新教材2023-2024学年高中数学第五章数列培优课1等差数列习题课分层作业课件新人教B版选择性必修第三册

第五章培优课❶等差数列习题课A级必备知识基础练12345678910111213141516171.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n的值为(

)A.50 B.49

C.56

D.51C12345678910111213141516172.[探究点一·2023河南郑州高三阶段练习]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,a5=10,且a4a6=96,则其公差为(

)A.-2 B.2

C.-2或2 D.4B解析

设等差数列{an}的公差为d,由题可知d>0.∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),∴等差数列{an}的公差为2.故选B.12345678910111213141516173.[探究点四]设数列{an}是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是(

)A.d<0B.a7=0C.S9>S6D.S6与S7均为Sn的最大值C解析

由于S5<S6,S6=S7>S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a8<0,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,所以S9<S6,所以C选项错误.故选C.12345678910111213141516174.[探究点一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一天多走d千米,九天他一共行走了1260千米,求d的值.关于该问题,下列结论错误的是(

)A.d=15B.此人第二天行走了110千米C.此人前七天共行走了910千米D.此人前八天共行走了1080千米A1234567891011121314151617解析

设此人第n(n∈N+)天走an千米,则数列{an}是公差为d的等差数列,记数列{an}的前n项和为Sn,12345678910111213141516175.[探究点一]记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=

.

25解析

设等差数列{an}的公差为d.∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1,∴S10=10a1+d=-20+45=25.12345678910111213141516176.[探究点四]在等差数列{an}中,若a1<0,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为

.

12解析

由S7=S17,知a8+a9+…+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=…=a12+a13,因此a12+a13=0,又a1<0,从而a12<0,a13>0,故Sn的最小值为S12.12345678910111213141516177.[探究点四·2023福建福州第一中学高二期末]设等差数列{an}的前n项和为Sn,S35<0,S36>0,若对任意正整数n,都有Sn≥Sk,则整数k=

.

18于是数列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是递增数列,其前18项均为负数,从第19项起为正数,因此Sn的最小值为S18,所以对任意正整数n,都有Sn≥S18,所以k=18.12345678910111213141516178.[探究点三]“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为

.

3解析

由题意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2,∴a18=3.12345678910111213141516179.[探究点一]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

.

3n2-2n解析

数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.显然{3n-2}中的所有奇数项均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列组成的新数列{an}为以1为首项,6为公差的等差数列,所以{an}的前n项和为123456789101112131415161710.[探究点四]数列{an}是首项为23,公差为-4的等差数列.(1)当an>0时,求n的取值范围;(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值.解(1)由题可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,又n是正整数,∴n的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.(2)由(1)知n≤6时an为正数,n≥7时an为负数,所以Sn的最大值为

123456789101112131415161711.[探究点二·2023安徽师范大学附属中学高二阶段练习]已知数列{an}前n项和Sn满足Sn=n2(n+1)+1.求:(1)a1,a2;(2)数列{an}的通项公式.解

(1)因为Sn=n2(n+1)+1,令n=1,可得a1=S1=1×2+1=3,令n=2,可得a1+a2=S2=22×(2+1)+1,解得a2=10.(2)因为Sn=n2(n+1)+1,则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=[n2(n+1)+1]-[(n-1)2n+1]=3n2-n,且由(1)知,a1=3不满足上式,1234567891011121314151617B级关键能力提升练12.(多选题)[2023山东菏泽高二阶段练习]已知数列{an}是公差为d的等差数列,则下列说法正确的是(

)A.an+1=an+dB.数列{-an}是等差数列D.2an+1=an+an+2ABD1234567891011121314151617解析

因为数列{an}是公差为d的等差数列,所以an+1-an=d,即an+1=an+d,所以A正确;因为an+1-an=d,所以(-an+1)-(-an)=-d,所以数列{-an}是等差数列,故B正确;确;由题可知an+1是an与an+2的等差中项,所以2an+1=an+an+2,故D正确.故选ABD.123456789101112131415161713.已知数列{an}的前n项和

(n∈N+),则下列结论正确的是(

)A.数列{an}是等差数列B.数列{an}是递增数列C.a1,a5,a9成等差数列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列D12345678910111213141516171234567891011121314151617∴S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.故选D.123456789101112131415161714.[2023江苏南通高二期末]如图的形状被称为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……设各层(从上往下)151234567891011121314151617123456789101112131415161715.已知在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.解(1)设数列{an}的公差为d.∵a16+a17+a18=a9=-18,1234567891011121314151617故当n=20或21时,Sn取最小值,最小值为S20=S21=-315.123456789101112131415161716.已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60,且满足

=a1a21.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn+1-bn=an,且b1=3,求数列

的前n项和Tn.解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则an=2n+3.1234567891011121314151617(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2),∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2