勾股定理的简述与证明

勾股定理的简述与证明勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c,那么a2+b2=c2。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a2+b2=c2这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。”常见勾股数有(3,4,5)(5,12,13)(6,8,10)。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。那么，勾股定理可以怎样推导呢？加菲尔德证法加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。在直角梯形ABDE中，/AEC=/CDB=90△aec^^cdb在直角梯形ABDE中，/AEC=/CDB=90AC=BC=cc_c一泌-。宜DB~~2°S&AU8=~2(a4x(£?4V>,一上\iE：V>,一上\iE：—土•妇门：二上上E：ababc2(■十h)‘ 1 T — 2 2 2 2加菲尔德证法变式如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了加菲尔德证法。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积，即：1??-+c=(a+2db+c2=-a2+b2+2flbc1=a2梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为3、b,斜边长为把它们拼成如图,那样的一个多边形，使队E.F在一条直线上.过。作AC的延长线交DF于点P.D.E、F在一条直线上，且Rt，GEF巨&狂町二ZEGF=NBEAZEGF十ZGEF二90a,二ZBED+ZGEF=90*,:.ZBEG=180^-90°=90\又■/AB=BE=EG=GA=c,:*ABEG是一个边长为c的正方形二ZABC+ZCBE=90\林&ABC丝屁山EBD,二ZABC=NEBD.:.ZEBD+NCBE=90°-即ZCBD-90\又：ZBDE=90",ZBCP=9b,BC=BD=&二BDPC是f边长为a的正方珞同理，HPFG是一t边长为b的正方形一设多边形GHC班的面积为&则a+必=S+2X—ai.c2=5+2x—at2 2>

④（利用切割线定理证明）在艮返中，设直-a,AC=bt斜边AB=s如图，以B为圆心日为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于艮E,则BD=BE=BC=a.因为NBCA=90°.点C在OB上，所以AC是。B的切线.由切割线定理，得：AC-IE*ADccB-[AB-bBE"lAB-BD\ccB=(c+口也」a.I勾股定理的证明是论证几何的发端；是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理。它导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。勾股定理更是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而