高等数学期末试卷及答案

PAGEPAGE9高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面在点处的切平面方程是（）A.B.C.D.2．设函数具有二阶连续偏导数，，则=（）A.B.C.D.3．设空间区域，则下列等式（）成立.A.B.C.D.4．下列级数中，绝对收敛的级数是（）A.B.C.D.5．已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为（）A.B.C.D.二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线且母线平行于轴的柱面方程为．7．设函数，其中是由确定的隐函数，则．8．微分方程的通解为．9．交换积分次序．10．级数的收敛半径．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数的极值．12．求曲面介于两平面与之间的部分的面积．13．求微分方程满足条件的特解．14．求过点和且垂直于平面的平面方程．15．求幂级数的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程满足条件的特解．17．已知点与的直角坐标分别为与．线段绕轴旋转一周所成的旋转曲面为．求由及两平面所围成的立体体积．18．将函数展开成的幂级数，并求的和．五、证明题（本题满分6分）19．设是的函数，且，求证：．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B；2．D；3．C；4．C；5．A．二、6．；7．1；8．；9．；10．1/2．三、11．解，由解得驻点，又因为，则在点处，，，且，故点是函数的极小值点，极小值为．12．解．13．解因均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令，则，代入方程，得，即．两边积分，得，将代回，得通解．由初始条件，得．故所求特解为．14．解由题设知，所求平面的法向量，既垂直于已知平面的法向量，又垂直于向量，故可取，由此得所求平面的点法式方程为，即．15．解因为，，记，则，对上式从0到的积分，得，故.四、16．解原方程对应的齐次方程为，齐次方程的特征方程是，解得其特征根为，于是齐次方程的通解为．由于不是特征根，故非齐次方程的特解形式应设为，将它代入非齐次微分方程中，得.于是，非齐次微分方程的通解为.将初始条件代入，得，故所求的特解为．17．解直线的方程为，即过轴上的中任一点且垂直于轴截旋转体所得截面是一个圆，与交于点．于是圆的半径为，面积为．因此，．18．解因为当时，有所以，取，得．五、19．证明在方程两边同时对求导数得，.同理，得，将所求偏导数代入等式，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数在原点处的偏导数存在情况是（）(A)存在，存在；(B)存在，不存在；(C)不存在，存在；(D)不存在，不存在．2．变换积分的次序为（）(A)；(B)；(C)；(D)．3．直线与平面的关系是（）(A)互相平行，不在上；(B)在上；(C)垂直相交；(D)相交但不垂直．4．若级数与均收敛，则下列级数绝对收敛的是（）A．；B．；C．；D．．5．设平面区域是由直线及两条坐标轴所围成，记；则有（）(A)；(B)；(C)；(D)．二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点且与直线垂直的平面方程是．7．微分方程的通解为．8．已知平面是曲面在点处的切平面，则的值等于．9．级数的收敛域为．10．是由与所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设，其中具有二阶偏导数，求．12．已知，且与的夹角，求以和为边的平行四边形的面积．13．设是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面围成的空间区域，求．14．求微分方程的通解．15．将函数展开成的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分）16．求的极值．17．求曲面与所围立体的体积．18．求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明满足方程．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B；2．D；3．A；4．C；5．B．二、6．；7．；8．3；9．；10．．三、11．解，．12．解由向量积的几何意义知，以和为边的平行四边形面积为13．解由旋转抛物面与平面围成．曲面与平面的交线为选用柱坐标变换由题意得积分区域，于是14．解由特征方程得特征根为，所以，齐次方程的通解为，又由是特征方程的单根，于是，即，代入公式中，得，所以，从而，原方程的通解为．15．解