三角形四心向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四心〞向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;假设O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;假设O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)假设O是的外心则故4．O是心的充要条件是ACBCCP引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚刚O是心的充要条件可以写成，O是心的充要条件也可以是。假设O是的心，则ACBCCP故;是的心;向量所在直线过的心(是的角平分线所在直线)；例(一)将平面向量与三角形心结合考察例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的〔〕〔A〕外心〔B〕心〔C〕重心〔D〕垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的根本性质知AP平分，则在中，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考察“垂心定理〞例2．H是△ABC所在平面任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.〔反之亦然〔证略〕〕例3.()P是△ABC所在平面上一点，假设，则P是△ABC的〔D〕A．外心 B．心 C．重心 D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心.应选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考察“重心定理〞例4．G是△ABC所在平面一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.〔反之亦然〔证略〕〕例5．P是△ABC所在平面任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.〔反之亦然〔证略〕〕例6假设为一点，，则是的〔

〕A．心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考察例7假设为一点，，则是的〔

〕A．心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心

，选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考察例8．向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，求证△P1P2P3是正三角形.〔"数学"第一册〔下〕，复习参考题五B组第6题〕证明由+=-，两边平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，假设点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面一点，++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为*轴，建立如下图的直角坐标系。设A(0,0)、B〔*1,0〕、C(*2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,AB(*AB(*1,0)C(*2,y2)y*HQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10．假设O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.证明假设△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.著名的“欧拉定理〞讲的是锐角三角形的“三心〞——外心、重心、垂心的位置关系：〔1〕三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线〞；〔2〕三角形的重心在“欧拉线〞上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理〞的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.补充练习1．A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的〔B〕A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点〔非重心〕C.重心D.AB边的中点B取AB边的中点M，则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，应选B.2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的〔

D

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心2．△ABC的三个顶点A、B、C及平面一点P满足：，则P为的〔

C

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心3．O是平面上一

定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的〔

C

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心4．△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的〔

D

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心5．△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的〔

B

〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心6．在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：〔B〕Ａ外心Ｂ心C重心D垂心7.非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=1〔A〕三个角的角平分线的交点〔B〕三条边的垂直平分线的交点〔C〕三条中线的交点 〔D〕三条高的交点10.如图1，点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。证点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线〔A不在直线MN上〕，于是存在，使得，有=，得，于是得。例讲三角形中与向量有关的问题教学目标：1、三角形重心、心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法2、向量的加法、数量积等性质3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1O是△ABC的一点，假设，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心1.2在△ABC中，有命题①；②；③假设，则△ABC为等腰三角形；④假设，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的选项是〔〕A、①②B、①④C、②③D、②③④2、知识回忆2.1三角形的重心、心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法2.2向量的有关性质2.3上述两者间的关联3、利用向量根本概念解与三角形有关的向量问题例1、△ABC中，有和,试判断△ABC的形状。练习1、△ABC中，，，B是△ABC中的最大角，假设，试判断△ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、O是△ABC所在平面的一点，满足，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例3、P是△ABC所在平面的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心练习2、O为平面一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心例4、O是△ABC所在平面的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心练习3、O是△ABC所在平面的一点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心例5、点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进展转化是处理这类问题的关键。7、作业1、O是△ABC的一点，假设，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心2、假设△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于〔〕A、B、0C、1D、3、O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c假设，则O是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心4、P是△ABC所在平面与A不重合的一点，满足，则P是△ABC的〔〕A、重心B、垂心C、外心D、心5、平面上的三个向量、、满足，，求证：△ABC为正三角形。6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，假设AM＝2，求三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比拟大小。在高中数学“平面向量〞〔必修4第二章〕的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再复原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心〞的向量风采【命题1】是所在平面上的一点，假设，则是的重心．如图⑴.MM图⑵图⑵图⑴【命题2】是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.二、“垂心〞的向量风采【命题3】是所在平面上一点，假设，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.图⑷图⑷图⑶【命题4】是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.三、“心〞的向量风采【命题5】为所在平面上的一点，且，，．假设，则是的心．图⑹图⑹图⑸【解析】∵，，则由题意得，∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分