21.1 一元二次方程

21.1一元二次方程

——一元二次方程的相关概念R·九年级上册新课导入导入课题情景：要设计一座高2m的人体雕像,使

它的上部(腰以上)与下部(腰以

下)的高度比等于下部与全身的

高度比,则雕像的下部应设计多

少米高?思考问题问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？问题4：设雕像下部高BC=xm,请说出你所列的方

程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？

它有什么特点？审、设、列、解、验、答x2+2x-4=02mx2-x学习目标（1）会设未知数，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地

指出各项系数.推进新课知识点1寻找等量关系列方程并化简问题1

有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为

cm，则盒底的宽为

cm，盒底的长为

cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600cm2，可列方程为

.(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=36004x2－300x+1400=0x2－75x+350=0先去括号移项、合并同类项系数化为1

问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为

场.设邀请

支队参赛，则每支队与其余

支队都要赛一场.根据题意，你列出的方程是

.整理为

.28x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56

问题2

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？强化训练①一个圆的面积是2πm2，求半径r.

②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求

较长的直角边x的长.③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等

于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.πr2=2π

x=(1-x)2知识点2一元二次方程的概念下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？x2+2x-4=0①x2－75x+350=0②x2-x=56③只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2.结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.若方程（m-1）x2+

x=1是关于

x的一元二次方程，则m的取值范围是

.m≥0且m≠1

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？

因为a=0时，未知数的最高次数小于2.知识点3一元二次方程的一般形式

a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。例将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.知识点4一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边相等.随堂演练基础巩固1.一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别

是（

）A.3，5B.3，0C.3，-5D.5，02.下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.C解：－4，3.3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）3x2+1=6x；

（2）4x2=81－5x；解：一般形式：3x2-6x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：-6

常数项：1解：一般形式：4x2+5x-81=0

二次项系数：4

一次项系数：5

常数项：-814.根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平

方的长方形?

解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.

根据题意，得x(0.5-x)=0.06,

整理，得50x2-25x+3=0.（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10

次.有多少人参加这次聚会？

解：设有x人参加了这次聚会,

根据题意，得

x(x-1)=10，

整理，得x2-x-20=0.综合应用在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一

条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂

图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x

满足的方程是（

）

A.x2+130x+1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0B拓展延伸6.如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另

一个根.

解：将2代入原方程中，22-c=0，得c=4.

将c=4代入原方程，得x2-4=0.

解得x=±2.

即方程的另一个根为-2.解：一般形式：5x2-4x-1=0

二次项系数：5

一次项系数：-4

常数项：-1解：一般形式：4x2-81=0

二次项系数：4

一次项系数：0

常数项：-811.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）5x2-1=4x；

（2）4x2=81；练习【教材P4练习第1题】1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数和常数项：

（3）4x(x+2)=25；

（4）(3x-2)(x+1)=8x-3；解：一般形式：4x2+8x-25=0

二次项系数：4

一次项系数：8

常数项：-25解：一般形式：3x2-7x+1=0

二次项系数：3

一次项系数：-7

常数项：1【教材P4练习第1题】2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x;(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.4x2=25，化为