数字图像变换

第十章数字图像变换

数字图像处理的方法分为两类：空间域处理法和频域法。

空间域：计算复杂、费时，甚至难以实现。频域：运算速度高、可用滤波技术简化运算。

图像变换可以将图像从空间域转换到频率域，然后在频率域对图像进行各种处理，再将所得到的结果进行反变换，即从频率域变换到空间域，从而达到图像处理的目的。

第十章图像变换

图像处理中应用正交变换，进行如图像增强、复原、编码、描述和特征提取。

正交变换：

正弦型变换：傅里叶变换、余弦变换和正弦变换。

方波型变换：哈达玛（Hadamarn）变换、沃尔什（Walsh）变换、斜变换、小波变换。

基于特征向量的变换：主要包括Hotelling变换、K－L变换和SVD变换。第十章图像变换10.1频域世界与频域变换10.2傅立叶变换10.3离散余弦变换10.4离散沃尔什哈达玛变换10.5小波变换简介10.1频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和y1=Sin(x+/2)A=1,=/2,f=1/2y2=0.5sin(2x+)A=0.5,=,f=1/y3=0.25sin(4x+3/2)A=0.25,=3/2,f=2/y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]波形的频域表示y=Sin(x+/2)+0.5sin(2x+)+0.25sin(4x+3/2)x[0,4]f=w/2幅频特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相频特性

f/2

23/21/2

3/2

1/2/

10.1频域世界与频域变换幅频特性Af0.250.510.751/2

3/2

1/2/

相频特性

f/2

23/21/2

3/2

1/2/

10.1频域世界与频域变换7

10.2傅里叶变换:

直流分量基波分量n=1

谐波分量n>1一：周期函数的傅里叶变换：8直流系数余弦分量系数正弦分量系数

10.2傅里叶变换:

1：周期函数的频谱分析910.2傅里叶变换:2：周期函数的复指数级数由前知由欧拉公式其中引入了负频率

10.2傅里叶变换:

二：非周期函数傅立叶变换分析式：

10.2傅里叶变换:

假定以间隔Δx对一个连续函数f(x)均匀采样，离散化为一个序列{f(x0),f(x0+Δx),…,f[x0+(N－1)Δx]}（如图3.3所示），则将序列表示

f(x)=f(x0+Δx)

式中x假定为离散值0，1，2，…，N

1。换句话说，序列{f(0),f(1),f(2),…,f(N－1)}表示取自该连续函数N个等间隔的抽样值。三：离散函数的傅里叶变换10.2.1离散傅立叶变换被抽样函数的离散傅里叶变换定义为反变换为在二维的情况下，离散的傅里叶变换对表示为二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。10.2.1离散傅立叶变换10.2.2快速离散傅立叶变换

离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。研究离散傅立叶变换的快速算法（FastFourierTransform，FFT）是非常有必要的。

介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。

二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。改写公式：式中，=e-j2π／N

，称为旋转因子。=e-j2π／N=cos(2π／N)-jsin(2π／N)(以N为周期)式中很多

系数相同，不必进行多次重复计算。10.2.2快速离散傅立叶变换FFT的推导过程：设N为2的正整数次幂，即令M=N/2,离散傅立叶变换可改写成如下形式：

偶离散点奇离散点10.2.2快速离散傅立叶变换

定义10.2.2快速离散傅立叶变换even偶odd奇于是

将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u)。设N=2310.2.2快速离散傅立叶变换10.2.2快速离散傅立叶变换蝶形运算单元10.2.2快速离散傅立叶变换Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)10.2.2快速离散傅立叶变换

Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，对它们再按照奇偶进行分组Fee(0)Feo(1)08W28W－Fee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08W－Foe(0)Foo(1)08W28W－Foe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W－10.2.2快速离散傅立叶变换8点DFT的蝶形流程图例：0102030405060708Fe(0)Fo(1)04W14W－Fe(1)Fo(0)F(0)F(1)F(2)F(3)14W04W－04W04W04W04W－－f(0)f(2)f(1)f(3)10.2.2快速离散傅立叶变换0102

0304050607083i-3-i

0304050607080012003-13i-3-ii-i

－1

－1

－110.2.2快速离散傅立叶变换0034007-17i-7-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i

03040506070810.2.2快速离散傅立叶变换00560011-111i-11-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i050607083i-3-i7i-7-i11i-11-i070810.2.2快速离散傅立叶变换00780015-115i-15-ii-i

－1

－1

－13i-3-i7i-7-i11i-11-i07083i-3-i7i-7-i11i-11-i15i-15-i10.2.2快速离散傅立叶变换31171514-822-836-8+8i-8-8-8ii-i

－1

－1

－13

i-3-i

7i-7-i11i-11-i15i-15-i36i-3-i

-8+8ii-7-i-8i-11-i-8-8ii-15-i10.2.2快速离散傅立叶变换iiii2i02i04i000i-i

－1

－1

－136

i-3-i

-8+8i

i-7-i-8

i-11-i-8-8i

i-15-i36

4i-3-i

-8+8i

0-7-i-8

0-11-i-8-8i

0-15-i10.2.2快速离散傅立叶变换-3-11-7-15-148-228-368-8i88+8ii-i

－1

－1

－136

4i

-3-i

-8+8i

0

-7-i-8

0

-11-i-8-8i

0

-15-i36

4i-36-i

-8+8i

08-8i-i-8

08-i-8-8i

08+8i-i10.2.2快速离散傅立叶变换-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000i-i

－1

－1

－136

4i-36

-i

-8+8i

08-8i

-i-8

08

-i-8-8i

08+8i

-i36

4i-36-4i-8+8i08-8i0-8080-8-8i08+8i010.2.2快速离散傅立叶变换10.3离散余弦变换（DCT）

离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）的变换核为余弦函数。DCT变换被认为是一种语音信号、图像信号的变换的准最佳变换。10.3.1一维离散余弦变换

一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。u,x=0,1,2,…,N－1见课本P20010.3.2二维离散余弦变换

二维DCT定义如下：设f(x,y)为M×N的数字图像矩阵，则x,u=0,1,2,…,M－1y,v=0,1,2,…,N－1C(u)和C(v)的定义同前完成p203例题10.4离散沃尔什-哈达玛变换（WHT）10.4.1一维离散沃尔什-哈达玛变换

1.沃尔什函数

沃尔什函数是1923年由美国数学家沃尔什提出的。它是一个完备正交函数系，其值只能取＋1和－1。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法。在此只介绍哈达玛排列定义的沃尔什变换。2n阶哈达玛矩阵有如下形式：10.4.1一维离散沃尔什-哈达玛变换2.离散沃尔什-哈达玛变换一维离散沃尔什变换及逆变换定义为

若将Walsh(u,x)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则上两式分别为：10.4.1一维离散沃尔什-哈达玛变换［HN］为N阶哈达玛矩阵

由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算，它比采用复数运算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。课本P208例子10.4.2二维离散沃尔什变换

二维WHT的正变换核和逆变换分别为x,u=0,1,2,…,M－1y,v=0,1,2,…,N－1例有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维WHT。根据题意，M=N=4，其二维WHT变换核为10.4.2二维离散沃尔什变换

从以上例子可看出，二维WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WHT可用于压缩图像信息。10.5小波