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第二章培优课❶最值与对称问题重难探究·能力素养全提升探究点一最值问题与直线相关的最值问题,首先根据所求式子的特征确定其几何意义,将问题转化成为两点间的距离,点到直线的距离等,然后求最值.C解析

取点P(m,n),Q(a,b),由已知3m+4n=6,3a+4b=1,可得点P在直线l1:3x+4y-6=0上,点Q在直线l2:3x+4y-1=0上.变式训练1直线l:3x-2y+5=0,P(m,n)为直线l上的动点,则(m+1)2+n2的最小值为

.

解析

(m+1)2+n2可看成是直线上一点P(m,n)到点Q(-1,0)的距离的平方,当PQ⊥l时,距离最小.探究点二对称问题与直线相关的对称问题,主要有关于点的对称或关于直线对称的问题,主要借助几何性质列出相应关系式求解.【例2】

(1)已知A(3,0),B(0,3),从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上,又经过直线AB反射到P点,则光线所经过的路程为(

)C解析

直线AB的方程为x+y=3,如图所示,点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0,-2).P2(5,3),所以根据反射原理的对称性,光线所经过的路程为|PQ|+|QM|+|MP|=|P1Q|+|QM|+|MP|=|P1M|+|MP|=|MP2|+|MP|=|P2P|=(2)直线y=2x+1关于直线y=x对称的直线方程为(

)A.x-3y+1=0 B.x-3y-1=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0C变式训练2(1)点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为(

)A.(-1,-3) B.(-1,-4)C.(4,1) D.(2,3)A解析

设点P(2,0)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为(a,b),所以点Q的坐标为(-1,-3).故选A.(2)直线y=4x-5关于点P(2,1)对称的直线方程是(

)A.y=4x+5 B.y=4x-5C.y=4x-9 D.y=4x+9C解析

设直线y=4x-5上的点P(x0,y0)关于点(2,1)的对称点的坐标为(x,y),将其代入直线y=4x-5中,得到2-y=4(4-x)-5,化简得y=4x-9.故选C.探究点三利用对称求最值问题【例3】

唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,其中隐含了一类有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,已知军营所在的位A解析

如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),在直线x+2y=3上取点P,连接PC,变式训练3已知点A(4,1),B(0,4),直线l:3x-y-1=0,点P为直线l上一

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