医学统计 数值变量的描述性统计

第二章数值变量的描述性统计山东大学公共卫生学院刘云霞1主要内容§2.1频数分布§2.2集中趋势§2.3离散趋势§2.4正态分布及其应用2§2.1频数分布频数分布表的概念频数分布表的编制方法频数分布的特征频数分布的类型频数分布表的用途3例2.1某地2004年抽样调查100名男大学生的身高(cm)1074一、频数分布表的概念当样本含量n较大时，为了解样本中观察值的分布规律和便于指标计算，可编制频数分布表，简称频数表（frequencytable）。频数：对某一随机现象进行重复观察，或测量大量个体的某项特征，其中某个或某一组变量值出现的次数。频数表：将各变量值与其相应的频数列成表格形式即为频数表。5二、频数表的编制编制频数表时不可能把所有的变量值及其相应频数都列出来，特别是当样本例数n较大时，此时需要根据变量的取值范围划分为若干个组段，再汇总各组段的频数。具体步骤如下：以例2.1资料为例。6全距(或极差，range)是最大值与最小值之差，用R表示。例2.1中，最大值为183.5cm，最小值为162.9cm，故R=183.5-162.9=20.6（cm）。1.求全距数值变量资料频数表的编制7组段数：根据样本含量的多少确定，一般设8～13个组段。组距：各组段的起点和终点分别称为下限和上限，相邻两组段的下限之差(或每一组段的上、下限之差)称为组距。一般取等距分组，常用全距的1/10取整做组距。某组段(下限+上限)/2为组中值。划分组段：各组段应是连续的，不能有交叉或重叠。第一组段应包括最小值；最末组段应包括最大值，并同时写出其下限与上限。例2.1中，全距的1/10为20.6/10=

2.06，组距取整为2.0cm；最小值为162.9cm，故第一组段的下限为162cm，第二组段的下限为164cm，依次类推，最末组段为182cm

184cm，包含最大值183.5cm。

2.确定组段和组距数值变量资料频数表的编制83.列出频数表采用计算机或划记法将原始数据汇总，得出各组段的观察例数，即频数，把各组段（或各观察值）及其相应的频数列表即为频数表。注意：最末组段应写出上、下限，其余组段只包含下限，不包含上限。

数值变量资料频数表的编制92010三、频数分布的特征频数分布的两个重要特征：

1.集中趋势（centraltendency）：身高向中央部分集中，以中等身高居多(172cm

组段)，此为集中趋势。反映集中位置或平均水平。

2.离散程度（tendencyofdispersion）：由中等身高到较矮或较高的频数分布逐渐减少，反映了身高的离散程度。对于数值变量资料，应用集中趋势和离散程度二者结合起来分析其分布规律。

11图

某地100名18岁男大学生身高的频数分布集中趋势离散程度4512四、频数分布的类型对称分布：指频数分布的集中位置在中间，左右两侧大致对称。偏态分布：指频数分布不对称，集中位置偏向一侧：集中位置偏向数值小的一侧，称为正偏态分布；集中位置偏向数值大的一侧，称为负偏态分布。如有害化学物质在正常人体内的分布为正偏态分布；冠心病、大多数恶性肿瘤等慢性病患者的年龄分布为负偏态分布。不同的分布类型应选用不同的统计分析方法。

13图2-1某地100名18岁男大学生身高的频数分布14五、频数表的用途

频数表可以揭示资料分布类型和分布特征，以便选取适当的统计方法；便于进一步计算指标和进行统计分析；便于发现资料中的某些特大或特小的可疑值。当样本含量特别大时，可以频率估计概率。作为资料的陈述形式。在文献报告中，用频数表既可直观地反映被研究事物的分布特征，又便于作进一步的分析研究。15§2.2集中趋势平均数是一类用于描述数值变量资料集中趋势的指标，反映一组同质观察值的平均水平或中心位置。统计上的平均数包括均数、几何均数、中位数、众数、调和均数等。16一、均数均数(mean)是算术均数(arithmeticmean)的简称。定义：指所有观察值的代数和除以观察值的个数。符号：样本均数用表示，总体均数用(miu)表示。应用：用于反映一组同质观察值的平均水平，应用甚广。

适用于正态或近似正态分布的数值变量资料。计算方法：直接法加权法17直接法：用于样本含量n较小时，公式为：

式中，希腊字母(sigma)表示求和；

为各观察值；n为样本含量，即观察值的个数。例2.2

某地随机抽取10名18岁健康男大学生身高(cm)分别为168.7，178.4，170.0，170.4，172.1，167.6，172.4，170.7，177.3，169.7，求平均身高。

集中趋势的描述指标---均数---直接法(cm)18加权法：用于频数表资料或样本中相同观察值较多时，其公式为：例2.3计算例2.1表2-1资料100名男大学生的平均身高。

集中趋势的描述指标---均数---加权法该100名18岁健康男大学生身高的均数为172.70cm。19几何均数（geometricmean）定义：指一组观察值的乘积，再被观察值个数开方。符号：用表示应用：适用于①数据经过对数变换后呈正态分布的（对数正态分布）资料；②观察值之间呈倍数或近似倍数变化（等比关系）的资料。如医学实践中的抗体滴度、平均效价等。计算方法：直接法频数表法二、几何均数20例2.4有6份血清的抗体效价为1:10，1:20，1:40，1:80，1:80，1:160,求其平均效价。

集中趋势的描述指标---几何均数---直接法该6份血清的平均抗体效价为1:45。或样本含量n较小时21计算公式：例2.5某地区50名麻疹易感儿童接种麻疹疫苗1个月后，测其血凝抑制抗体滴度，如表2-2中(1)、(2)栏，求平均抗体滴度。集中趋势的描述指标---几何均数---频数表法频数表资料或样本中相同观察值较多时22集中趋势的描述指标---几何均数---加权法23注意：计算几何均数时观察值中不能有0；一组观察值中不能同时有正值和负值。集中趋势的描述指标---几何均数---加权法即其血凝抗体滴度的平均滴度为1:57。24中位数（median）是一种位置指标。定义：将一组观察值按由小到大的顺序排列后位次居中的数值就是中位数，小于和大于中位数的观察值个数相等。符号：用M表示。应用：用于描述任何分布，特别是偏态分布资料以及频数分布的一端或两端无确切数据资料的中心位置。计算方法：直接法频数表法三、中位数50%50%M25直接法：用于样本含量n较小的资料。

n为奇数时，n为偶数时，例2.6某病患者9名，其发病的潜伏期(d)分别为：2,3,3,3,4,5,6,9,16，求发病潜伏期的中位数。本例n=9，为奇数，故（d）。集中趋势的描述指标---中位数---直接法26计算步骤：①按所分组段由小到大计算累计频数和累计频率；②确定中位数所在组段，即累计频率包含50％的组段；③求中位数。

式中，分别为中位数所在组段的下限、组距和频数；为小于L的各组段的累计频数。例2.7某疾病控制中心记录了199名沙门氏菌属食物中毒患者发病的潜伏期(表2-3)，计算平均发病潜伏期。集中趋势的描述指标---中位数---频数表法适用于n较大时27集中趋势的描述指标---中位数---频数表法28例：分别取甲、乙、丙三人每人的耳垂血，然后红细胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm3）2.3离散趋势甲乙丙29全距（range，简记为R）亦称极差。定义：指一组同质观察值中最大值与最小值之差。全距反映了个体差异的范围：全距大，说明变异度大；反之，全距小，说明变异度小。应用：简单明了。常用于说明传染病、食物中毒等的最短及最长潜伏期。公式：R=xmax-xmin不足：①仅考虑了最大值与最小值之差

，不能反映组内其它观察值的变异度；②样本含量越大，抽到较大或较小观察值的可能性越大，故全距可能越大。因此，样本含量相差悬殊时不宜用全距比较。

一、全距30二、百分位数百分位数（percentile）用表示，0<x<100，是描述一组数据某百分位的位置指标。将全部观察值分为两部分，理论上有x％的观察值比它小，有(100-x)％的观察值比它大。最常用的百分位数是，即中位数。应用：①常与中位数结合应用，可以描述一组资料在某百分位置上的水平，也可以描述资料的分布特征。

M-P5=P95–M时，分布近似对称

M-P5<P95–M时，分布呈正偏态

M-P5>P95–M时，分布呈负偏态P5P95M31百分位数（percentile）应用：②也可用多个百分位数的结合来描述一组观察值的分布特征，如和合用时，反映中间50%观察值的分布情况；③百分位数可用于确定非正态分布资料的医学参考值范围。注意：应用百分位数，样本含量要足够大，否则不宜取靠近两端的百分位数。计算公式：分别为所在组段的下限、组距和频数；为小于L的各组段的累计频数。32百分位数33定义：四分位数间距(quartileinterval，Q)为上四分位数与下四分位数之差(或与之差)。计算公式：应用：用于描述偏态分布以及分布的一端或两端无确切数值资料或分布类型未知资料的离散程度。三、四分位数间距QLQMQU25%25%25%25%34四分位数间距包括了一组观察值的一半，故可把四分位数间距看成是中间50%观察值的极差。意义：Q越大，变异度越大；反之，Q越小，变异度越小。特点：由于四分位数间距不受两端个别极大值或极小值的影响，因而它较全距稳定，但仍未考虑全部观察值的变异度。离散程度的描述指标---四分位数间距35极差和四分位数间距都只考虑了个别观察值的大小差异，没有全面反映每个观察值的变异程度。就总体而言，即应考虑总体中每个观察值与总体均数的差值()，即离均差。因离均差之和，不能反映变异度的大小，故用离均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean)反映之。离均差平方和的大小除与变异度有关外，还与变量值的个数N有关。为了消除这一影响，取离均差平方和的均数，称方差(variance)或均方(meanofsquares)。四、方差36计算公式：总体方差样本方差n-1为自由度(degreeoffreedom)，一般用(niu)表示。因方差的度量单位是原度量单位的平方，故计算结果难以解释。离散程度的描述指标---方差样本方差用自由度n-1去除!37计算公式：总体标准差样本标准差五、标准差样本标准差用自由度n-1去除!38样本标准差离均差平方和常用或表示。直接法：加权法：

求表2-1中100名18岁男大学生身高的标准差。39意义：标准差大，表示观察值的变异度大；反之，标准差小，表示观察值的变异度小。应用：①适用于描述对称分布资料尤其是正态分布资料的离散程度。②结合均数，描述正态分布资料的频数分布规律，用于估计医学参考值范围；③结合均数，计算变异系数；④结合样本含量，计算标准误，估计抽样误差，用于统计推断。标准差40例题甲：n=5∑x=2500∑x2=1260400乙：n=5∑x=2500∑x2=1251000丙：n=5∑x=2500∑x2=1250250(万/mm3)(万/mm3)(万/mm3)41变异系数(coefficientofvariation,CV)，是标准差与均数的比值，用百分数表示，没有单位。计算公式：应用：常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的两组(或多组)资料的变异度。六、变异系数42例2.9某地调查100名18岁男大学生，身高(cm)为172.70，为4.01；体重(kg)为55.02，为4.06，试比较两者变异度。

由此可见，该地18岁男大学生体重的变异度大于身高的变异度。变异系数－例题身高：体重：43例

某地调查100名7岁男童的身高(cm)为119.95，为4.72；100名18岁男大学生的身高(cm)为172.70，为4.01。试比较两者变异度。

由此可见，该地7岁男童身高的变异程度较18岁男大学生大。变异系数－例题7岁男童：18岁男大学生：44生物现象中有许多变量服从正态分布，如健康人群的大部分反映身体形态、生理功能、机体代谢及免疫状况的解剖学、生理、生化、免疫学指标，一般都基本服从正态分布。例2.1中，由100名18岁男大学生的身高资料所绘制的直方图可看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端中点的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央(均数所在处)，两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线。该频数曲线(或频率曲线)被称作正态分布曲线。§4正态分布及其应用1245图2-1频数分布逐渐接近正态分布示意图46正态分布(normaldistribution)，也叫高斯分布(Gaussiandistribution)，是最常见、最重要的一种连续型分布。定义：设x为一随机变量，若其概率密度函数可以表示为：称x服从均数为、方差为的正态分布，记为。一、正态分布的概念及特征47

根据正态分布的概率密度函数

当和已知时，以为横轴，为纵轴，可绘出正态分布图形——正态曲线（normalcurve）。1.正态分布的图形Xf(X)m48正态曲线在横轴上方均数处最高。正态分布以均数为中心，左右对称。正态分布有2个参数----均数和标准差。均数决定了曲线的位置，称为位置参数；标准差决定了曲线的形状，称为变异度参数。正态分布在处各有一个拐点。正态曲线下面积的分布有一定规律。2.正态分布的特征Xf(X)m49

正态分布的特征(1)正态曲线为单峰曲线，在横轴上方均数处最高，曲线两端均以横轴为渐近线。(2)正态分布以均数为中心，左右对称。50(3)正态分布有2个参数，即均数

和标准差

。

是位置参数，当

固定不变时，

越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，

越小，则曲线沿横轴越向左移动。

是形状参数(亦称变异度参数)，当

固定不变时，

越大，曲线越平阔；

越小，曲线越尖峭。通常用N(,2)表示均数为

，标准差为

的正态分布。

不变，

发生变化

不变，

发生变化

正态分布的特征51(4)正态分布在

处各有一个拐点。

+

凸凹凹(5)正态曲线下的面积分布有一定规律。（见下文）正态分布的特征52标准正态分布

(standardnormaldistribution)：均数，标准差的正态分布称为标准正态分布。概率密度函数为：

3.标准正态分布53若x~N(,2)，对x进行如下变换：

则可证明，u服从标准正态分布，即u~N(