九年级数学 课件24.1.3 弧、弦、圆心角

24.1.3弧、弦、圆心角

R·九年级上册新课导入问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.推进新课圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?·圆是中心对称图形它的对称中心是圆心思考知识点1圆的旋转不变性及圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角BA∠AOB为圆心角O·圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.⌒判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【对应练习】任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弦弧这三个量之间会有什么关系呢？BAO·探究知识点2弧、弦、圆心角之间的关系如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？显然∠AOB＝∠A'OB'

AB＝A'B'AB＝

A'B'⌒⌒BAA'B'●O探究AB＝A'B'AB＝

A'B'⌒⌒如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠AO'B'，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？由∠AOB＝∠AO'B'得到BA●OA'B'●O'探究圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.AB＝

A'B'⌒⌒∵∠AOB＝∠AO'B'∴AB＝A'B'ABO·A'B'定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？··A'B'AB思考同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦________；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角______，所对的弧_______．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．①

圆心角弧③弦知一得二理解如图，AB、CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么

，

.（2）如果

，那么

，

.（3）如果∠AOB=∠COD，那么

，

.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE与OF相等吗？为什么？OCDFABE【对应练习】∠AOB=∠CODAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等.【教材P85练习第1题】如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∴AB=AC.又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.∵AB=AC，⌒⌒⌒⌒·ABCO例3在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?①

圆心角②弧③弦④弦心距知一得三思考A'B'ABO·C'C随堂演练基础巩固1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是()A．36°B．72°C．108°D．48°2.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=

.A60°⌒⌒⌒3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=

．40°⌒4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数.解：∵AB=AC，∴AB=AC.∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=30°.⌒⌒⌒⌒5.如图，在⊙O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：∵AD=BC.∴AD=BC.∴AD+AC=BC+AC,即CD=AB.∴AB=CD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒6.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.综合应用⌒证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.又∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.又∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平行四边形.又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.⌒⌒⌒7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．拓展延伸(1)证明：连接AD.∵AB=CD,∴AB=CD.

∴AB-AD=CD-AD.即BD=AC.∴BD=AC.在△ADB和△DAC中，∴△ADB≌△DAC(SSS).∴∠ABD＝∠DCA.在△AEC和△DEB中，∠DCA＝∠ABD,∠AEC＝∠DEB,AC=BD,∴△AEC≌△DEB(AAS).⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒(2)解：对称.理由：连接OB、OC.则OB=OC.由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.∴点B与点C关于直线OE对称.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数。练习【教材P85练习第2题】解：∵，AEDCBO∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又=∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=105°,则∴∠AOE=180°-∠BO