专题勾股定理培优版综合

专题勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换〔一〕动点证明题1.如图，在△ABC中，AB=AC，〔1〕假设P为边BC上的中点，连结AP，求证：BP×CP=AB2-AP2；〔2〕假设P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？假设成立请证明，假设不成立请说明理由；AABPC〔3〕假设P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.〔二〕最值问题2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是3.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.〔1〕求证：△AMB≌△ENB；EEADBCCNM〔2〕①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；EADBCCEADBCCNM〔3〕当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.EEADBCCNM4.问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，假设∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进展翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．〔1〕请你答复：图中BD的长为；〔2〕参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，假设∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②二.勾股定理与旋转5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC〔其中∠BAC是一个可以变化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接,当点A落在上时,此题可解〔如图2〕．请你答复：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决以下问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC部一点，则AP+BP+CP的最小值是.〔结果可以不化简〕6.如图，P是等边三角形ABC一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.变式1：∆ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，点P是∆ABC一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数CCBAP变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE〔如图2〕，然后连结PE，问题得以解决．请你答复：图2中∠APB的度数为．请你参考小娜同学的思路，解决以下问题：如图3，P是等边三角形ABC一点，∠APB=115°，∠BPC=125°．〔1〕在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形〔保存画图痕迹〕；〔2〕求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各角的度数分别等于．图1图2图37.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．〔1〕当扇形CEF绕点C在∠ACE的部旋转时，如图①，求证：；CCABEFMN图①〔2〕当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由．CCABEFMN图②变式1：如图，在中,且,,则=变式2：如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，以下结论：BCDEFABCDEFA②△≌△；③；④其中正确的选项是〔〕 A．②④；B．①④；C．②③；D．①③〔三〕其它应用7.在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格〔每个小正方形的边长为1〕，再在网格中画出格点〔即三个顶点都在小正方形的顶点处〕，如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．〔1〕请你将的面积直接填写在横线上__________________；思维拓展：〔2〕我们把上述求面积的方法叫做构图法．假设三边的长分别为、、〔〕，请利用图2的正方形网格〔每个小正方形的边长为〕画出相应的，并求出它的面积填写在横线上__________________；探索创新：〔3〕假设中有两边的长分别为、〔〕，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格〔每个小正方形的边长为〕中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．8.∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点〔点P与点B不重合〕，分别以AB、AP为边在∠ABC的部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.〔1〕如图1，假设AB=，点A、E、P