等腰三角形的证明习题集和答案

...wd......wd......wd...等腰三角形一、选择题1.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为〔〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕2.如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M是AE的中点，以下结论：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是〔〕〔A〕1个〔B〕2个〔C〕3个〔D〕4个3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cmB．16cmC．17cmD．16cm或17cm二、填空题1.边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.3.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．4.等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，假设∠ADF=80º，则∠EGC的度数为5.如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=_______.6．如图〔四〕所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。7.如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．三、解答题1.如图〔1〕，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开场和完毕时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图(2)〔1〕问：始终与△AGC相似的三角形有及；〔2〕设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式〔只要求根据图(2)的情形说明理由〕〔3〕问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.题1图(1)题1图(1)BHFA〔D〕GCEC〔E〕BFA〔D〕题1图(2)ABCEDO2、如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BEABCEDO(1)求证AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．3.如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．〔1〕求证：DE平分∠BDC；〔2〕假设点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．4.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，假设AE=4，FC=3，求EF长．5.数学课上，李教师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进展了如下解答：〔1〕特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AEDB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕．〔2〕特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB〔填“＞〞，“＜〞或“=〞〕．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，〔请你完成以下解答过程〕〔3〕拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．假设△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长〔请你直接写出结果〕．等腰三角形答案一、选择题BDD二、填空题1、3√32、4或63、--------4、805、46、807、15三、解答题1.1〔2011广东东莞，21，9分〕【答案】解：〔1〕△HAB，△HGA。〔2〕∵△AGC∽△HAB，∴，即。∴。又∵BC=。∴y关于x的函数关系式为。〔3〕①当∠GAH=45°是等腰三角形.的底角时，如图1，可知。②当∠GAH=45°是等腰三角形.的顶角时,如图2，在△HGA和△AGC中∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=450，∴△HGA∽△AGC。∵AG=AH，∴∴当或时，△AGH是等腰三角形。【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。【分析】〔1〕在△AGC和△HAB中，∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC，∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC，∴∠AGC=∠BAH。又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC∽△HAB。在△AGC和△HGA中，∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF，∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF，∴∠CAG=∠H。又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。〔2〕利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。〔3〕考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。ABECDO2、〔2011山东德州19,8分〕〔1〕证明：在△ABECDO∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．∴AD=AE．(2)互相垂直在Rt△ADO与△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线．又∵AB=AC，∴OA⊥BC．3、〔2011山东日照，23，10分〕证明：〔1〕在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；〔2〕如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．4、〔2011湖北鄂州，18，7分〕【解题思路】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=5【答案】连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5【点评】此题考察了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。5、〔2011•绍兴〕考点：全等三角形判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。专题：计算题；证明题；分类讨论。分析：〔1〕根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；〔2〕作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；〔3〕分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案．解答：解：〔1〕故答案为：=．〔2〕故答案为：=．证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC，∴AE=AF=EF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，即BE=CF，∵∠ABC