高考数学立体几何含答案

2014年高考数学试题汇编 立体几何•选择题1.（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）A圆柱 B.圆锥C.四面体D.三棱柱A2.（2014新课标I）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6.2B.42C.6D.4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥 DABC，其中ABBC4,AC42,DBDC25，DA.4:22* 4 6，故最长的棱的长度为DA6，选C3.（2014新课标II）如图，网格纸上正方形小格的边长为（（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A.1727B.9【答案】 C加工前的零件半径为3,咼6,•••体积v1=9n?6=54n.加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半径为3,高为2.•体积v2=4冗?4+9n?2=34n.•••削掉部分的体积与原体积之比二54n-34n=10.故选C.54n274（2014浙江）某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体的表面积是2129cm

2132cm

2138cmD5.（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】BTOC\o"1-5"\h\z【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选： B6（2014重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）正視由 左悝as 新檯宙A.54 B.60 C.66 D.72【答案】B【解析】原三棱柱：底面三角形3*4，高4；截掉高为3的上部棱锥后余下的几何体表的面积15 3 27 "•、小S下=6,S上二？,S侧=15+18+3?9= 33+?, s=S下+ S上+ S侧=60…^选B7.（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.82B.8iJMJi 4m【答案】B【解析】n*12几何体为直棱柱，体积V二sh=（2*2- ）2=8-冗选B.28（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图 2所示，将该石材切削、打磨、加工成球,则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4DS2【解析】由图可得该几何体为三棱柱JS次工桃圉.陌观图.俯加的內切匾1半橙最小的是正视图（直甫三:ffi形）所对应的內切圆廊以最大球的半径再正视取直角三角形内论匾的半径厂则8—r+6—r= 十6丄斗厂=2，故选B.【若点定位】三视图内切圆球三棱柱9（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为的正视图和俯视图分别为（ ）的正视图和俯视图分别为（ ）(A)21 3 (B)18.3 (C)21 (D)187A7710.（2014湖北）在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体

④和②④和②EO1dI聲析】试跺析】在坐标系中标出已知的四个点，根居三视囲朗画圈规划和断三桂儘的正视图为3）与俯视图为②,、；上、；上点评：本题考查空间由已知条件 ，在空间坐标系中作出几何体的形状， 再正视图与俯视图,容易题。A.6.11. （2014大纲）已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，11. （2014大纲）已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CDACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为1-.2A.一B.44【答案】B.12. (2014辽宁)D.已知m,n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（A.若m//,n//，则m//n.右m，则mnC.若m,mn，贝Un// D.若m//,mn，贝Un【答案】B【解析】对A,平行同一平面的两直线，不一定平行.错对B,直线垂直平面，则垂直平面上的直线对.C,D不用再看选B.13.（2014广东）若空间中四条两两不同的直线 Il」2,l3,l4，满足ll l2」2bh〔4，则下列14、（2014四川）如图，在正方体ABCDABQQ!中，点O14、（2014四川）如图，在正方体ABCDABQQ!中，点O为线段BD的中点。设点P在线段CC1上,直线OP与平面取值范围是（ ）【答案】B【解析】A“BD所成的角为 ，则sin的C1PC结论一定正确的是A.l1 14B.I1//I4 C」1」4既不垂直也不平行 D」1,l4的位置关系不确定答案:D设边长为1,分别以CD,CB,CC为x,y,z轴建立坐标系，设P(0,0,m),m€[0,1]，则1°(?,?,0),B(0，,0),D(1,0,0),A(1,1,1).面A1BD法向量为n=(x,y,z),则1BD=(1,-1,0),DA1=(0,1,1),°P=(--,-2，m),m€[0,1]nBD=nBD=0,解得一个n=(1,1,-1).sina=|cos<n,°P>|=.n°P2(1+m)2(1+m)26'「3(1+2m2)6'「3(1+2m2)€F1】.选B<3J1+m2\215.（2014陕西）已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的体积为（ ）32 4\o"CurrentDocument"A B.4 C.2 D.—3 3【答案】D【解析】设球的半径为r,(2r)2=12+12+(、2)2二4,解得r=1,二V=-nr3=4冗选D3 316.(2014大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2，则该球的表面积为()A 81— 27A.—— B.16 C.9 D. 44【答案】A17（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为「对，其中所成的角为60°的共有(A)24对(B)30对 (C)48对(D)60对8A鉄牙和*呻唯」UrUjW**■心电hjt・18.（2014湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也 .又以高乘之，三十六成一.1该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L与高h，计算其体积V的近似公式v—L2h.它实362际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3.那么近似公式v—L2h相当于将圆锥体75积公式中的近似取为（)a22c 25C.157D.355A.——B.7850113【善女】BL聲析】试趣分靳宅设｛斑屁画时半径貧r.蕎育*・依埋Jt. 扌方，所以1代邑心囲托的近敝億拘兰，故选乩3 75 8192014上海）如图，四个棱长为 1的正方体排成一个正四棱柱， AB是一条侧棱,Pi（i1,2,...）是上底面上其余的八个点，则ABAPi（i1,2...）的不同值的个数为))(A)1 (B)2 (C)4 (D)8【答案】A【解析】AB?AP=|AB|?|AP|cosvAB,AP>=1?1=1二只有一个值选A20(2014北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0,D1,1,.2，若S,，$，S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）S1S2S3 （B）S|S2且S3S（C）sS3且S3S^ （D）S^S3且sS3t【答案】D【解析】试题分析；三校锥D-逐在平面疋芳上師投影为心比，所以设。在平面严）s尿不平而上的投影分别为2、则D-ABC在平面严⑺勿x上的投影分别为AOCD^.^OADV因洵纠（0丄血片6（1①血,所以笛一场二运，故选D-21.（2014新课标II）直三棱柱ABC-AB1C1中，/BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC,则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）D.今【答案】 CA.如图，分别以c1b1,GA，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令AC=BC=C1C=2,则10.A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).aBM=(-1,1-2),AN=(0,-1,-2)。cose=JM?AL=0-1+4_30.故选C.|BM|?|AN| 65 1022(2014江西)如右图，在长方体ABCDABGDi中，AB=11,AD=7,AA,=12,一质点从顶点A射向点E4,312，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，将i1次到第i次反射点之间的线段记为Lii2,3,4,L1AE，将线段・丄2丄3丄4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（f【答案】CQQ QC 122 13,TOC\o"1-5"\h\z【解析】A(0,0,0),E(4,3,12),E1(8,6,0),E2(-8,7,4),E3(11,25,9),AE.42 122 13,3 42EE1 .42EE1 .4232 5上店2- 1 43 32 22 2E2E3526512E1E2二.填空题1.（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面分别为Si,S2，体积分别为Vi,V2，若它们的侧面积相等，且宜9，则冷的值是▲.S24 V2【答期I【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为：沁吟尿,则2砧二亦打如二鱼，又%G碁鲨丄所以①=2,测= =g.如=1-殳=勺=3.屍加*2 4 珂2 %处a為4松勺与旳2【着点.】鬲枉的侧面积2体积.2（2014山东）三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V，PABC的体积为V2，则出 .【答勅-4] .十_ 1【解析】由已知瓦却二-轧汕设点U到平面巴4方距离为苏则点凰EI平面巴4疗距离为-4,所从—几何体的体积一3（20143（2014天津）已知一个几何体的三视图如图所示（单位: m）,则该几何体的体积为m320n【答案】3【解析】几何体上部是圆锥，下部是圆柱，该几何体的体积为「4 -22吃二血m3.4、（2014上海）（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC,其表面展开图是三角形PlP2P3，如图，求△PiP2P3的各边长及此三棱锥的体积 V•2【答案】4,4,4; 3【解析】是正三棱锥P-ABC二ARAB,APBC,APAC为全等等腰三角形AABC是边长为2的正三角形，二ARAB,AP2BC,AP3AC均是边长为2的正三角形所以，ARP2AP3是边长为4的正三角形设正三棱锥P-ABC高为h,则h2=22-（23）2,解得h=3•••正三棱锥P-ABC的体积V=-?SAABC?h=-r.3?^-6=口3 3 3厂所以，正三棱锥P-ABC的体积为迂235（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。

【答案】 arctan2.2【解 析】| 设圆锥高h,底面半径r,则S侧=?2nc?r2+h2,S底=n2PS侧=3S底二n?、r2+h2=n2,化简得h解得8r2=h2,即tanB=-=2一2,B=arctr所以，是arctan2.2三•解答题1.（2014江苏）（本小题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA6,BC8,DF5.求证：（1）直线PA//平面DEF;（2）平面BDE平面ABC.I—【答霊】证明见解析”卩【解析由于分别是PC,AC中点，则老FANDE’又丹工平面DEF, 平面DEF>所以戸曲平面刀砾（2）由（DPAHDE.V.PA1AC,所以PSLAC,又去是丄占中氐所以口運二丄必4=42EF=-BC=A,又三父所氐DS24EF*=D护、所限Q&丄时E^,AC是平面的C內两条2相交直践.所以M丄平面AEC二又口氐匚平面BDE,所威平面丄平【着点1芟面平行与面面垂直-2 （2014山东）（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形， DAB60,AB2CD2,M是线段AB的中点.（I）求证：GM//A1ADD1；（n）若CD1垂直于平面ABCD且CD1 3，求平面GDjM和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值MM内为四边彤是等I#梆形4且AB・2CD,miABftLX：.又 的中点.丙此CD〃皿且CDMA.连接川车A金四栓柱曲d・4耳qq中.囚为CD“C卫.SYR.

可得C\D』MA.C»二・加・所以四边形AMCA为平行四边形.因此C卜“DS■又C小平面A.ADD..D/v平宙4加0.所以C{M!f平面心1叫・cd）m&-i^AC.MC.由（I）知CD"AM且CD=O.所以四边AMCD为平行四边形.可得BC=AD・MC.由题•就ZABC=ZDAB=60・.所以WBC为正三角形.因此ARJB—"=屁因此CALCff・崩口丿怙忸卩41纠OJW口（0亠小釘，丙此5/（^1；・0}*22所哦MDt■C-^―t-&忑）■B&\-Jltfflm（-^-—flJ2212设丰直CDM的-十搭间城”=Wyfg.得V>x~）得V>x~）~Di可得平禹匚卫m的一>池向Aim<l^'5h1］X陌-W.4再）角甲面J4SCD前一nfc向址-因此沁<CZ）因此沁<CZ）［1fl>肝厲 和吓直/虧'Q朋觇的角（说角肝厲 和吓直/虧'Q朋觇的角（说角'典上朮址为幅二；由f［）知平曲cicrvn平面朋a〉=曲,过c向』占引垂藏交励于N*连捲甜押.由化丄平而佃C7）・可得q斗丄AB,因就3用为二直扃£-/<£-匚「曲平面甫,在 中，£C=K H斤可痔CJ/=y.在简△/>€?/中・在简△/>€?/中・cosCNT热nVTsT所以平面和平關ABCD所虜的術（鶴帝）的余张饉为£5—Ill—（2014北京）（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H

(1)求证:AB//FG;(2)若(1)求证:AB//FG;(2)若PA底面ABCDE，且AFPE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.(17)(共14分)解：(I)在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB//DE。又因为AB平面PDE,所以AB//平面PDE,因为AB平面ABF,且平面ABF平面PDFFG,所以AB//FG。(n)因为PA底面ABCDE所以PAAB,PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),1BC1BC(1,1,0).设平面ABF的法向量为n(x,y,z)，则Tn%0,即x0,n0, yZ0.令z1,,则y1。所以n(0,1,1),设直线BC与平面ABF所成角为a,则sinan因此直线sinan因此直线BC与平面ABF所成角的大小为-6设点H的坐标为（u,v,w）.。因为点H在棱因为点H在棱PC上，所以可设pHTOC\o"1-5"\h\z即（u,v,w2） （2,1,2）.。所以u2,v,w22 。I因为n是平面ABF的法向量，所以n走0,即（0,1,1）（2,,2 2） 0。一422解得 ，所以点H的坐标为（―，，）.。33342 22 42所以PH：（3）（3）（3） 2（2014重庆）（本小题满分12分）如图（19），四棱锥PABCD，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，1AB2,BAD— BM-,MPAP3，M为BC上一点，且 2 .（1）求PO的长；（2）求二面角APMC的正弦值。310【答案】（I）2（||）5【解析】

由题知，PO丄面ABCD,AABD,ABCD都为正三角形，且OM丄BCTOC\o"1-5"\h\z2 2 2* r. 2 1 1 2 21AM=PA+PM•在AABM中，AM=4+ -2?2?—?cos—n=—\o"CurrentDocument"2 3 4PA2=PO2+AO2=PO2+3,PM2=PO2+OM2=PO2+OM2=PO2+-•4即兰=PO2+3+PO2+3，解得PO=—34 2(II)据题分别以OA,OB,OP为x,y,z建立坐标系，则AG3,0,0),P(0,0,3),M(-—?，,0),2 44C(-.3,0,0).AP=(^.3,0^23),pm=(-手£，-23),CP=(3,0,f).设面APM法向量n,=(x1,y1,z1),则n1AP=n1PM=0，解得一个n1=(1, ,2)Q32=迈5=5设面PMC法向量n2=(X2,y2,Z2),则n2CP=n2PM=0,2=迈5=53 —53 —5Jsin<口,n2>=n1n21口||n21•'•cosvn「n2>=；°8=••二面角A-PM-C的正弦值为-105（2014福建）（本小题满分12分）在平行四边形ABCD中，ABBDCD1,ABBCD,CDBD•将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图.（1）求证：CDCD；AB丄BD，•AB丄平面BCD.又CD?平面BCD，•AB丄CD.⑵过点B在平面BCD内作BE丄BD.由(1)知AB丄平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,二AB丄BE,AB丄BD.以b为坐标原点，分别以Be,BD,BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).11依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),MO,2，2.则Bc=(1,1,0),BM=0,2,2,Ad=(0,1,-1).设平面MBC的法向量n=(X0,y0,z0),nBC=0, x0+y0=0,贝U 即1 1nBM=0, 2y0+严0,取z0=1，得平面MBC的一个法向量n=(1,—1,1).设直线AD与平面MBC所成角为0,则sin0=|则sin0=|cos〈n,AD>|In||AD|6(2014陕西)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱 AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.证明：四边形EFGH是矩形；求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.【答案】 (1)省略【答案】 (1)省略(2).105【解析】(1)由题知，ABCD为等腰RTABD丄DC,且AD丄面BCDBC〃面EFGH,EH?面EFGH,EHBC共面二EH//BC,且AH=HC同理AD//面EFGH,EF,HG?面EFGH,ADEF和ADHG共面•••AD//EF,AD//HG,且DF=FB,DG=GC二EF//HG,且EF=HG,EF丄面BCD，即EF丄FG所以，四边形EHGF为矩形.(2)1由(1)知，分别以DC,DB,DA为x,y,ztt建系，贝UA(0,0,1),B(0,2,0),F(0,1,0),E(0,1,2),G(1,0,0)TOC\o"1-5"\h\z 1 -•••AB=(0,2,-1),FE=(0,0,),FG=(1,-1,0),设面EHGF法向量n=(x,y,z),则ABn2；10ABn2nFE=nFG=0,解得一个n=(1,1,0),/-cos<AB,n>=~：= =—|AB||n|J5P2 5—- -'10所以，sinB=|cos<AB,n>=-5(20)(2014安徽)(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD-ABQDi中，A1A底面ABCD四边形ABC［为梯形，AD//BC,且AD=2BC.过A,C,D三点的平面记为 ，BB与的交点为Q.(I)证明：Q为BB的中点；(n)求此四棱柱被平面 所分成上下两部分的体积之比；(川)若AA=4,CD=2梯形ABCD的面积为6,求平面与底面ABCD所成二面角的大小•(I)证：因为BQ//AA1,BC//AD,BCnBQ=B,ADnAA1=A,

所以平面QBC//平面A1AD,从而平面A,CD与这两个平面的交线相互平行，即 QC//A,D,故QBC与A1AD的对应边相互平行，于是 QBCs“AD,BQBQBC1所以 ，即Q是BB1的中点.BBiAAiAD2(n)解：如图1,连接QA,QD，设AA1h，梯形ABCD勺高为d，四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则AD2a.I.. 0图1Vqa|ad1丄2ahd^ahd,32 3VqABCD所以V下=VqA|B[CiDia2a(1h)ahd,4A1AD+VQABCDahd,2所以V±=VAiBiCiDiABCD-VT=3ahd-—ahd21212（出）

（出）解法1如图1,在ADC中，作AELDC,垂足为E,连接AiE,又DELAA,且AAnAE=A所以DEL平面AEA，于是DEIAiE.所以/AEA为平面与底面ABCD所成二面角的平面角.因为BC//AD,AD=2BC所以SADC2SABC.又因为梯形ABCD的面积为6,DC=2所以SAdc4,AE=4.于是tanAEAi于是tanAEAiAAiAEAEAi故平面与底面ABCD所成二面角的大小为—.4解法2如图2,以D为原点，DA,DD1分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.设CDA .a2a因为Sabcd 2sin 6，所以a224A( ,0,4).sin从而C(2cos,2sin,0),sin所以DC(2cos,2sin— 4,0),DA1 (-,0,4)sin设平面AjDC的法向量n(x,y,1),4由DA1nx4 0,sin得xsin,ycosDCn2xcos2ysin0.所以n(sin,cos,1).

又因为平面ABCD勺法向量m(0,0,1),所以cosn,m故平面与底面ABCD所成二面角的大小为—.47.(2014新课标II)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA!平面ABCD,E为PD的中点.(I)证明：PB//平面AEC;(n)设二面角D-AE-C为60(n)设二面角D-AE-C为60AP=1,AD=、、3，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】 (1)无 (2)无(1)设AC的中点为G,连接EG在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上,所以PB//平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为XY轴建立坐标系，则

L 0 1A(O,O,O),D(.、3,0,0),EC》,0,2),C(.、3,m,0).•••aD=(V3,0,0),aE=吟,0,》aC=(V3,m,0).设平面ADE法向量为m=(%,%,乙),则nJD=0,nAE=0,解得一个n-=(0,1,0).同理设平面ACE法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2AC=0,n2AE=0,解得一个n2=(m,-一3,-.3m).cos_=|cos<n2,门2>|= _一= =_,解得m=_.3 |n2|?|n?| .■m2+3+3m2 2 2EF1设F为AD的中点，贝UPA//EF,且PA= =—,EF丄面ACD,22即为三棱锥E-ACD的高•二Ve-acd=1?SAacd?EF=-?-?3?3?-^^.3 322 2 8(3所以，三棱锥E-ACD的体积为——。8A1BQ1中，侧面BB1C1CA1BQ1中，侧面BB1C1C为菱形,ABB1C.(I)证明：ACAB1;(n)若ACAB1,CBB60o,AB=BC求二面角AA1B1C1的余弦值.【解析】：（I）连结BG，交BQ于O,连结AO•因为侧面BB1C1C为菱形，所以BQBC1，且O为BQ与BC1的中点•又ABBQ,所以BQ平面ABO，故B1CAO又B1OCO，故ACAB1（n）因为ACAB1且O为BiC的中点，所以AO=CO又因为AB=BC，所以BOABOC故OA丄OB，从而OA,OB,OB1两两互相垂直.以0为坐标原点，0B的方向为x轴正方向，0B为单位长，建立如图所示空间直角坐标系0-xyz.0-xyz.因为CBB1600，所以CBB1为等边三角形•又AB=BC，则A0,0,#A0,0,#，B1,0,0,B0上,0,C0,3忌0』3—,AB3忌0』3—,AB31,0,—，胡BC32,03x,y,z是平面的法向量，则.3 .3 门yz.3 .3 门yz0即3 3暑0

xz03所以可取n1,^3,、3设m是平面的法向量，则禰0，同理可取m设m是平面的法向量，则禰0，同理可取m01, 3,.3贝Vcosn,m1，所以二面角AAB1G的余弦值为17 79（2014天津）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P.ABCD中，PA底面ABCD,ADADDCAP2,如图，在四棱锥P.ABCD中，PA底面ABCD,ADADDCAP2,AB1，点E为棱PC的中点•(I)证明BEDC;（n）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;（川）若F为棱PC上一点，满足BFAC,求二面角FAB■P的余弦值._3 310【答案】 （1）省略（2） 3 （3） 10（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识•考查用空间向量解决立体几何问题的方法•考查空间想象能力、运算能力

和推理论证能力.满分13分.（方法一）依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系 （如图），可得B1,0,0,C2,2,0,D0,2,0,2,0,0，故0.所以,P0,0,2.由E为棱PC的中点，得E2,0,0，故0.所以,BEDC.（I）证明：向量0,1,1BEDC.(n)解：向量 -1,2,0, 1,0-2.BP0,即.0,—x—2y二0,x・2z0.x,y,z为平面PBD的法向量，则cos：n,BE不妨令y1，可得-5-32,1,1为平面PBD的一个法向量BP0,即.0,—x—2y二0,x・2z0.x,y,z为平面PBD的法向量，则cos：n,BE不妨令y1，可得-5-32,1,1为平面PBD的一个法向量•于是有所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为由点F在棱PC上，设故AC,得0,（川）解：向量BC1,2,0,3'I■2,・2,2,2,2,0,1,0,0.由BF因此，21—2人"22—2二0,解得］:3.即"BF二卜1x,y,z为平面FAB的法向量，则即*—x〒丄y+§z二0.22x0,■1不妨令zJ,不妨令zJ,可得产■0,・3,1为平面FAB的一个法向量易知，二面角F.AB.P是锐角,（方法二）（I）证明：如图，取PD中点M所以其余弦值为易知，二面角F.AB.P是锐角,（方法二）（I）证明：如图，取PD中点M所以其余弦值为，连接EM，AM.由于E,M分别为PC,PD的中点,31010故EM//DC，且EMABEM为平行四边形，所以又由已知，可得EM//AB且EM°AB，故四边形BE//AM.因为PA丄底面ABCD，故PA[CD，而CD丄DA，从而CD丄平面PAD，因为AM〔平面PAD，于是CDAM，又BE//AM，所以BECD.（n）解：连接BM，由（I）有CD平面PAD，得CDPD，而EM//CD，故PDEM.又因为AD°AP,M为PD的中点，故PDAM，可得PDBE,所以PD平面丄 丄 丄BEM，故平面BEM平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BEEM，可得/EBM为锐角，故/EBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有PD22，而M为PD中点，可得AM.2，进而BE.2.故在直角三角形BEM中,EM二忑_故在直角三角形BEM中,EM二忑_AB_1_BE2，因此sin/EMB-所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为233（川）解:如图，在吉PAC所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为233（川）解:如图，在吉PAC中，过点F作FH//PA交AC于点H•因为PA底面ABCD，故FH底面ABCD，从而FH]AC.又BF]AC，得AC]平面FHB，因此AC]BH•在底面ABCD内，可得CH3HA，从而CF3FP.在平面PDC内，作FG//DC交PD于点G，于是DG3GP.由于DC//AB，故GF//AB，所以A,B,F,G四点共面.由ABPA,AB由ABPA,ABAD，得AB平面PAD，故ABAG.所以/所以/PAG为二面角F ABP的平面角•（（2）中，PA°2,中，PA°2,PG°】PD-,4 2二45,由余弦定理可得A匚冷0,论咙二晋.所以，二面角F.AB.P所以，二面角F.AB.P的斜率值为3101010. (2014辽宁)(本小题满分12分)如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC1200，E、F分别为AC、DC的中点•求证：EFBC；求二面角EBFC求二面角EBFC的正弦值•22、5【答案】 （1）省略（2） 5【解析】（1）BC=BD,DF=FC,且/CBD=120ABCF为RT三角形，BF丄FC同理BC=BA,AE=EC,且/ABC=120°二ABCE为RT三角形，BE丄EC1•••ABCF与ABCE全等，设H在BC上，且FH丄BC,贝VEH丄BC,BH二一2FH丄BC,EH丄BC,FHAEH=H二BC丄面EFH二BC丄EF所以，EF丄BC由（1）知,EH丄HC丄HF：分别以HC,HF,EH为x,y,z轴建立坐标系.BE=BF=2由（1）知,EH丄HC丄HF：分别以HC,HF,EH为x,y,z轴建立坐标系.BE=BF=2显然，面BCF的一个法向量n1=（0,0,1）■■?..;3 -/3 1 — 1 ,3— 13E（0,0,㊁）,F（0,于,0）,B（--,0,0）,BE=（2‘0,$）,BF=（宁2,0）— 1 3 1 3面BEF的法向量n2=（x,y,z）满足:n2BE=n2BF=0,即一x+0+z=x+y+0=02222解出一个法向量n=（-一3,1,1）n1n20+0+1二cos<m,n2>=__— Inilgl*0+0+1^3+1+1 5所以，二面角E-BF-CD的正弦值sinB=^5、5 -■—= ,sin<n1,n2>=5如图，四棱锥P（1）求证：ABPD;（2）若BPC90,PB2PC2,问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.【解析】解：（1）.面PAD面ABCD,面PAD面ABCD=AD,ABADiAB面ABCD 2分又:PD面ABCD 3分ABPD 4 分⑵过P作POAD,由（1）有PO面ABCD,作OMBC,连接PM作PMBC 5分11（2014江西）（本小题满分12分）ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.设设AB=x.1 i i14 i—ABCD-OPSabcd-OPABBC. xjx6 8x26x4…7分ABCD3 3 3I3 3x2Vmax2/6x2Vmax2/6~9~如图建立空间直角坐标系,P。,。,弓,M诗。,C上,耳3 3PMC上,耳3 3PM,PC討 ¥，0,0』0310分设面PMC、面PDC的法向量分别为Xi,yi,ZiX2討 ¥，0,0』0310分设面PMC、面PDC的法向量分别为Xi,yi,ZiX2,y2,Z2000「6Ty1、63x163「63Z1.6Ty1X1设y1 1，则Z1 1，m0,1,1同理可得11分1,1,1cosm,n3平面PBC与平面DPC夹角的余弦值为于。12分/DPC=/DPC=30°,12.（2014广东）（13分）如图4,四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD,AF丄PCAF丄PC于点F,FE//CD交PD于点E.(1)证明：CF丄平面ADF(2)求二面角D-AF—E的余弦值.解：⑴证明：PD平面ABCD,PDPCD,平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCDCD,AD平面ABCD,ADCD,AD平面PCD,CF平面PCD,CFAD,又AFPC,CFAF,AD,AF平面ADF,AD^AFA,CF平面ADF.⑵解法一：过E作EG//CF交DF于G,；CF平面ADF,EG平面ADF,过G作GHAF于H,连EH,贝UEHG为二面角DAFE的平面角，设CD2,；DPC30°,1CDF30°,从而CF=丄CD=1,21HCP4,EF/DC,1HCP4,EF/DC,DECF，即DE_=_2'1DPCP2”3233从而EGDEEF2.r523易得AEDF3J4DEi3,还易求得ef=2,df卫,AF27'EF|,EH193 _ -譬辛零故HG瘵帀霍3,cosEHGGH6|4：7 £57.EH4方3晁 19解法二:分别以DP,DC,DA为解法二:分别以DP,DC,DA为x,y,ztt建立空间直角坐标系DC2,贝UA(O,O,2),C(O,2,O),P(23,O,O)设CFCP则F(2^3,22,0)；呼ct,可得从而F ,3,0)易得E("f,0,0),取面ADF的一个法向量为设面AEF的一个法向量为2(x,y,z)利用2AEJ°得可以是(4,0,.3),从而所求二面角的余弦值为U2F0,43Mllnd219（、3,1,0）,2571913 (2014湖南)如图6,四棱柱ABCDAB1CQ1的所有棱长都相等，AC^BDO,AC1p|B1D1O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形.(1)证明：OQ底面ABCD;⑵若CBA6O0，求二面角GOB1D的余弦值.【答宪】(1)详见解析⑵【解析】试题分析车)要证明线面垂直，只需要在面内块到两条朽交的线段3之垂直即可,即证明AC.^D与Ofi垂直,首先利用四棱柱所有棱相等，得到上下底面为爰形进両等到d0旳为中点，得到人心0冲三者相互平行，四边形M)Q苗:应©4均为矩形2平F加结合旷」J得到AC.BD^Op垂直进而证明线而垂直.⑵要求二而角.此间可以以以0为坐标原点曲OCQO：宗芒直线分别为x轴,v轴,n轴建立三维直角坐标系，利用空间向壘的方法得到二面角的余弦值龙旷诜明第一沖方法做出二而角的平面角，过q作场。的垂线交BP于点H连捲HOl:HC]•利用化得到op亠，在和用四边形住炯为菱形，对角绽相互垂直,两个垂直关系即可得到4G垂直于平面汕D且，眩和得到sp_lqq，结合■月p丄qH得到线面垂直，说明角O\HC\良卩为哦所求二面角的平酝角，设四檯柱各边长为2d,利用勾股定理求出相应边长即可得到角QJ7C]的余弦值,进而得到二面角的余弦值一试题解析:⑴证明;丁四梭枉廊CD-屍爲GD的所有棱长都相等.•-四边形ARCD和四边形4»GD；匀为菱形・・・ACC\BD=0.4C]MD=0:.0^分别为眄眄中点・.•四辺形ACC.A,和四辺形月QD足九袒形.-.00\MCq.WBff]且g丄HC皿:丄五。Oq_LBD：oq-L/C又•?ACC\BD=0且ACZBDu值面ABCD:.oq丄底面廊cd_⑺法l::xiQ作B}0的垂绥奁卯?于点/连擡HQ 不妨设四棱柱JBCD-A^^的边长为力_■/oo}丄底面A3CD且底面//启4凤qq.-.001丄面祸S又tqcju面4^iQA/.g丄加]丁四边形▲码GO】为菱腿.-.qq丄q坷又步Q_G丄001且oqnQG二q0003】匚面OB]D/.QG丄面QBfi又丁斗。匸函OffQ-sp丄qq又T耳0-10}H且QG=Q,QG=0逛U面QHGO1HHC1二耳o丄面q^qO1HHC1O1HC1为二面角C1OB1D的平面角，则cosO1HC1CBA600且四边形ABCD为菱形O1Ga,B|Oi\3a,OOi2a,B1O B1O1OOi ■-7a,/1”a则/1”a则cosZ^JfQ二」一-EC、瞬删羽c—的舷值为辔.则心4和。吨鬻碍严。再由AQHq的勾股定理可得眄=Jq0+qcf=J等法2：因为四棱柱期的所有橈按韶相等.所以四边匚曲切是奏赅因此AC丄RD又0.0丄面ABCD，从而0Bt0Ct0,0两两垂氢如图以O先吉領点,OB:0C:00丄所在直线分别丸兀轴”y轴圧轴建立三维直角坐标系，不妨设血“区龙一QfiF二帘勺以OB=^,OC二匚于杲各点的坐标为:0（0=80）禺点0二）心（0丄2）尸知叫三（0丄0）是平面如耳毘的一个法向重股衍三（JTW）是平而0尽G的一个法向氫则\叫竺二°,{4十2*°,取."一■^贝b=zb二2占nn^Cx=Ql$U■■■工。鼻孑二cos匚叫’阳＞19，故二角角G_処—D册氽弦值为19【考点定位】线面垂直面角勾股定理菱形14.(2014湖北)(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,M,N分别是棱AB,AD,AiB1,A1D1的中点，点p,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DPBQ0 2.(I)当 1时，证明：直线BC1//平面EFPQ;(H)是否存在 ，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.A E B第19题图19.几何方法(I)证明：如图1，连接AD,由ABCD-ABQD是正方体，知BC//AD.当入=1时，P是DD的中点，又F是AD的中点，所以FP//AD所以BC//FP.而FP平面EFPQ,且BC平面EFPQ故直线BC//平面EFPQ.1(H)如图2,连接BD.因为E,F分别是ABAD的中点，所以EF//BD,且EF=—BD.2又DP=BQDP//BQ所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ/BD,且PQ=BD1从而EF//PQ且EF==PQ.2在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP==,BE=DF=1于是EQ=FP=1 2,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMI是等腰梯形.分别取EF,PQMN勺中点为H,O,G连接OHOG

则GQLPQHOLPQ而GOAHO=O故/GQH是面EFPC与面PQM所成的二面角的平面角•若存在入，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则/GQH=90.连接EMFN则由EF//MN且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形•连接GH因为H,G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2.在厶GQH在厶GQH中，GH=4，QH=1 2qG=1(2)2(学)2(2由qG+qH=gH，得(2 )2-2「2、221()522)21)2214解得11222故存在1 ，使面EFPQ与面PQM所成的二面角为直二面角2向量方法：以D为原点，射线DADCDD分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz.由已知得B（2,2,0）,G（0,2,2）,E（2,1,0）,F（1,0,0）,P（0,0,入）BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,入),FE=(1, 1,0)(I)证明：当入=1时，FP=(-1,0,1),因为BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC//FP.而FP平面EFPQ且BG平面EFPQ故直线BG//平面EFPQ.(H)设平面EFPQ的—个法向量为n=(x,y,z),贝U由nn0,可得xxyz0,0.于是可取n=（—「。同理可得平面MNPQ勺一个法向量为m=（入-2,2-入，1）若存在入，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则m・n=（入-2,2-入，1）•（入，-入，1）=0,即入（入-2）-入（2-入）+仁0,解得故存在1 ,使面EFPQ与面PQMb所成的二面角为直二面角215（2014浙江）（本题满分15分）如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面

BCDE,CDE BED900,ABCD2,DEBE1,AC42.（1）证明:DE平面ACD;（2）求二面角BADE的大小AD£CEz/pB20.（I）在直角梯形BCDE中，由DEBE.1，CD2得，BDBC42，由AC[AB2，则AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE，又DED