医学统计学正态分布及其应用

正态分布及其应用Normaldistributionanditsapplications

易洪刚DepartmentofEpidemiology&Biostatistics,SchoolofPublicHealthNanjingMedicalUniversity1

正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛

德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.正态分布2正态分布德国数学家Gauss发现最早用于物理学、天文学Gaussiandistribution1889年是高尔顿(FrancisGalton,1822-1911)创先把该曲线称作正态曲线。3不知你们是否知道街头的一种赌博活动?用一个钉板作赌具。4

也许很多人不相信，玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了。

街头赌博下面我们来模拟这个游戏：5

平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的。一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线。

高尔顿钉板试验6高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。其一，医学研究中的某些观察指标服从或近似服从正态分布；其二，很多统计方法是建立在正态分布的基础之上的；其三，很多其他分布的极限为正态分布。正态分布8身高的分布(a)(b)(d)(c)9正态分布的概率密度函数

如果随机变量X的概率密度函数

则称X服从正态分布,记作X～N(

,

2),其中，

为分布的均数，

为分布的标准差。

(e表示常数2.71828

，-∞＜X

＜+∞)

10正态分布图示x0.1.2.3.4f(x)11方差相等、均数不等的正态分布图示

3

1

212均数相等、方差不等的正态分布图示

2

1

313不同均数、方差正态分布图示14正态分布的特征正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和变异度参数(标准差)。高峰在均数处；均数两侧完全对称。正态曲线下的面积分布有一定的规律。昆明癫痫病专科医院/昆明治疗癫痫病/昆明癫痫病专科医院/昆明癫痫病医院/15正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

16正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

17正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=118正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

1-S(

-3

,+3)=0.00261-S(

-2

,+2)=0.04561-S(

-

,+)=0.317419正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=120正态曲线下的面积规律-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5S(

-3

,

-2

)=0.0215S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413

-4-3-2-10123421正态曲线下的面积规律-3-++3

-2+2

S(

-3

,

-2

)=0.0215S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.522正态曲线下的面积规律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%23正态曲线下的面积规律

-1.64

+1.64

5%5%90%24

正态曲线下的面积规律

-2.58

+2.58

0.5%0.5%99%25正态曲线下的面积规律正态曲线下面积总和为1；正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等；对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等；

-1.64

～+1.64

内面积为90%；

-1.96

～+1.96

内面积为95%；

-2.58

～+2.58

内面积为99%。26标准正态分布标准正态分布(standardnormaldistribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。记为N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数：

(-∞＜u

＜+∞)

27正态分布转换为标准正态分布若

X～N(

,

2)，作变换：则u服从标准正态分布。u称为标准正态离差(standardnormaldeviate)28

实际应用中，经u变换后，就可把求解任意一个正态分布曲线下面积的问题，转化成标准正态分布曲线下相应的面积问题。正态分布转换为标准正态分布29标准正态分布曲线下面积

(u)

u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.28100 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.46810u30总结正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是统计学理论中的重要分布之一；正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和标准差；正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态离差为单位)。31正态分布的应用估计频数分布质量控制确定临床参考值范围32☆正态变量x转化为标准正态变量u，（公式

）再用u值查表，得所求区间面积占总面积的比例。估计频数分布33某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。首先计算标准离差：查标准正态分布表:

(-1.86)=0.0314结果：估计低体重儿的比例为3.14%.34例已知某市120名岁男童身高均数为=142.67cm，标准差为s=6.00cm。设该资料服从正态分布，试求①该地12岁男童身高在132cm以下者占该地12岁男童总数的比例，②分别求±1s、±1.96s和±2.58s范围内12岁男童