新教材2023-2024学年高中数学第五章数列培优课2等比数列习题课课件新人教B版选择性必修第三册

第五章培优课❷等比数列习题课课程标准1.进一步理解等比数列的定义、通项公式及前n项和;2.理解等比数列的性质、等比数列前n项和的性质的应用;3.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列的基本运算【例1】

已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.解设前两个数分别为a,b,则第三、四个数分别为36-b,37-a,规律方法

等比数列运算的求解策略解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.变式训练1[人教A版教材习题]已知三个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64.求这个等比数列的首项和公比.(方法三)设这个数列为{an},公比为q,当q=1时,不符合题意,所以q≠1.探究点二错位相减法求和【例2】

[2023江苏南京高三专题练习]在数列{an}中,a1=1,an+1=an-2anan+1.(2)解由(1)知bn=(2n-1)×3n,∴Sn=1×3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1)×3n,∴3Sn=1×32+3×33+5×34+7×35+…+(2n-1)×3n+1,两式相减得-2Sn=3+2×32+2×33+2×34+…+2×3n-(2n-1)×3n+1=3+3n+1-9-(2n-1)×3n+1=2(1-n)×3n+1-6,∴Sn=(n-1)×3n+1+3.规律方法

错位相减法求和的技巧对于形如Cn=anbn(其中an为等差数列,bn为等比数列)的数列求和均可用错位相减法.运用此法时,一定要明确谁与谁对应以及项数、角标等问题,该方法虽不难理解,但对运算能力要求较高,并且最后要注意检验,简单的操作方法是赋特殊值法.探究点三

an+1=pan+q(p≠1)型数列的构造与证明

【例3】

[人教A版教材习题]若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式及前10项的和.解

由an+1=2an+1,可得an+1≠0,an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-1,规律方法

一般地,可根据递推公式的特点将其进行变形,变为我们所熟悉的数列来解决.对于形如an+1=pan+q(p≠1)的递推公式,可设出形式探究点四

已知Sn求an【例4】

(1)已知等比数列的前n项和为Sn=(1-2λ)+λ·2n,则λ=(

)A.-1 B.1

C.2

D.3B解析

当q=1时,a1=S1=(1-2λ)+2λ=1,则Sn=n,显然与题设不符,∴q≠1,(2)[人教A版教材习题]已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an+1,求Sn.解(方法一)因为Sn=2an+1,当n=1时,a1=S1=2a1+1,所以a1=-1;当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-2an-1,所以{an}是首项为-1,公比为2的等比数列,所以an=a1·qn-1=(-1)·2n-1=-2n-1.所以Sn=2an+1=2·(-2n-1)+1=-2n+1.规律方法

1.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=λqn+μ(λ≠0),若数列{an}为等比数列,则λ+μ=0.2.若数列{an}的前n项和为Sn,Sn=kan+b(k≠0,k≠1),则此时数列{an}为等比数列.(方法二)因为Sn=2an+1,当n=1时,S1=2S1+1,所以S1=-1;当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)+1,所以Sn=2Sn-1-1,所以Sn-1=2(Sn-1-1),所以Sn-1=(-2)·2n-1=-2n,所以Sn=-2n+1.变式训练3(1)记数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2023=(

)A.22022-1 B.22023-1B解析

依题意,Sn=2an-1,当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;当n≥2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,两式相减并化简得an=2an-1.故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)[2023上海徐汇高二期末]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,Sn=7n-1+k,则实数k=

.

解析

当n=1时,a1=S1=k+1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(7n-1+k)-(7n-2+k)=6×7n-2,成果验收·课堂达标检测12341.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=1.若,则m=(

)A.2 B.4

C.6 D.8D12342.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则an=

.

2n+1-3解析

因为an+1=2an+3,所以数列{an+3}是以a1+3=4为首项,2为公比的等比数列,所以an+3=4×2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.12343.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a5=S5,则S2022=

.

0解析

根据数列前n项和的定义知S5=a1+a2+a3+a4+a5=a5,故a1+a2+a3+a4=0,即a1(1+q+q2