初中数学经典《相似》题

试卷第试卷第#页，总16页参考答案1.B【解析】试题分析：根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解.解：①两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形，角都是60°,故相似；两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；两个等腰直角三角形，都有一个直角和 45。的锐角，故相似.所以共有①③⑤3个不一定相似，故选B.考点：相似图形.点评：本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等.【解析】试题分析：设矩形ABCD的长AD=x,宽AB=y,根据相似多边形对应边的比相等，即可求得.解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y,则DM=_AD==x.22又矩形DMNC与矩形ABCD相似.f即f即ABAD1='■y*即y2=x2.•••x:y=J::1.故选C.考点：相似多边形的性质.点评：本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键D【解析】试题分析：先设岀b=5k，得岀a=13k，再把a,b的值代入即可求岀答案.解：令a,b分别等于13和5,…a=13,•且-b_]3_5=4a+b13+59故选D.考点：比例的性质.

点评：此题考查了比例的性质•此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形.C【解析】试题分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长.解：•••/A=ZDBC=36，/C公共，•••△AB3ABDC且AD=BD=BC设BD=x贝UBC=xCD=2-x.由于亠l= ”li'I?■-=「：2-3X整理得：x+2x-4=0，解方程得：x=-•/x为正数，•x=-1+冒匚.故选C.考点：黄金分割.点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质， 先用两角对应相等判定两个三角形相似， 再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出 BD的长.B【解析】CEDF试题分析：由直线a//b//c，根据平行线分线段成比例定理，即可得 X，又由AC=4,CEDFCE=6,BD=3即可求得DF的长，则可求得答案.解：Ta/b//c，ACBD■■"-，CEDF•/AC=4,CE=6BD=3•：:D?解得：DF='，9BF=BD+DF=3+=7.5.故选B.考点：平行线分线段成比例.点评：此题考查了平行线分线段成比例定理. 题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用.B【解析】试题分析：根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE则矩形ABD3矩形FDCE贝寸亘丿卩DF~DC设DF=xcm，得到：6_87^6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是： 4.5X6=27cm.TOC\o"1-5"\h\zA 5CB FD考点：相似多边形的性质.点评：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.B【解析】根据相似三角形的性质逐个进行判断可知 A、CD正确，B错误.试题分析：解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为 3，所以△ABBAA'B'C'，正确；B、可知△ABC与厶A'B'C'的相似比为 ，错误；3C、 所以△ABC与厶A'B'C'的对应角相等，正确；D因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与厶A'B'C'的相似比为•，正确.3故选B.相似图形.考点：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相点评：似三角形的对应角相等，对应边的比相等.C【解析】由/A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由试题分析：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用.解：T/A是公共角，•••当/ABDMC或/ADBMABC时，△ADB^AABC(有两角对应相等的三角形相似) ；故A与B正确；当二一兰时，△ADB^AABC(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似) ;AB_AC故D正确；当' ：时，/A不是夹角，故不能判定△ADB与厶ABC相似，BDCD故C错误.故选C.考点：相似三角形的判定.点评：此题考查了相似三角形的判定.此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用.C【解析】试题分析：令每个小正方形的边长为 1,分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点 R对应的位置.解：根据题意，△ABC的三边之比为_： 7：:,要使△ABBAPQR则厶PQR的三边之比也应为彳2：丽：丽，经计算只有丙点合适，故选C.考点：相似三角形的判定.点评：考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.(3)三边对应成比例的两个三角形相似.A【解析】试题分析：解：T"=丄EB2.AE=1=1••EF//BC,••△KEF^ABC,.%AEF_(1)[g'△ABC3 9•'9SZAEF_Szabc■-S四边形bcf_8,「9(SZABC_8)_SZABC解得：szabc=9.故选A.考点：相似三角形的判定与性质.点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用， 注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目.C【解析】试题分析：设BC=a,则AB=BC=a,CD=「a•'AB:CD=1: 7••AB//CD••△OB込0D•'AB:CD=1:二••^OB与ZDCO的面积之比为1:3故选C.考点：相似三角形的判定与性质.点评：通过两个直角三角形的公共边找到两个三角形之间的联系是解决本题的关键.12.【解析】试题分析：由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得 二_二，又由b=3cm,b_dc=2cm,d=6cm,即可求得a的值.解：••四条线段a、b、c、d成比例，•'b=3cmc=2cm,d=6cm，a2J36解得：a=1cm.故答案为：1.考点：比例线段.点评：此题考查了比例线段的定义•此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义.13.①②③【解析】试题分析：根据黄金分割点的定义列出算式，然后求解得到 AP与AB关系，再根据ABAP、BP三者之间的关系对各小题整理即可判断正误.解：•P为AB的黄金分割点，•世_AB•AP2=AB?PB故①小题正确；AP=AB?(AB-AP)，AF2+AB?AP-AB"=0，解得AF= AB,故②小题正确；Vs-1(AB-FB)= AB,•••PB=AB-AP= AB,2•••「■：=_J '，故④小题错误；PE3_葩 22'■= ，故⑤小题错误.AB2综上所述，①②③正确.故答案为：①②③.考点：黄金分割.点评：本题考查了黄金分割，明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键.14.a+b【解析】试题分析：由图可得四块土地的面积为 a2+bc+ac+ab,此式可分解因式为(a+b)(a+c),据此可得解.解：由题意得，四块土地的面积为 a2+bc+ac+ab,•所换的土地的面积=a+bc+ac+ab=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c),•••这块地的宽为a+c米，•这块地的长为a+b.故答案为：a+b.考点：相似多边形的性质.点评：此题主要考查分解因式的应用，读懂题意，列岀代数式是关键.15•无数 多边形的形状发生了变化【解析】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的 厶只是周长缩小为原来的 -，根据相似多边形3 3的定义，可知多边形的形状会发生变化，故这样的多边形可以画无数个.解：将一个多边形缩小为原来的 ，这样的多边形可以画无数个，理由是：将一个多边形缩3小为原来的•时，只是周长缩小为原来的_,对应边不一定成比例，对应角也不一定相等,3 3即多边形的形状发生了变化，故这样的多边形可以画无数个.考点：相似图形.点评：本题主要考查了相似多边形的定义： 如果两个多边形的对应边的比相等， 对应角相等,那么这两个多边形是相似多边形•即形状相同，大小不一定相同的多边形叫做相似多边形.24281014.：'24，；，；，716.【解析】试题分析：•••两个三角形相似，设另外两条边长为 x,y如果是5cm和4cm的边长是对应边

沪：：cm5如果6cm和4cm边长是对应边所以'=='■'，561解得x='cm，y= cm，3 3如果7cm和4cm边长是对应边则—="='，567y=-_cm7y=-_cm77故答案为:24T28.1014.20故答案为:24T28.1014.2024考点：相似三角形的性质点评：此题主要考查相似三角形的性质这一知识点，边的三种情况进行分析，这也是学生容易忽视的地方.此题需要利用分类讨论的思想,从对应17.考点：相似三角形的性质点评：此题主要考查相似三角形的性质这一知识点，边的三种情况进行分析，这也是学生容易忽视的地方.此题需要利用分类讨论的思想,从对应17.三cm或3cm3【解析】试题分析：①如图2,当mDEQABC时，有AD:AE=AB:AC'•AB=9cm,AC=6cm,AD=2cm4•'AE=cm;3②!口图1，当△KED^ABC时，有AD:AE=AC:AB'•AB=9cm,AC=6cm,AD=2cm•'AE=3cm•'AE为cm或3cm.3考点：相似三角形的性质.点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌握情况.考点：相似三角形的性质.点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌握情况.18.AB=2BC.【解析】试题分析：过A作AEdBC于E、作AFJCD于F,••甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2倍，••AE=2AF,••纸条的两边互相平行，••四边形ABCD是平行四边形,•••/ABC=zADC,AD=BC,••2AEB=zAFD=90,••△kBEsADF,•-AB_AE_2即桂=2ADAF1BC1故答案为：AB_2BC.考点：相似三角形的判定与性质.点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质， 根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键.【解析】试题分析：解：过F作FH/AB交CE于H,••FH/AB,•••zHFD_zEBD,••D为BF的中点，••BD_DF,在伯ED和舉HD中rZEBD=ZHFDZEDB=ZFDH,lbd=df.•zbed^fhd(sas,.•fh_be••FH/AB,••©FH^CAE••HF:AE_CFAC,••AC_AB,CF_AE••AF_BE_HFHFCF1-w设AC_AB_1,AE_x贝U_即为——AEACK解得x_ ,AF_；--',2222考点：相似三角形的判定与性质.点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、 三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键.【解析】试题分析：•••EF/BD•••zAEG=^ABC,ZAGE=zACB,□1•■ZAEG^^KBC,且S/ae(=—S四边形EBCG•'SZAEGSZABC=1:4,•'AG:AC=1:2,又EF/BD•••ZAGF=zACD,ZAFG=zADC,••△XGSACD,且相似比为1:2,•zafGSZACD=1:4,FDCGFDCG••AF:AD=GF:CD=AGAC=1:2•••ZACD=90••AF=CF=DF••CF:AD=1:2.考点：相似三角形的判定与性质.点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.①40 ②0【解析】试题分析：①若菱形的一个内角为 70°,求该菱形的“接近度”，可以求出菱形的相邻的另一内角的度数，这两个数的差的绝对值就是接近度；②当菱形的“接近度”|m- n|=0时，菱形是正方形.解：①若菱形的一个内角为 70°•该菱形的相邻的另一内角的度数 110°•接近度”等于|110-70|=40;②当菱形的“接近度”等于 0时，菱形的相邻的内角相等，因而都是 90度，则菱形是正方形.

考点：相似图形.点评：题是一个阅读理解问题，真正读懂题目，理解“接近度”的含义是解决本题的关键.(1)1; (2)或或一一24 4【解析】试题分析：(1)存在另外1条相似线.如图1所示，过点P作13/BC交AC于Q,则mPQ^ABC;故答案为：1;(2(2)设P(1x)截得的三角形面积为如图2所示，共有4条相似线：S,S=Szabo则相似比为1:2.4①第1条i此时P为斜边AB中点"A—、邵2条2此时P为斜边AB中点，12/BC,A；BA2斜3条3此时BP与BC为对应边，且二=，二[，=—一一壬:;BC2BA实qcos306④第4条4此时AP④第4条4此时AP与AC为对应边，且〕=[,•里払=丄.世更AB一匹一了•蘇4sin306故答案为：「或；或主.图①考点：相似三角形的判定与性质.点评：本题引入相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算;难点在于找出所有的相似线，不要遗漏.丄29【解析】试题分析：先设_="=E=k，可得x=2k,y=3k,z=4k，再把x、y、z的值都代入所求式子计算即234可.解：设—="==k，可得x=2k，y=3k，z=4k，234=「：-二「-二匸4k2+9k£+16k2=：29考点：比例的性质.点评：本题考查了比例的性质.解题的关键是先假设 二==^=k，可得x=2k，y=3k，z=4k，降低234计算难度.24.经2或0.8秒钟仲BQ与△KBC相似【解析】试题分析：设经x秒钟ZPBQ与ZABC相似，则AP=2xcm,BQ=4xcm，'•AB=8cm，BC=16cm,•'BP=AB-AP=(8-2x)cm，•••/B是公共角，••①当. ''，即 '一二1时，ZPBQ^ABC,BABCS16解得：x=2;②当］-［即J1：，时，/QBP^ABC,BC~BA16 3解得：x=0.8，••经2或0.8秒钟ZPBQ与AkBC相似.考点：相似三角形的性质.点评：此题考查了相似三角形的判定•此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.2(1)8cm (2)40cm (3)16cm【解析】iR1试题分析：("••△ABSAB'C'，-7—=~，AB边上的中线CD=4cm,AB2.CD=丄•疔迈，•CD'=4cnrK2=8cm，•AB'边上的中线C'D'的长为8cm；・.0ABSA'B'C', 严”二丄,△KBC的周长为20cm,AB2「••一上一=^AAZB?C/2••△vB'C=20cmX2=40cm・△'B'C'的周长为40cm;•••虫BC^A'B'C', 严”二2,^A'B，C，的面积是64cm2,AB2・上-=「• ■=]^Aaz3zCz2 422•'S/AB(=64cm—4=16cm,.'△kBC的面积是16cm2.考点：相似三角形的性质.点评：本题主要考查了相似三角形的性质， 掌握相似三角形的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方.见解析【解析】试题分析：(1)由题意，△ABC中，/BAC=90,D为BC的中点，可得，BD=CDAD=CD所以，/C=ZDAC又由AE!AD所以，/EAB+ZBAD=90,/BAD+/DAC=90,所以，/EAB2C,即可证得；(2)由(1)得，/EABZCAD所以，当/ABE/ADC或AB=BE或/E=/C或塑型时，△ABEACAD和厶ADC一定相似.证明：(1)v^ABC中，/BAC=90,D为BC的中点，BD=CDAD=CD/C=ZDAC又•AE!AD/EAB+/BAD=90,/BAD/DAC=90,/EAB/C,△EAB^AECA(2)由(1)得，/EAB/CADiffAR•当/ABE/ADC或AB=BE或/E=/C或=='时，△ABE和厶ADC一定相似.ACAD考点：相似三角形的判定.点评：本题主要考查了相似三角形的判定， 掌握两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，是正确解答本题的基础.4.4m【解析】试题分析：延长0D,•/DO!BF,•••/DOE=90,■/OD=0.8m,OE=0.8m,•••/DEB=45,•/AB丄BF,•••/BAE=45,AB=BE,设AB=EB=xm,•/AB丄BF,CO丄BF,AB//CO,△ABF^ACOF,.,x_i.2+asx+(3_0.8) 3解得：x=4.4m.经检验：x=4.4是原方程的解.答：围墙AB的高度是4.4m.考点：中心投影；相似三角形的判定与性质点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出 AB=BE,根据相似三角形的判定方法证明△ABF^ACOF.2：3【解析】Fff1 1 1试题分析：过点F作FE/BD,交AC于点E,求出1'=-,得出FE=BC,根据已知推出CD=BCBC3 3 2根据平行线分线段成比例定理推出 F,代入化简即可.NDCD解：过点F作FE//BD交AC于点E,•型少>厂，•/AF：BF=1:2,.童…=:，•翌：■厂:，即FE—BC,3•/BC:CD=21,

•••CD=BC,2•/FE//BD,•:丄Fj—=■:NDCD1BC32即FN:ND=23.证法二、连接CF、AD1,1,..——，ABBD3•••/B=ZB,•••△BCF^ABDA：=：'=：，ZBCF=/BDAADBD3FC/AD,△CNF^AAND「uN「」=:.考点：平行线分线段成比例.点评：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目.29.（1）不相似，理由见解析 （2）1.5或9【解析】试题分析：（1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等；（2）如果两个矩形ABCD与A'B'CD'相似，对应边的比相等