《统计学》课件 第五章统计推断

第五章统计推断2110/9/20231版权所有BY统计学课程组第一节总体参数估计第三节总体参数检验第五章参数估计与假设检验p14010/9/20232版权所有BYlazhenx

学习目标1.掌握估计量的优良标准2.参数区间估计的思想与方法3.参数假设检验的临界值法与P值法4.一定条件下，样本容量确定的方法10/9/20233版权所有BYlazhenx

重点与难点1.参数区间估计的统计思想2.估计的可靠程度、平均误差及极限误差的关系3.临界值检验法的统计思想4.P值的计算方法及其含义的理解5.参数检验中的两类错误及其关系10/9/20234版权所有BYlazhenx

第一节总体参数估计p141

一、点估计1.点估计的定义和分类2.估计量的评价标准二、区间估计1.区间估计的含义2.总体均值的区间估计3.总体成数的区间估计4.总体方差的区间估计5.单侧置信区间三、样本容量的确定10/9/20235版权所有BYlazhenx矩估计法最大似然法最小二乘法参数估计方法点估计区间估计

第一节总体参数估计

p141

注意：本节估计都是在简单随机重复抽样的条件下来讨论的。10/9/20236版权所有BYlazhenx

一、点估计参数估计按是否考虑估计误差的大小及发生的概率，估计方法分为点估计和区间估计两大类。（一））点估计的定义例如：用样本均值直接作为总体均值的估计值;例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计.点估计不考虑估计误差的大小，故不需确定估计量的概率分布。点估计的主要作用是寻找参数的估计量。按照构造统计量的方法不同，点估计有很多具体方法，最经典的是矩估计法和最大似然估计法。

10/9/20237版权所有BYlazhenx1．矩估计法p142-145概念：矩估计法是用样本矩来估计总体矩的方法，如用样本一阶原点矩（样本均值）估计总体一阶原点矩（总体均值）。优点及缺点：矩估计法简便、直观；局限性：要求总体的阶原点矩存在，若不存在则无法估计；矩估计法不能充分地利用估计时已掌握的有关总体分布形式的信息。2．最大似然估计法

基本思想：当我们经一次抽样取得一些观测数据（样本值）后，应给未知参数选取一些数值，使得所观测得到的样本值出现的概率最大。要求：知道总体分布类型。注意：对于正态总体，两种方法所得的估计量在形式上是一致的。但对于其它的总体，两种方法所得的估计量在形式上并不总是一致的。

10/9/20238版权所有BYlazhenx(二)点估计量的评价标准

最基本的有三条：

1、无偏性：，称是的无偏估计量。

2、有效性：一个具有较小变异的统计量的意义在于将有更多的机会产生一个更接近于总体参数的量。

3、一致性：随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体参数。

注意：一般将同时满足这三条标准的估计量称为优良估计量。

10/9/20239无偏性(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数(即无系统偏差)P(

)BA无偏有偏10/9/202310有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效。(在众多无偏估计量中，称具有最小方差的估计量为最佳无偏估计量。)AB的抽样分布

的抽样分布P(

)10/9/202311一致性(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的

值越来越接近被估计的总体参数。AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)10/9/202312统计中的几个基本概念及表示符号均值标准差比例参数

统计量

xsp

总体

样本10/9/202313为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量

为的无偏、有效、一致估计量。10/9/202314二、区间估计(intervalestimate)p146在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的在概率意义下计算参数的变化范围，即样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限置信水平1-α10/9/202315

当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，（σ2已知）来自该总体的所有容量为n的样本的均值

x也服从正态分布，

x的数学期望为μ，方差为σ2/n

即

x～N(μ,σ2/n)

0临界值-z值a/2a/2

统计量1-

置信水平10/9/202316区间估计的图示

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x10/9/202317将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比例

常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的

为:0.01，0.05，0.10

的值:2.58,1.96,1.645

(记住)

区间估计的置信水平10/9/202318区间估计的数学表达方式：区间估计基本表达（以估计为例）：10/9/202319版权所有BYlazhenx样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间

对置信区间的理解注意：①如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间中包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同理，其他置信水平的区间也可用类似的语言表述。置信区间

(confidenceinterval)10/9/202320版权所有BYlazhenx对置信区间的理解注意：②总体参数是固定的、未知的，而用样本构造的区间则是不固定的。若抽取不同的样本，用该方法可以可到不同的区间，从这个意义上说置信区间是随机区间，会因样本的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。③在实际问题中，进行估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。由于用该样本所构造的区间是一个特定的区间，而不再是随机区间，所以无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个。10/9/202321区间估计时应考虑的一些具体问题1.在概率意义下计算参数的变化范围，即2.区间估计中的两个基本要求:3.Neyman原则即在保证置信度的前提下，尽可能提高估计的精确度。

10/9/202322版权所有BYlazhenx1.总体均值的区间估计(大样本)(p147)1. 假定条件(重复抽样时)总体服从正态分布,且方差(

２)

已知或未知如果不是正态分布，方差(

２)

已知或者未知，大样本可由正态分布来近似(n

30)2.使用正态分布统计量z(标准化)总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为边际误差10/9/202323版权所有BYlazhenx总体均值的区间估计------例题分析p148

1.正态总体方差已知；或非正态总体但有大样本;或正态总体方差未知但有大样本10/9/202324版权所有BYlazhenx总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%.25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.310/9/202325版权所有BYlazhenx总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：

总体均值

在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g10/9/202326版权所有BYlazhenx2.总体均值的区间估计p149------正态总体的方差未知、小样本1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(

２)

未知小样本

(n<30)2.使用t分布统计量

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为重复抽样

不重复抽样

10/9/202327版权所有BYlazhenx总体均值的区间估计-------例题分析p14910/9/202328版权所有BYlazhenx(三）总体成数的区间估计p1491. 假定条件(只讨论大样本情形)可以由正态分布来近似使用正态分布统计量z3.总体比例

在1-

置信水平下的置信区间为10/9/202329版权所有BYlazhenx总体成数的区间估计-----例题分析p15010/9/202330版权所有BYlazhenx(四）总体方差的区间估计p1501. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布3.总体方差

2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-

置信水平下的置信区间为自由度10/9/202331版权所有BYlazhenx

总体方差的区间估计例题分析10/9/202332版权所有BYlazhenx（五）单侧置信区间

p15110/9/202333版权所有BYlazhenx

区间估计小结p152

基本步骤：（1）依题意确定待估参数；（2）依题设条件构造与待估参数相对应的估计量；（3）确定估计量的抽样分布；（4）依估计量的抽样分布，由给定的置信度计算待估参数置信区间的上、下限。10/9/202334版权所有BYlazhenx10/9/202335版权所有BYlazhenx区间估计练习一、假定容量n=100的一个随机样本产生均值为81和标准差s=12。要求：①构造总体均值95%置信水平下的置信区间；②构造总体均值99%置信水平下的置信区间。二、一个容量为400的随机样本取自均值和标准差均未知的总体。已经计算出下列值：=14592要求：①构造总体均值95%置信水平下的置信区间；②构造总体均值99%置信水平下的置信区间。

81±1.96×1.2；81±2.58×1.2;(5.7±1.96×2/20)10/9/202336

三、样本容量的确定p152一、问题的提出二、处理问题的原则三、简单随机抽样下，调查成本既定时样本容量确定的方法

1.估计总体均值时样本容量的确定

2.估计总体比例时样本容量的确定10/9/202337版权所有BYlazhenx样本容量的确定

一、问题的提出从推断来看，要达到估计所要求的精确程度，自然要求样本容量越大越好；但从抽样来看，增大样本容量，势必增加人力、物力，从而导致调查成本增大，这无疑是不经济的做法。于是在抽样推断中，势必要在统计推断的精确度与调查成本这一对矛盾间进行权衡。10/9/202338版权所有BYlazhenx

样本容量的确定

二、处理问题的原则1.从抽样角度来看，处理推断目标实现的精确度与调查成本间矛盾的原则是：在保证达到推断目标的要求下，尽量使调查成本最低。

2.从推断角度来看，处理统计推断精确度与调查成本间矛盾的原则是：在调查成本一定的情况下，尽量使推断目标实现的效果好，即估计的精度更高。10/9/202339版权所有BYlazhenx三、样本容量的计算公式2．估计总体成数时1．估计总体均值时10/9/202340版权所有BYlazhenx

样本容量的确定----例题分析

四、简单随机抽样下、调查成本既定时，样本容量的确定方法1.总体均值估计情形10/9/202341版权所有BYlazhenx

样本容量的确定--------例题分析2.总体成数估计情形注意：

10/9/202342版权所有BYlazhenx确定样本容量时注意：1、计算结果有小数时一律进位。2、总体方差不知时，可用历史方差、样本方差代替。如有多个方差共选用，一般选取最大的方差；如有多个(或P)共选用，一般选取最接近50%的。3、

未知时，可取最大值0.5。10/9/202343第二节总体参数检验p154一、假设检验的一般性问题1.假设检验的统计思想2.假设的一般表述3.统计结论的两类错误4.单、双侧检验问题5.P值检验法6.统计检验的显著性7.假设检验的步骤二、几种常用、具体的参数检验方法1.Z检验法2.t检验法3.检验法4.F检验法10/9/202344版权所有BYlazhenx(一).假设检验的统计思想1)假设检验的基本思想：通过提出假设，利用“小概率原理”和“概率反证法”，论证假设的真伪的一种统计分析方法。小概率原理：也就是实际推断原理，它认为在一次实验中，概率很小的事件，实际上是不可能发生的。概率反证法：如果在其他因素给定的前提下，要证明某一事实（对总体参数假定）是否成立，只要假设该事实（参数假定）成立，在该事实成立的前提下，来证明由该事实（参数假定）和样本建构的统计量的取值概率较小以证明假定是否成立。10/9/202345(二).什么是假设?对总体参数的具体数值所作的陈述，总体参数包括总体均值、比例、方差等。什么是假设检验?先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程。假设检验的一般表述：将要通过有关数据证明不成立的命题叫做原假设（零假设），相对应地，利用原假设的对立命题所成立的假设叫做备择假设（对立假设）。10/9/202346原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立先确定备择假设，再确定原假设等号“=”总是放在原假设上因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)(三).假设检验单、双侧检验问题:

①提出假设原假设，H0：

=μ0，(或

、)，原假设的对立面称备择假设，记为H1，如，H1：

μ0,(

＞μ0，

＜μ0

)

10/9/202347版权所有BYlazhenx(三)双侧检验与单侧检验问题(p157）②检验方向注：研究者感兴趣的是备择假设，单侧假设的方向是按备择假设的方向(或说拒绝域方向)来说的。假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0备择假设H1:m

≠m0H1:m

<m0H1:m

>m010/9/202348版权所有BYlazhenx双侧检验:

显著性水平和拒绝域H0:m

=m0H1:m

≠m0抽样分布0临界值临界值a/2a/2

样本统计量拒绝H0拒绝H01-

置信水平10/9/202349版权所有BYlazhenx左侧检验：显著性水平和拒绝域H0:m

m0H1:m

<m00临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1-

置信水平10/9/202350版权所有BYlazhenx右侧检验:显著性水平和拒绝域

H0:m

m0H1:m

>m00临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1-

置信水平10/9/202351版权所有BYlazhenx(四)假设检验中两类错误和显著性水平1. 第Ⅰ类错误(弃真错误)原假设为真时拒绝原假设犯第Ⅰ类错误的概率最大允许值记为。犯第一类错误的概率的最大允许值

被称为显著性水平2. 第Ⅱ类错误(纳伪错误)原假设为假时未拒绝原假设第Ⅱ类错误的概率记为

(Beta)

两类错误产生的原因－－样本的随机性

依据10/9/202352版权所有BYlazhenx3、假设检验中两类错误的关系两类错误的关系p16010/9/202353版权所有BYlazhenx假设检验中两类错误的控制原则10/9/202354版权所有BYlazhenx（五）P值检验法（概率值检验法）1.10/9/202355版权所有BYlazhenx（五）P值检验法--P值的计算方法P值的计算方法10/9/202356版权所有BYlazhenx双侧检验的P值H0:m

=m0H1:m

≠m0

/

2

/

2

Z拒绝H0拒绝H00临界值计算出的样本统计量计算出的样本统计量临界值1/2P值1/2P值10/9/202357版权所有BYlazhenx左侧检验的P值H0:m

m0H1:m

<m00临界值a样本统计量拒绝H0抽样分布1-

置信水平计算出的样本统计量P值10/9/202358版权所有BYlazhenx右侧检验的P值H0:m

m0H1:m

>m00临界值a拒绝H0抽样分布1-

置信水平计算出的样本统计量P值10/9/202359版权所有BYlazhenx（五）P值检验法--P值拒绝H0的力度P值拒绝H0的力度10/9/202360版权所有BYlazhenx（五）P值检验法--P值检验法的决策规则

P值检验法的决策规则记住啦10/9/202361版权所有BYlazhenx利用P值进行决策时,注意：

①在原假设H0为真的条件下，所得到的样本结果会像观察值那么极端或更极端的概率双侧检验为分布中两侧面积的总和②反映实际观测到的数据与原假设H0之间不一致的程度(P值表示H0为真时样本结果出现的概率)③小的P值表明在原假设为真时，得到目前这样一个样本结果的可能性很小④决策规则：若p值<

,拒绝H010/9/202362版权所有BYlazhenx利用临界值作决策的规则1、给定显著性水平，查表得出相应的临界值z

或z/2，t

或t/22、将检验统计量的值与水平的临界值进行比较3、作出决策双侧检验：I统计量I>临界值，拒绝H0左侧检验：统计量<-临界值，拒绝H0右侧检验：统计量>临界值，拒绝H010/9/202363版权所有BYlazhenx（六）统计检验的显著性10/9/202364版权所有BYlazhenx假设检验步骤的总结1、陈述原假设和备择假设2、从所研究的总体中抽出一个随机样本3、确定一个适当的检验统计量，并利用样本数据算出其具体数值4、确定一个适当的显著性水平，并计算出其临界值，指定拒绝域5、将统计量的值与临界值进行比较，作出决策统计量的值落在拒绝域，拒绝H0，否则不拒绝H0也可以直接利用P值作出决策10/9/202365版权所有BYlazhenx

二、几种常用、具体的参数检验方法10/9/202366版权所有BYlazhenx（一）

Z检验法Z检验法是在已知总体分布的方差时，对一个正态总体的均值或两个正态总体均值的关系（均值之差）进行检验的方法。Z检验法也可用于大样本下非正态总体的成数检验。10/9/202367版权所有BYlazhenx

Z检验法一个正态总体均值的检验1．一个正态总体均值的检验假设:10/9/202368版权所有BYlazhenx

Z检验法--例题分析10/9/202369版权所有BYlazhenx总体均值的检验(

2已知)(例题分析)【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平

=0.05

，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？双侧检验绿色健康饮品绿色健康饮品25525510/9/202370版权所有BYlazhenxH0

：

=255H1

：

255

=0.05n

=40临界值(c):检验统计量:z01.96-1.960.025拒绝H0拒绝H00.025决策:结论:

不拒绝H0样本提供的证据表明：该天生产的饮料