应用随机过程课件

应用随机过程

Appliedstochasticprocesses

衣娜

Telmail：wzhshyina@163.com

1应用随机过程定义一般来说，把一组(族)

随机变量定义为随机过程。随机过程是概率论的继续和发展，被认为是概率论的动力学部分。概率论研究对象为：随机变量；随机过程研究对象为：随时间演变的随机现象。X→X(t)2应用随机过程起源与发展随机过程是随机数学的一个重要分支，产生于20世纪初对物理学的研究，如吉布斯、波尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究。1907年前后，马尔科夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为Markov链；1923年维纳给出布朗(Brown)运动的数学定义，这一过程成为一个重要的研究课题。一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代：1931年，柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)《概率论的解析方法》，1934年辛钦(Khinchine)发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔科夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布(Doob)出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。3应用随机过程应用与研究方法天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学、金融等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。主要研究方法可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度论、微分方程、半群理论、希尔伯特空间等。4应用随机过程学习内容第一章预备知识第二章随机过程的基本概念和基本类型第三章Poisson过程第五章Markov链第七章Brown运动5应用随机过程第1章预备知识1.1概率空间1.2随机变量和分布函数1.3数字特征、矩母函数与特征函数1.4条件概率、条件期望和独立性1.5收敛性6应用随机过程

1.可以在相同的条件下重复地进行;

2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.1.1概率空间一、随机试验：7应用随机过程二、样本空间Ω：随机试验

E的所有可能结果组成的集合称为

E的样本空间,记为

Ω

.样本空间的元素,即试验E的每一个结果,称为样本点.例

从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.8应用随机过程三、s-代数(事件域)9应用随机过程首先，应该包括样本空间Ω

和空集Φ；其次应该保证事件经过并、交、差、补各种运算后仍然是事件，即其对事件的运算有封闭性。（交的运算可以通过并与对立来实现；差的运算可通过对立与交来实现）

s-代数从直观上讲就是一个样本空间中某些子集组成的集合类，s-代数中应该有哪些元素？常见s-代数：10应用随机过程设W=R.由所有半无限区间生成s-代数（即包括集族的最小s-代数）称为R上的Borel

s-代数，记为B(R),其中的元素称为Borel集合。类似的可定义Rn上的Borel

s-代数，记为B(Rn)。四、Borel

s-代数11应用随机过程五、事件概率12应用随机过程六、性质1、2、；3、；

4、；

5、

6、P(A∪B)+P(A∩B)

=P(A)+P(B)；13应用随机过程七、上极限与下极限上极限中的元素属于无限个集合，但同时也有可能“不”属于“无限个”集合，而下极限中的元素属于无限个集合，同时只“不”属于“有限个”集合。上极限：下极限：14应用随机过程例：S1=S3=S5=...={0,1}；

S2=S4=S6=...={0}，注：一个集合序列的上极限是它们的可数并，也就是包含这些集合的最小集合。一个集合序列的下极限是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合里的最大集合。上极限={0,1}，下极限={0}。15应用随机过程1.2随机变量和分布函数一、分布函数16应用随机过程基本性质：

(1)F(x)单调不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(

)=0，F(+)=1；

(3)右连续.(4)17应用随机过程分布函数分布列离散型随机变量分布列与分布函数的关系连续型随机变量密度函数与分布函数的关系18应用随机过程二、联合分布与边际分布19应用随机过程联合分布唯一确定边际密度,反之不成立.此例两个密度函数显然不同，密度函数非零区域相同.边际密度如下:20应用随机过程

X边际密度:

利用密度函数的轮换对称性,可得Y边际密度也相同均为1/2+y.21应用随机过程三、常见分布22应用随机过程23应用随机过程24应用随机过程一、数学期望1.3.1数字特征1.3数字特征、矩母函数与特征函数连续型随机变量离散型随机变量二、随机变量函数的期望25应用随机过程三、矩1、普通k阶矩2、k阶绝对矩3、k阶中心矩①物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量;②二阶中心矩为方差，方差表示稳定性。注:26应用随机过程四、n维随机向量是n维随机向量，分布函数为，若为n维Borel函数，则：特别地：称为阶矩.27应用随机过程五、协方差与相关系数随机变量X与Y的协方差为：随机变量X与Y的相关系数为：28应用随机过程六、性质相互独立29应用随机过程1.3.2矩母函数设随机变量X的分布函数为F(x)，则X的矩母函数定义为：X是连续型的；X是离散型的.当矩母函数存在时，它唯一地决定分布.泊松分布：正态分布：30应用随机过程例：设X与Y是独立的正态随机变量，且求X+Y的分布.分析：所以，

X+Y服从正态分布.31应用随机过程矩母函数可用来推导随机变量的各阶矩矩母函数与各阶矩关系：令t=0,得到32应用随机过程1.3.3特征函数X的特征函数定义如下：X是连续型的；X是离散型的.33应用随机过程特征函数与分布函数一一对应；设Y=aX+b，Y的特征函数是：

两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积；特征函数与随机变量的数字特征的关系：特征函数的性质：34应用随机过程35应用随机过程36应用随机过程1.4条件概率、条件期望和独立性1.4.1条件概率条件概率：设E为随机试验，

为其样本空间，A、B为任意两个事件，若P(B)>0,则事件A关于事件B的条件概率为：全概率公式与贝叶斯公式设是Ω的一个分割，且使得则（1）对任意事件A，有（2）对任意事件A

，若，有37应用随机过程条件密度函数如果有联合概率密度函数f(x,y)，给定Y=y时X的条件概率密度函数定义为：38应用随机过程1.4.2条件期望给定Y=y时，X的条件分布定义为：给定Y=y时，X的条件期望定义为：39应用随机过程条件期望的性质E(X|Y)表示随机变量Y的函数，是一个随机变量，当Y=y时E(X|Y)的取值为E(X|Y=y)；

E(X|Y)的数学期望为(重期望公式)：它具有数学期望的一切性质：40应用随机过程注：X在Y=y的条件下的条件期望E(X|Y=y)

是y的函数,它是一个变量,这不同于无条件期望E(X),不仅在于计算公式上，还在于含义上.如：X表示中国成年人的身高,则EX表示中国成年人的平均身高.若用Y表示中国成年人的足长，则E(X|Y=y)表示足长为y的中国成年人的平均身高.我国公安部门研究获得：E(X|Y=y)

=6.876y，若测得案犯留下的足印长为25.3cm,则可推算出案犯的身高约174cm。41应用随机过程例:设随机向量(X,Y)的联合分布率为

1

2

3

1

2求E(X|Y)的分布率，E(X)以及E[

E(X|Y)]

.解：先求E(X|Y)的可能取值42应用随机过程故E(X|Y)的分布率为从而E(X)

=E[E(X|Y)].

43应用随机过程例:

设数Y在区间(0,1)上随机地取值,当观察到Y=y(0<y<1)时,数X在区间(y,1)上随机取值.求X的概率密度fX(x)，，.对于任意的y(0<y<1),在Y=y的条件下,X的条件概率密度解:按题意Y具有概率密度44应用随机过程45应用随机过程例:矿井脱险一矿工困在矿井中，要到达安全地带,有三个通道可以选择。第一个通道3个小时可达安全地带，第二个5小时又返回原处，第三个7小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道。试问他到达安全地带平均要多长时间。

解：设X为矿工到达安全地带所需时间，可能取值为：3,5+3,7+3,5+5+3,5+7+3,7+7+3，…46应用随机过程记Y表示第一次所选的通道，则第一个通道3个小时可达安全地带，则第二个通道5个小时后回到原处，则第三个通道7个小时后回到原处，则47应用随机过程在实际情况中，走过的错误通道不会再重走，所以有：48应用随机过程如果事件A，B满足

设是n个事件，如果对于任意和，有则称事件相互独立.则称事件A，B相互独立.两个n个1.4.3独立性49应用随机过程随机变量的独立性随机变量相互独立定义为对任意的其中，独立的充要条件为50应用随机过程独立性的性质定理1.14

Borel-Cantelli第一引理设{An}，n≥1为一列事件，且若，则定理1.15

Borel-Cantelli第二引理设{An}，n≥1为独立的事件列，且若，则51应用随机过程顾客随机到达服务台接受服务:

表示在时间段(0,t)到达

k个顾客;显然

即由第一引理可知:独立重复试验某个事件成功的概率为p>0,由第二引理该事件连续五次成功出现无穷多次的概率为1.随机过程实例52应用随机过程设X1，X2相互独立，其分布函数分别为F1(x),F2(x),X=X1+X2,则1.4.3独立随机变量和的分布53应用随机过程卷积的性质：(4)设Xk,k=1,2,…,n,是独立同分布F(x)的随机变量，Sn的分布函数记为Fn(x),则其中：54应用随机过程1.5收敛性如果随机变量序列以概率1收敛于X，或称几乎处处收敛于X，记作则称55应用随机过程如果对于任意给定的正数，有随机变量序列依概率收敛于X，记作则称56应用随机过程如果对于所有的有存在随机变量X，有则称随机变量序列以p次均方收敛于X.若p=2称为均方收敛，记作：使得57应用随机过程设是的分布函数列，如果存在一个单调不减函数，使在的所有连续点x上有则称随机变量序列依分布收敛于X，记作称函数列弱收敛于.58应用随机过程以概率1收敛依概率收敛均方收敛依分布收敛几种收敛性的关系均方收敛与以概率1收敛不存在确定的关系。注59应用随机过程从而证由马尔科夫不等式,对有

证明随机变量序列{Xn}均方收敛于X,则一定依概率收敛于X.60应用随机过程本章作业设X~B(n,p),

求X的特征函数g(t),

及EX，EX2，VarX；设X和Y的联合概率函数为：

求.61应用随机过程第2章随机过程的基本概念和基本类型2.1基本概念2.2有限维分布与Kolmogorov定理2.3随机过程的基本类型62应用随机过程自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。确知过程随机过程2.1基本概念63应用随机过程电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数例1一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t

[0,24]。例2研究某一商品的销售量一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X(t)，t=1,2,…。直观背景及例子64应用随机过程顾客来到服务站要求服务。用X(t)表示t时刻的队长，用Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则它们都是随机过程。一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置，则{X(t),t≥0}就是（直线上的）随机游动。例3排队模型例4随机游走65应用随机过程随机过程定义说明参数集T：可离散可连续可某集合,如果T为向量集合，则随机过程称为随机场；随机序列或时间序列：{X(n),n=0,1,…}或{X(n),n≥0}；随机过程是随机变量的集合。66应用随机过程

当

t固定，ω固定时，

X(t)

是一个确定值；当t固定，ω可变时，X(t)是一个随机变量；

当t

可变，ω固定时，X(t)是一个确定的样本路径或样本函数；

当

t

可变，ω可变时，

X(t)是一个随机过程。符号含义

随机过程可看成定义在积集上的二元函数TΩ67应用随机过程X(t1,ω)X(t2,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1t2tn图示68应用随机过程状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散随机过程的分类69应用随机过程随机过程的分布函数2.2有限维分布与Kolmogorov定理随机过程的一维分布：

随机过程的二维分布：随机过程的n维分布：70应用随机过程有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n维分布等的全体称为{X(t),tT}的有限维分布族有限维分布族

71应用随机过程定理2.1(Kolmogorov存在定理)设一分布函数族满足对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t∈T}，使得这个分布函数族恰好是X(t)的有限维分布族。有限维分布族的性质

对称性:相容性:72应用随机过程1.袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量：试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求概率密度例题

73应用随机过程所以解:P74应用随机过程随机过程的数字特征均值函数说明二阶矩过程如果对任意的t∈T,E[X2(t)]存在，则称过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程.75应用随机过程协方差函数方差函数自相关函数公式自相关系数76应用随机过程互协方差函数互相关函数互不相关77应用随机过程小结X(t)X(t)、Y(t)均值函数协方差函数自相关函数互协方差函数互相关函数自相关系数78应用随机过程

2.设随机过程，，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。求其均值函数、自相关函数和协方差函数。解：其均值函数为自相关函数为例题

79应用随机过程协方差函数为80应用随机过程故X(t)～N(0,1+t2),随机过程{X(t),t>0}的一维概率密度:解：因Y,Z为正态随机变量且相互独立，则其线性组合X(t)也是正态随机变量，3.设X(t)=Y+Zt,

t>0，Y,Z服从N(0,1),Y,Z相互独立，求{X(t),t>0}的一、二维概率密度族.81应用随机过程随机过程{X(t),t>0}的二维概率密度82应用随机过程

作业：P312.4，2.5.83应用随机过程2.3随机过程的基本类型

2.3.1平稳过程（时间平移）2.3.2独立增量过程（时间增量）84应用随机过程如果一个过程是平稳过程，则它的性质不随时间的推移而变化，只与变量之间的时间间隔有关，而与所考察的起始点无关。2.3.1平稳过程

平稳过程根据限制条件的严格程度分为严平稳过程和宽平稳过程。85应用随机过程如果随机过程{X(t),t∈T}对任意的t1,…,tn∈T和任意的h(使得ti+h∈T)有，(X(t1+h),…,

X(tn+h))与(X(t1),…,

X(tn))具有相同的联合分布，记为严平稳过程

d则称{X(t),t∈T}为严平稳过程。有限维分布关于时间是平移不变的86应用随机过程如果随机过程{X(t),t∈T}的所有二阶矩都存在，并且E[X(t)]=m,协方差函数γ(s,t)只与时间差t-s有关，则称{X(t),t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳过程。宽平稳过程

注:；γ(-t)=γ(t),γ(0)=var(X(t)),|γ(t)|≤γ(0);

γ(t)具有非负定性：。87应用随机过程严平稳过程不一定是宽平稳过程，因为严平稳的过程不一定有二阶矩，但当严平稳过程二阶矩存在时，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程不一定是严平稳过程，但对于正态过程，两者是等价的。当参数t仅取整数时，称为平稳序列。严平稳和宽平稳的关系88应用随机过程设{Xn,n=0,

1,…}是互不相关的随机变量序列,且EXn=0,Var(Xn)=

2>0,讨论其平稳性.故其均值函数为常数,其协方差函数g(n,m)只与m-n有关,所以它是平稳随机过程。平稳白噪声序列

解:因为EXn=0,89应用随机过程设{

,n=0,

1,…}是互不相关的随机变量序列,且有相同的均值m和方差

2,设为任意k个实数，讨论序列的平稳性.滑动平均序列

解:令，则由的两两互不相关性知：故{Xn,n=0,

1,…}为平稳序列.90应用随机过程设，则的是平稳过程。其协方差函数为例题证明:

其均值为所以，是平稳过程。91应用随机过程遍历性是指统计结果在时间和空间上的统一性，表现为时间均值等于空间均值。例如要得出一个城市A、B两座公园哪一个更受欢迎，有两种办法。第一种办法是在某一个时点考察两个公园的人数，人数多的为更受欢迎公园；第二种办法，随机选择一名市民，在一年的时间里考察他去两个公园的次数，去得多的为更受欢迎公园。如果这个两个结果始终一致，则表现为遍历性。遍历性问题

92应用随机过程如果按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，这实际上是不易办到的。平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然希望在一个很长时间内观察得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分依据。各态遍历定理将证实：对平稳过程而言，只要满足一些较宽的条件，则均值和自相关函数等可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来代替。各态遍历定理提供了根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法。遍历性定理的必要性93应用随机过程设为一平稳过程(或平稳序列)，若或则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即平稳过程遍历性定义94应用随机过程如果或则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。95应用随机过程（1）设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳序列，其协方差函数为，则X有遍历性的充要条件是（2）设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是均值遍历性定理96应用随机过程证明(连续时间)首先计算的均值和方差，记则有进而97应用随机过程在上述积分中做变换则变换的Jacobi行列式的值为于是积分区域变为所以有98应用随机过程故关于均值的遍历性定理就化为上式极限是否趋于零的问题，定理得证。99应用随机过程设，则的均值有遍历性。例题证明:已证是平稳过程.又所以，的均值有遍历性.100应用随机过程练习：已知随机电报信号问X(t)是否是关于均值遍历的.

解：所以X(t)是关于均值遍历的.

101应用随机过程推论1：若则均值遍历性定理成立。证明：因为，当时，有均值有遍历性的充分条件(连续时间)102应用随机过程推论2：对于平稳序列而言，若则均值遍历性定理成立。此处令证：因为当，由Stoltz定理均值有遍历性的充分条件(离散时间）Stoltz定理103应用随机过程协方差函数遍历性定理设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是其中注：X的协方差函数具有遍历性，等价于随机过程均值具有遍历性。104应用随机过程一个平稳过程X(t)，只要满足上述两条件，便可以从一次试验所得到的样本函数x(t)来求得该过程的均值和自相关函数的估计。即：若样本函数x(t)在有限区间[-T，T]，只要T足够大，便有遍历性定理的价值105应用随机过程对任意实数

h及任意t1,t2有对任一正整数n及任意随机变量相互独立，则称{X(t),t∈T}为独立增量过程。过程增量2.3.2独立增量过程

则称{X(t),t∈T}为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程。106应用随机过程作业P312.2,2.3,2.6.107应用随机过程108应用随机过程109应用随机过程练习：设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。110应用随机过程例3随机过程X(t)=tY,t

(-

,+

),Y为非0随机变量，E(Y2)<+,讨论X(t)平稳性。解：当E(Y)0时，X(t)不是平稳过程。当E(Y)=0时，假设E(Y2)=Var(Y)=0，则P{Y=0}=1，与已知矛盾！与t有关。所以，X(t)不是平稳过程。111应用随机过程例4、设状态连续，时间离散的随机过程

Xn=sin2nY，n=1,2,

Y~U(0,1),试证明{Xn}为平稳过程。解：只与m有关，所以

{Xn}为平稳序列。112应用随机过程第3章Poisson过程3.1Poisson过程3.2

与Poisson过程相联系的若干分布3.3Poisson过程的推广113应用随机过程1798年入巴黎综合工科学校深造.在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师,受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识.法国数学家.1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇.泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用.他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现.他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献.1800年毕业后留校任教，1802年任副教授,1806年接替傅里叶任该校教授.1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授.1812年当选为巴黎科学院院士.114应用随机过程[(0-1)分布]随机变量

X只可能有两个值:0和1，其概率分布为：[二项分布]随机变量

X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X~B

(n,p)，概率分布为：复习115应用随机过程[泊松分布]随机变量X

的所有可能取值为0,1,2,…

，而取各个值的概率为则随机变量X

服从参数为

的泊松分布，简记为P(

)。[泊松定理]在二项分布中，设np=

是常数，则有116应用随机过程复习117应用随机过程

随机过程{N(t)，t≥0}称为计数过程，如果N(t)表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：

N(t)≥0且取值为整数；若s<t,则N(s)≤N(t)且N(t)－N(s)表示(s,t]时间内事件A发生的次数。3.1Poisson过程计数过程118应用随机过程注：由(3)可知过程有平稳增量;

由于E(N(t))=lt,常将l称为Poisson过程的速率或强度，表示单位时间内事件发生的平均次数。Poisson过程定义计数过程{N(t)，t≥0}称为参数为l(l>0)的Poisson过程，如果：

(1)N(0)=0;(2)过程有独立增量;

(3)对任意的

s，t≥0119应用随机过程解设表示在时间t时到达的顾客数,9:00为0时刻顾客到达某商店服从参数人/小时的泊松过程，已知商店上午9:00开门，试求到9:30时仅到一位顾客，而到11:30时总计已达5位顾客的概率。Poisson过程在排队论中的应用120应用随机过程若以N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数.Poisson过程是很好的一种近似.考虑保险公司每次赔付都是1,每月平均4次接到索赔要求，则一年中它要付出的平均金额为多少？事故的发生次数和保险公司接到的索赔数解设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末为时刻12：均值121应用随机过程设是一个计数过程，它满（1）（2）过程有平稳独立增量，（3）存在当时，（4）当时，Poisson过程的等价定义122应用随机过程Poisson过程的等价性(说明)123应用随机过程证明：只需要验证服从参数为的Poisson分布即可。记有因此令得解此微分方程由得.故Poisson过程的等价性(证明)124应用随机过程令，得由归纳法得到当时，Poisson过程的等价性(证明)于是125应用随机过程反之，证明Poisson过程满足条件(1)-(4)，只须验证条件(3),(4)Poisson过程的等价性(证明)126应用随机过程事件A的发生形成强度为的Poisson过程如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M(t)表示到t时刻被记录的事件总数，则为一个强度为的Poisson过程。对Poisson过程定义的应用分析：由于每次事件独立，记录与不记录都与其他事件是否被记录独立。事件发生服从Poisson分布，所以M(t)具有平稳增量，只需验证M(t)服从均值为的Poisson分布。127应用随机过程

设{N(t),t≥0)是参数为λ的泊松过程,事件A在(0,τ)时间区间内出现n次，试求:P{N(s)=k|N(τ)=n},0<k<n,0<s<τPoisson过程定义的应用{}})({)(,)(nNPnNksNP=t=t=原式=解128应用随机过程泊松过程的数字特征均值函数方差函数自相关函数129应用随机过程泊松过程的特征函数为：协方差函数泊松过程的数字特征130应用随机过程作业：P481，5，7131应用随机过程3.2与Poisson过程相联系的若干分布3.2.1Xn和Tn的分布3.2.2事件发生时刻的条件分布132应用随机过程tT1T2T3T4…N(t)是跃度为1的阶梯函数Tn表示事件A第n次发生的时刻，Xn表示第n-1次与第n次事件发生的时间间隔.T03.2.1Xn和Tn的分布133应用随机过程

设{Xn,n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的时间间隔序列，定理则{Xn,n≥1}相互独立同服从指数分布,且E{X}=1/λ.证:

(1)因{X1>t}={(0,t)内事件A不出现}P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λtXn的分布即X1服从均值为1/λ的指数分布.134应用随机过程(2)由泊松过程的平稳独立增量性,有

P{X2>t|X1=s}=P{在(s,t+s)内事件A不发生|X1=s}X1=sX2t+s=P{N(t+s)

－N(s)=0|X1=s}=P{N(t)

－N(0)=0}=P{N(t)=0}=e－λt

与s

无关

故X2与X1相互独立，且X2也服从均值为1/λ的指数分布.135应用随机过程(3)对于一般n＞1和t＞0,以及

r1，r2，…，rn-1>0,有P{Xn>t|Xi=ri,1≤i≤n－1}=P{N(t+r1+…+rn－1)－N(r1+r2+…+rn－1)=0}=P{N(t)

－N(0)=0}=e－λt.

即136应用随机过程注

(1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指数分布的“无记忆性”是对应的.

(2)泊松过程的另一个等价定义：

如果每次事件发生的时间间隔X1,X2,…,相互独立，且服从同一参数的指数分布，则计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程.

(3)上述定义提供模拟泊松过程的途径.137应用随机过程甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆(甲)，15分钟1辆(乙)的泊松分布.假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望.例题解两路车混合到达过程为，甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布和的参数分别为，公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布。再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。138应用随机过程离去的人数是强度为3的Poisson过程(小时为单位).设8：00为0时刻,则例题早上8：00开始有无穷多个人排队等候服务，只有一名服务员，每个接受服务的时间是独立的服从均值为20min的指数分布。那么，中午12：00为止平均多少人已离去，已有9个人接受服务的概率是多少？解：其均值为12，即到12：00为止，离去的人数平均为12人,有9个人接受过服务的概率为139应用随机过程注：在排队论中称Tn

服从爱尔朗分布.参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第n次出现的等待时间Tn服从分布,其概率密度为：Tn的分布定理140应用随机过程｛Tn≤t}={N(t)≥n}={[0,t]内A至少出现n次}证:

因Tn是事件A第n次出现的等待时间,故141应用随机过程注：1)的密度函数为独立，则Proof2:因为Tn=X1+X2+···+Xn，

Xi均服从指数分布，而参数为指数分布即为所以Tn服从142应用随机过程已知仪器在[0,t]内发生振动的次数N(t)是具有参数

的泊松过程。若仪器振动k(k1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0

正常工作的概率。解故仪器在时刻t0

正常工作的概率为:故障时刻就是仪器发生第k振动的时刻Tk，服从

分布:例题143应用随机过程设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为λ的指数分布.以N(t)表示到t时刻为止已被服务过的顾客人数.求:（1）E[N(t)];（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;（3）第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.提示:的分布函数是例题144应用随机过程解:（1）由定义3.3,{N(t),t≥0}为强度λpossion

过程，故E[N(t)]=λt

；（2）记第n位顾客完成服务的时间为，根据定理3.3,第n位顾客等候服务时间为（3）根据定理3.3,或145应用随机过程例题146应用随机过程147应用随机过程3.2.2事件发生时刻的条件分布假设在[0,t]内事件A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间T1的分布。泊松过程平稳独立增量过程可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于0≤s＜t有148应用随机过程即分布函数为：条件分布密度为：0stT1149应用随机过程在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n个时刻T1，T2，

···,Tn的联合密度函数为定理证明设，取充分小使得150应用随机过程所以，151应用随机过程当时，的条件分布与[0,t]区间上服从均匀分布的n个相互独立随机变量的顺序统计量

的联合分布相同。在已知[0,t]发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻

（不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从[0,t]上的均匀分布。说明152应用随机过程假设乘客按参数为的泊松过程来到一个火车站，若火车在时刻t

起程，求在[0,t]内到达车站的乘客等待时间总和的期望，即求其中，是第i个乘客的来到时刻。例题在N(t)给定的条件下，取条件期望，解：153应用随机过程记为n个独立的服从(0,t]上均匀分布的随机变量，有所以154应用随机过程参数为n

和s/t

的二项分布设在[0,t]内事件A已经发生n次,且0<s<t,对0<k<n,求在[0,s]内事件A发生k次的概率.练习：解：155应用随机过程设事件A在s时刻被记录的概率是，若以表示到t时刻被记录的事件数，还是一个Poisson过程么？解：不是一个Poisson过程，虽然它具有独立增量性.但是，受影响，不再有平稳增量性.可以证明，对依然是Poisson分布，参数与

有关.的均值为其中例题156应用随机过程事实上，若对N(t)给定的条件下取条件期望，则有其中，p：157应用随机过程从而所以158应用随机过程作业P49

习题3.10；3.11159应用随机过程3.3Poisson过程的推广3.3.1非齐次Poisson过程3.3.2复合Poisson过程3.3.3条件Poisson过程160应用随机过程3.3.1非齐次Poisson过程齐次Poisson过程，其强度λ是常数，意味着在不同时刻，事件发生的速率都是个恒定值。当Poisson过程的强度λ随时间t变化时,Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程.在实际中,非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等.161应用随机过程计数过程{N(t),t≥0}称为强度函数为的非平稳或非齐次泊松过程，如果定义162应用随机过程令，计数过程{N(t),t≥0}称为强度函数为的非齐次Poisson过程，如果有独立增量；等价定义(3)对任意实数t≥0，s≥0，N(t+s)-N(t)为具有参数的Poisson分布，即：称为非齐次Poisson过程的均值函数(或累积强度函数)163应用随机过程定理设{N(t),t≥0}是一个强度函数为的非齐次泊松过程，的反函数，对任意t≥0，令非齐次Poisson过程的重要性在于不再要求平稳增量，从而允许事件在某些时刻发生的可能性较之另一些时刻来得大;非齐次Poisson过程与齐次Poisson过程可通过变换相互转化.则是一个强度为1的Poisson过程。转化定理164应用随机过程证明：（1）只需验证定义中的条件1~4，条件1~2较显然，下面验证条件3~4.记，则设则165应用随机过程即同理可得所以是参数为1

的Poisson过程。166应用随机过程

设{N(t),t≥0}是齐次泊松过程，强度为若给定强度函数，令则是有强度函数为非齐次泊松过程.转化定理(2)167应用随机过程设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。解：

考虑非齐次泊松过程，强度函数例题所以，168应用随机过程设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。练习169应用随机过程解：将时间5:00~21:00平移为0~16,依题意得乘客到达率为：1400200031316t乘客到达率与时间关系170应用随机过程171应用随机过程定义：称随机过程{X(t),t≥0}为复合Poisson过程，如果对于t≥0，X(t)可以表示为其中{N(t),t≥0}是一个Poisson过程，Yi,i=1,2,…是一族独立同分布的随机变量，并且与{N(t),t≥0}也是独立的.3.3.2复合Poisson过程复合Poisson过程不一定是计数过程；当Yi为常数时，可化为Poisson过程.172应用随机过程例子到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内的乘客数Yn服从相同分布,且又彼此统计独立,各辆车的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的,则到达体育馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程,其中：保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程{N(t)}，每次要求赔付的金额Yi都相互独立，且有同分布F，每次索赔额与发生的时刻无关,在[0,t]时间内公司的赔付总额{X(t)}是一个复合Poisson过程.173应用随机过程设是一复合Poisson过程，Poisson过程的强度为，则（1）有独立增量；（2）若则定理证明：（1）令，则由Poisson过程的独立增量性及各之间的独立性不难得出的独立增量性.174应用随机过程（2）利用矩母函数方法，有求导得，175应用随机过程设保险公司接到的索赔次数N(t)形成强度为每月2次的Poisson过程,且设保险公司第i次赔偿额是Yi,{Yi,i=1,2,…}独立同均值为10000元的正态分布,则一年中它要付出的平均金额是多少?解：[0，t]内赔偿额形成复合Poission过程，一年中它要付出的平均金额是例题176应用随机过程设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。练习177应用随机过程则:178应用随机过程定义：设是一个正的随机变量，在的条件下，

{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程，即对任意的s,t≥0，有则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程。注：

{N(t),t≥0}不是独立增量过程，但具有平稳增量，设的分布为G，则3.3.3条件Poisson过程179应用随机过程证明：

设{N(t),t≥0}为条件泊松过程，且则定理180应用随机过程

设意外事故的发生频率受未知因素影响有两种可能，且为已知，已知到时刻t已发生了n次事故.求下一次事故在t+s之前不会到来的概率.另外，这个事故发生的频率为的概率是多少？解所求概率为例题181应用随机过程182应用随机过程YP183应用随机过程184应用随机过程例3.11

设意外事故的发生频率受某种未知因素影响,有两种可能λ1,λ2,且0<p<1为已知.且当给定Λ=λi时,[0,t]时段内事故次数N(t)形成一强度为λi

的Poisson流.已知到时刻t为止已发生了n次事故,求[t,t+s]时段内无事故的概率.解：在Λ=λi的条件下，N(t)是强度为λi

的Poisson流.P{[t,t+s]时段内无事故|N(t)=n}185应用随机过程186应用随机过程第5章Markov链5.1基本概念5.2停时与强Markov性5.3状态的分类与性质5.4极限定理及不变分布5.5Markov链的大数定律与中心极限定理5.6群体消失模型与人口模型5.7连续时间Markov链5.8应用——数据压缩与熵187应用随机过程5.1基本概念简称马氏过程.已知“现在”的条件下，“过去”与“将来”是独立的。

Markov性（无后效性）188应用随机过程

随机过程称为Markov链，若它只取有限或可列个值(称为过程的状态,记为0,1,2,…),{0,1,2,…}或者其子集记为S，称为过程的状态空间.对任意及状态，有5.1.1Markov链的定义

Markov性…………189应用随机过程

设是马尔可夫链，对任意的，计算的联合分布律

乘法公式

马氏性

即马尔可夫链的有限维分布完全由初始分布和条件概率确定.

马氏性问题：如何确定条件概率？190应用随机过程注

当固定时，一步转移概率实质上就是在的条件下，随机变量的条件分布律，所以条件分布律满足：

定义1

设是马尔可夫链，记称为马尔可夫链在时刻时的一步转移概率。5.1.2转移概率191应用随机过程

定义2

设是马尔可夫链，若其一步转移概率与时间无关，即则称为时齐马尔可夫链，称为从状态转移到状态的一步转移概率.

若马尔科夫链的状态空间是有限集，则称为有限状态的马尔科夫链；

若马尔科夫链的状态空间是可列集，则称为可列状态的马尔科夫链.5.1.2转移概率192应用随机过程

定义3

设是时齐马尔可夫链，其一步转移概率为，记矩阵的每一行都是一条件分布律

记.称为齐次马尔可夫链的初始分布.

时齐马尔科夫链的有限维分布族完全由其一步转移概率矩阵

和初始分布

确定.则称矩阵为时齐马尔科夫链的一步转移概率矩阵.5.1.2转移概率193应用随机过程例1(一个简单的疾病死亡模型)5.1.3一些例子194应用随机过程设随机游动的状态空间为，其中

0

和a是两个吸收壁，即质点一旦到达状态或，则永远停留在该处.以表示质点在时刻时的位置，则是时齐马尔可夫链，称为带有两个吸收壁的随机游动.求其一步转移概率矩阵.解：一步状态概率为：一步状态概率矩阵为：

例2(带有两个吸收壁的随机游动或赌徒的破产)应用随机过程例3带有反射壁的随机游动应用随机过程跳转图！124311/31/31/31/31/311/3练习：197应用随机过程假设顾客依参数为的泊松过程来到一服务中心，只有一个服务员，来客发现服务员空着即刻得到服务；其他人排队等待服务。相继来到的顾客的服务时间Ti假定为相互独立的随机变量，具有共同的分布G；且假定他们与来到过程独立。

M/G/1排队系统中字母M代表顾客来到时间间隔服从指数分布，G代表服务时间的分布，数字1代表只有一个服务员。若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务时间分布不具无记忆性）。例4M/G/1排队系统198应用随机过程Xn-----第n个顾客走后剩下的顾客数，Yn-----第n+1个顾客接受服务期间来到的顾客数，则容易证明{Yn，n≥1}独立同分布，且因此，{Xn，n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为

为了克服上述困难，我们可以只在顾客离去的时刻考察系统，记199应用随机过程200应用随机过程记号称为马尔可夫链在时刻时处于状态经过时间后转移到状态的概率.设是马尔可夫链，其状态空间为①记马尔可夫链的步转移概率为5.1.4n步转移概率、C-K方程②n步转移矩阵201应用随机过程称此式为Chapman－Kolmogorov方程，简称C-K方程.

定理设是马尔可夫链，其状态空间为，则对任意的，有直观意义从状态i出发经过m+n步到达状态j，可分成两步走：①先从状态出发经过步到达状态；②然后再从状态出发经过步到达状态；

由马氏性知，后一阶段的状态转移与前一阶段的状态转移独立，故两个阶段的转移概率可相乘.202应用随机过程ikjk0证明：203应用随机过程从0出发经4步首次回到0状态解：应用随机过程

例6（广告效益的推算）某种鲜奶A改变了广告方式，经调查发现购买A种鲜奶及另外三种鲜奶B、C、D的顾客每两个月的平均转换率为：（假设市场上只有这4种鲜奶）

A→A（95%）B（2%）C（2%）D（1%）

B→A（30%）B（60%）C（6%）D（4%）

C→A（20%）B（10%）C（70%）D（0%）

D→A（20%）B（20%）C（10%）D（50%）假设目前购买A、B、C、D4种鲜奶的顾客的分布为（25%，30%，35%，10%），求半年后鲜奶A、B、C、D的市场份额。205应用随机过程解一阶转移矩阵为初始分布为则206应用随机过程半年后A、B、C、D四种鲜奶的市场占有率分别为：207应用随机过程例7208应用随机过程例87209应用随机过程210应用随机过程作业：例5.7转移概率习题5.1211应用随机过程5.2停时