,贝U

ON=AN—Q4=3—2=1,问题随之得解.

【详解】解：(1)VZBDA=ZCEA=90°,

：.ZDBA+ZBAD=90°,

•：ABAC=9Q°,

：.ZCAE+ZBAD^90°,

NCAE=ZABD,

'：AB=AC,

：.RtCAE^RtABD(AAS),

BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE=CE+BD；

故答案为：△ABD名△CAE,DE=BD+CE；

(2)结论依然成立，理由如下：

VZBDA=ZAEC=ZBAC,ZBDA+ZDAB+ZDBA=180°,ZBAC+ZDAB+ZCAE=1SQ°,

ZCEA+ZACE+ZCAE=180°,

NDAB=ZACE,ZABD=ZCAE,

•：AB=AC,

：.CAE^ABD(AAS),

BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE=CE+BD；

(3)•..点A的坐标为(0,2),点8的坐标为(3,0),

OA=2,OB—3,

满足要求的。点有两个：G、Q,,如图，

当点c点在点G处时，作轴于M点，

NC[MA=ZAOB=90°,即ZMAC{+ZMQA=90°,

QA±AB,

NBAG=90°,

ZMAQ+ZOAB=90°,

NOAB=ZMQA,

AB=,

OAB^,MCXA,

AM=OB=3,OA=MG=2,

:.OMAM+OA=3+2=5,

•••G点坐标为（2,5）；

当点C点在点。2处时，作CzNLy轴于N点，

同理可证明：OAB^NC2A,

AN=OB=3,OA=MG=2,

:.ON=AN-OA=3-2=1,

G点坐标为（-2,-1）

综上：C点坐标为（2,5）或（—2,—1）.

附加题（每小题10分，共20分）

23.我们通常用作差法比较代数式大小.例如：已知M=2x+3,N=2x+1,比较M和N的大小.先求

M-N,若M—N>0,则M〉N；若M—则“<N；若M—N=U,则加=N.反之亦成

立.本题中因为"―N=2x+3—（2x+l）=2>0,所以M〉N.

（1）如图1是边长为。的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4,得到如图2所示的新长方形，此长

方形的面积为S；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2.

①用含。的代数式分别表示

，=，S]=；

②比较S]邑(填“>”、或"=").

(2)已知两个等腰直角三角形("四和二3瓦))边长分别为。和b(a<Z?)如图4放置在一起，连结

AD.如果P点是线段CE的中点，连结依、OP.请比较△APD与/XAB。的面积大小.

(3)甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作.甲队有一半时间每天维修公路x千米，另一半

时间每天维修公路〉千米，乙队维修前1千米公路时，每天维修无千米；维修后1千米公路时，每天维修

V千米(xwy).问甲、乙两队哪队先完成任务？

【答案】(1)①a(a+4),(a+2『；②<

(2)>S-BD

(3)甲队

【解析】

【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.

(1)①根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的航与S2的值；

②然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可；

(2)根据SAPO=S梯形CAED-S,ACP-SQEP和S4B0=S梯形ACED-S.ACB—S.£)EB表示二角形的面积,然后

运用比差法解题即可；

(3)表示出甲、乙队完成任务的时间，然后运用比差法解题即可.

【小问1详解】

解：①S；=a(a+4),