新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.2圆的一般方程分层作业新人教B版选择性必修第一册

第二章2.3.2圆的一般方程A级必备知识基础练1.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.[探究点一]圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2 B.22 C.1 D.3.[探究点一]方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)4.[探究点二](多选题)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(-2,3),C(-1,-2),则下列说法正确的有()A.AC边上的高所在直线的方程为x+y-1=0B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0C.△ABC的面积为12D.直线BC在y轴上的截距为75.[探究点一](多选题)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称6.[探究点一]已知圆C:x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为,圆C的半径为.

7.[探究点二]已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为.

8.[探究点二]求圆C:x2+y2-8x+2y-8=0关于点(2,-1)对称的圆的方程为.

9.[探究点二]求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.10.[探究点二·人教A版教材习题]如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB∥CD,AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径.B级关键能力提升练11.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k=()A.-1 B.0 C.1 D.212.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为613.(多选题)若a∈{-2,0,1,23},方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为(A.-2 B.0 C.1 D.214.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为()A.7 B.8 C.9 D.1015.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点,C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是.

16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F=.

17.已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求圆的周长的最大值.18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.C级学科素养创新练19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件;②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标原点,则|OA-OB|④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为3π其中所有真命题的序号是.

20.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.2.3.2圆的一般方程1.D因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圆心坐标为-a2,a,r又r2>0,即-34a2-3a>0,解得-4<a<故该圆的圆心在第四象限.2.D因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+23.D原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,∴x+a=0,y+b=04.AB对于A,因为AC边的斜率为kAC=0+21+1=1,所以AC边上的高的斜率为-1,又经过B(-2,3),由直线的点斜式方程可得y-3=-(x+2),即x+y-1=0,故A正确对于B,设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),所以1+D+F=0,4+9-2D+3E+F=0,1+4-D-2对于C,直线AB的方程为y-03-0=x-1-2-1,即为x+y-1=0,C(-1,-2)到直线x+y-1=0的距离为d=|-1-2-1|1+1=22,|AB|=32+3对于D,直线BC的方程为y-3-2-3=x+2-1+2,即y=-5x-7,令x=0,所以在5.ABCx2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,即圆心的坐标为(2,0).对于A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;对于B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B正确;对于C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故C正确;对于D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故D不正确.6.(0,2)2因为圆C:x2+y2-4y=0,即圆C:x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2.7.x-y+1=0易知圆心P的坐标为(-1,2).∵弦AB的中点Q的坐标为(0,1),∴直线PQ的斜率kPQ=2-1∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.8.x2+(y+1)2=25圆C:x2+y2-8x+2y-8=0化为标准方程为(x-4)2+(y+1)2=25,所以C(4,-1),半径r=5,故圆C关于点(2,-1)对称的圆的半径为5,圆心设为D.由中点坐标公式求得D(0,-1),所以对称圆的方程为x2+(y+1)2=25.9.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,①(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,②由①②可得a=2,r2=10.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5.10.解(方法一)由题意可知A(-3,0),B(3,0),C32,3.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则9-3故所求圆的方程为x2+y2-34y-9=0,其圆心坐标为(0,38),半径长为12(-34)

2-4×(-9这个圆的圆心坐标是(0,38),半径长是3(方法二)由题意,可得点B的坐标是(3,0),点C的坐标是(32,3)线段BC的中点坐标是(94,32),直线BC的斜率k线段BC的垂直平分线的方程是y-32=12(x-94),与方程x=0联立所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是(0,38)半径长|EB|=(011.B由x2+y2+kx-2y-k2=0,得(x+k2)2+(y-1)2=5k24+1,易知当k=0,圆的半径最小,即圆的面积最小12.ABD圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.13.ABD根据题意,若方程表示圆,则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1.又a∈{-2,0,1,23},所以a的值可以为-2,0,214.C由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1=(1-7)215.(x-2)2+(y-12)2=174由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以AB为圆的直径,易得B(0,1),A(4,0),所以此圆的圆心为(2,12),半径为r=1所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-12)2=1716.0易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为0,52,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得17.解(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则-m2+3m+4>0,解得-1<m<4,即实数m的取值范围是(-1,4).(2)圆的半径r=-m2+3m+4=-(m-32)

218.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为|1+2-1|2=2,所以圆C被直线x+y-1=0(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,所以x1+x2=85,x1x2=4因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=54x1x2-(x1+x2)+4=0,所以54×4(m-4)5-8519.①③①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,所以Δ=4-4F>0,4-③由②知,|OA-OB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故当